对导数概念的剖析及简单应用

1、对导数概念的剖析及简单应用河北 史彩玉导数是近三年新增加的高考内容，与高等数学相衔接，但难度不大，学习导数，对于我们过去接触过的函数、方程、不等式、解析等知识，是一次极好的复习、拓展和深化。一、 知识结构导数实际背景导数定义导数几何意义际背景函数四则运算求导法则导函数基本导数公式复合函数求导法则求简单函数的导数算求导法则判断函数的单调性算求导法则判断函数的极大（小）值求函数的极大（小）值微分算求导法则函数的增量算求导法则函数的应用二 、学习要点导数的方法涉及导数的定义、常用求导公式、四则运算求导法则求导方法，导数在函数研究上的应用主要涉及函数的单调性、极值、最值的判断与求解，应意识到求解一些实

2、际问题需要转化成求最值的数学模型。三、 点难点突破1.导数的实质导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，由于实践的需要，对于与物体运动速度问题相类似的一些问题长期探索的结果，而导数的概念就是变量的变化速度在数学上的一种抽象，把比值叫做函数y=f(x)从到之间的平均变化率，并把叫做y=f(x)在x=处的导数，这样定义符合实际。2.导数的运算法则导数的四则运算法则需要牢固记忆，而复合函数的求导法则：需要注意三点。用复合函数求导法则求导，要把中间变量换成自变量的函数，层层剥皮。分清每一步的求导是哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后， 常见 错误如下：实际上应是 。 求复合函数的导数，关键在于分清楚

3、函数的复合关系，选好中间变量，如：教材例题选成，这样计算起来复杂多了。3.导数的几何意义设函数y=f(x)在处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M处的切线斜率。设s=s(t)是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度；若V=V（t）是速度函数，则表示物体在时刻的加速度。4.导数与连续的关系若函数y=f(x)在处可导，则此函数在点处连续，但逆命题不成立，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要不充分条件。通过以上对导数概念的梳理和剖析，对导数这部分应有所认识，为有更深刻的理解，强化导数概念的应用意识例析如下：例1 用定义求在点x=10处的导数。【分析】分别求出在x=10处的左右极限。【

4、解析】 =16，即。【评析】导数定义给出了求导的最基本的方法，如果用求导公式、法则都无法求导时，就要考虑定义去求导。本题是分段函数在界点处的导数，就只能用定义去求，这时要特别注意只有当，左右导数均存在且相等时函数在这点的导数才存在。例2 若曲线与直线y=3x+1相切。求a的值。【解析】设切点P，由，故曲线在点P处的切线为：，又，于是切线的方程为：，整理得，它与直线y=3x+1重合，所以有，于是，。【评析】对于曲线y=f(x)，若在P处的切线存在，且不与x轴垂直，则其方程被确定：，所以要求具有某种性质的切线，只须求出对应的即可。例3 已知 的最大值为3，最小值为29，求a，b。【解析】，否则f(

5、x)为常数b与题设矛盾，令=0，得x=0,4（舍）（1）当时，有下表 x-1,0）0（0，2+0f(x)极大值因为f(x)连续，可见当x=0时，f(x)有最大值，从而f(0)=3=b，又f(1)=7a+3，f(2)=16a+3，得a=2。（2）当时，用类似的办法可以判断当x=0时，f(x)有最小值。于是29=f(0)=b，又f(1)=7a29，f(2)=16a29f(1),当x=2时，f(x)有最大值，即16a29=3，a=2，b=29。【评析】求可导函数在a，b上的最大、最小值，先求出方程在a，b内的解，并计算出相应的函数值，再与区间端点处的函数值比较，即可求出最大、最小值及对应的x值。例4

6、 设函数，其中，求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是增函数。【分析】求出，然后看，当x时，的变化范围。【解析】，x，。故当a1时，0恒成立，即a1时f(x)在上递减。又当0a1时，在区间上存在两点，满足，所以函数f(x)在区间上不是单调函数。【评析】（1）若此体用初等数学的方法来处理，需要较强的技巧，而采用求导的方法显然很容易。（2）当a1时，f(x)在上递减，但要证明当0a1时，函数f(x)在区间上不是单调函数。例5 求a的范围，使不等式对任何实数x都成立。【分析】这是一个恒成立的问题，只要的最小值大于2a。问题归结为求在（，+）上的最小值。【解析】令，则，令=0得，x=0或x=3，当x

7、0时，0；当0x3时，0；当3x+时，0。x=3时，f(x)取极小值为f(3)=27。由x时，f(x) +；x+时，f(x) +，f(x)的最小值为27。只要272a，故a29。【评析】利用导数知识解决问题时，要善于运用等价转化的数学思想方法。4kmABCO例6 如下图所示，一条和宽1km，相距4 km（直线距离）的两座城市A、B分别位于河的两岸（城市A、B与岸边的距离忽略不计）现需要铺设一条电缆连通城市A、B，已知地下电缆的修建费为2万元/km，水下电缆的修建费为4万元/km，假设两岸是平行直线，问应如何铺设电缆可使总费用最省？【分析】本题显然是实际问题中寻找最值的题目类型，关键是将实际问题转换成纯数学问题，然后求解。【解析】过B作对岸所在直线的垂线，垂足记为O，设到O的距离为xkm的点为C，分别铺设BC、CA之间的水下、地下电缆，可使总费用最省，则 ，AC=AOOC（），总费用为