定积分的应用元素法ppt课件

1、第六章利用元素法处置利用元素法处置: 定积分在几何上的运用定积分在几何上的运用定积分的运用第一节定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分处置一、什么问题可以用定积分处置 ? 二二 、如何运用定积分处置问题、如何运用定积分处置问题 ? 第六章 表示为niiixfU10)(lim一、什么问题可以用定积分处置一、什么问题可以用定积分处置 ? ? 1 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f x 有关的2 U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可经过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义一个整体量 ;二二 、如何运用定积

2、分处置问题、如何运用定积分处置问题 ? ?第一步第一步 利用利用“化整为零化整为零 , 以常代变以常代变 求出部分量求出部分量的的微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用利用“ 积零为整积零为整 , 无限累加无限累加 求出整体量的求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法称为元素法 或微元分析法 元素的几何外形常取为元素的几何外形常取为: 条条, 带带, 段段, 环环, 扇扇, 片片, 壳壳 等等近似值准确值四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积 补充补充 三、平行截面面积函数的三、平行截面面积函数的 立体体积立体体积第二节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线

3、的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的运用 第六章 ybxa)(2xfy )(1xfy O一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲那么xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为 A ,右以以下图所示图形面积为 xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxd例例1. 计算两条抛物线计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围图形的面积 . 解解: 由由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0(xxxAd)(d22332x01331x3110AxyOxy 22xy Oxy2

4、24 xyxy例例2. 计算抛物线计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,那么有42Ayyydab例例3. 求椭圆求椭圆12222byax解解: 利用对称性利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax运用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxxdxyOxya2O例

5、例4. 求由摆线求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Attad)cos1 (2022xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积21|( )( )|baAfxfxdx直角坐标系下平面图形面积的计算直角坐标系下平面图形面积的计算xxxx x 2. 2. 极坐标情形极坐标情形,0

6、)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r d在区间,上任取小区间d,那么对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212AxO对应 从 0 变例例5. 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:)0( aardd)(212a20A22a331022334a到 2 所围图形面积 . a2xOxa2Ottadcos82042例例6.6.计算心形线计算心形线所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02A02ad2cos44利用对称性2t令28a43212223a2coscos21)2cos1 (21

7、aa2xyO例例7. 计算心形线计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,)0()cos1 (aar所求面积ar d)cos1 (2122a2221aA 22221aad)2cos21cos223(2432122aa22245aa 2a2sin2a例例8. 求双纽线求双纽线所围图形面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0那么所求面积为42a思索思索: 用定积分表示该双纽线与圆用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462a4答案答案:4yxO二、

8、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 假设在弧假设在弧 AB 上恣意作内接折上恣意作内接折线线 ,0M1iMiMnM当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 恣意光滑曲线弧都是可求长的恣意光滑曲线弧都是可求长的.证明略ni 10lims那么称OAByxsdabyxO1 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素弧微分 :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs2 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元

9、素弧微分 :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs3 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr那么得sd弧长元素弧微分 :本人验证例例9. 求延续曲线段求延续曲线段ttyxdcos2解解:,0cosx此题22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos2220022sin222x4例例10. 计算摆线计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1

10、 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2d222aa例例11. 求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2Oar 例例. 求求. )0(d22axax解解: 令令,22axu, 1 v那么,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式 =2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22

11、三、平行截面面积函数的立体体积三、平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为Ax, ,)(baxA在那么对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd( )A x上延续,Oxy)(yx特别 , 当思索延续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当思索延续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy xayxb例例12. 计算由椭圆计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积. 解解: 方

12、法方法1 利用直角坐标方程利用直角坐标方程)(22axaxaaby那么xxaabad)(220222利用对称性3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x方法方法2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程tbytaxsincos那么xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343aayxbOxa2xyO例例13. 计算摆线计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为x

13、yVaxd202利用对称性利用对称性 022)cos1 (2tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyad202xyOa2a绕 y 轴旋转而成的体积为)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0留意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 注注分部积分对称关于2202dsin)sin(tttt20322d)s

14、insin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3利用“偶倍奇零0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226柱壳体积阐明阐明: xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02Oa2xy偶函数yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇函数奇函数33

15、6a轴所围图及表示xtxxfytV)0(, )()(例例14. 设设)(xfy 在 x0 时为延续的非负函数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:. )(2)(tftV 证证:xtxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d那么xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故)(xfxOy例例15. 一平面经过半径为一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成 角,222Ryx解解: 如以下图取坐标系如以下图取坐标系,那么圆的方程为垂直

16、于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .ORxyxORx),(yxyR思索思索: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22解解: 垂直垂直 x 轴的截面是椭圆轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222axaxczby例例16. 计算由曲面计算由曲面1222222czbyax所围立体椭球体它的面积为)1

17、()(22axcbxA因此椭球体体积为xbcaxd)1 (22cb20acba34特别当 a = b = c 时就是球体体积 .)(axaaV02x233axx的体积.Oazxycb例例17. 求曲线求曲线132xy与 x 轴围成的封锁图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.1994 考研解解: 利用对称性利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122x12yBCAO3内容小结内容小结1. 平面图形的面积边境方程参数方程极坐标方

18、程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程直角坐标方程留意留意: 求弧长时积分上求弧长时积分上下限必需上大下小下限必需上大下小21( )( )dbtatAydxtttd)(212A3. 平行截面面积函数 Ax 的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积sySd2d侧面积元素为留意在不同坐标系下 ds 的表达式yxxA2)(绕 y 轴 :柱壳法)(xyy ,)(轴旋转绕xxyy 四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积 补充补充设平面光滑曲线, ,)(1baCxfy求上的圆台的侧面

19、积位于d,xxxsySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12xxyO)(xfy abxyO)(xfy absySd2d侧面积元素xyd2sdxd假设光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 那么它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的)(2ttttd)()(22S留意留意:侧面积为xyd2原因是的线性主部 .不是薄片侧面积S 思索与练习思索与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边境长 s .提示提示: 交点为交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312

20、yx 032 yxyxO13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 为积分变量 , 那么要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 2. 试用定积分求圆)()(222bRRbyx绕 x 轴RbR上上半圆为22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbxd求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性利用对称性旋转而成的环体体积 V 及外表积 S .OxyRV02bR222OxyRbR方法方法2 用柱壳法用柱壳法Vdy2x2ydRbRbV4ybyRyd)(22ybR222阐明阐明: 上式可变形为上式可变

21、形为2 RV b2d2bR 20上上半圆为,22xRby下下 y22xRx此式反映了环体元素的另一种取法如以下图. dd2bRVOxyRbR求侧面积求侧面积 :R02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用对称性RS2b2S上式也可写成d2bR20上上半圆为,22xRby下下 y22xRx它也反映了环面元素的另一种取法: d2dbRS作业作业 P284 2 1 ; 3; 4; 5 2; 9; 面积部分：面积部分： 体积部分：体积部分：P286 13; 14 ; 15 1, 4 ; 17; 18补充题补充题: 设有曲线设有曲线 , 1xy过原点作其切线 , 求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的外表积.备用题备用题解：解：1. 求曲线求曲线所围