矿大高数82偏导数课件

1、矿大高数82偏导数PPT课件1一、偏导数的定义及其计算法:一一元元函函数数)(xfy :点导数点导数在在0 xxxfxxfxfx)()(lim)(0000?),(:怎样定义偏导数怎样定义偏导数对对问题问题yxfz 第二节第二节 偏导数偏导数矿大高数82偏导数PPT课件2定义矿大高数82偏导数PPT课件300yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000即即矿大高数82偏导数PPT课件4处的两个偏导数在求例) 1 , 1 (),(12yxyxf:解解xfxffxx),(),(lim),(1111110

2、 xxx11120)(lim)(limxx202yfyffyy),(),(lim),(1111110yyy1110)(lim1矿大高数82偏导数PPT课件5同理同理),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导函函数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy. xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0即即yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0即即:说明说明矿大高数82偏导数PPT课件6:由此知由此知0000yyxxxxyxfyxf),(),(0000yyxxyyyxfyxf),(),(yxyxf2),(如上例如上例xyxfyxxfyxfxx),(),(lim

3、),(0 xy21111yxxxyxff),(),(112yxyx2矿大高数82偏导数PPT课件70) ),(),()2(000 xxxyxfdxdyxf 0000yyyyxfdydyxf) ),(),(矿大高数82偏导数PPT课件8(3)(3)偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 矿大高数82偏导数PPT课件9:偏导数的求法偏导数

4、的求法.,导导法法则则及及公公式式求求偏偏导导用用一一元元函函数数求求数数就就将将其其它它自自变变量量看看作作常常量量的的偏偏导导数数求求多多元元函函数数对对哪哪个个自自变变矿大高数82偏导数PPT课件10例例 2 2 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数 解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 矿大高数82偏导数PPT课件11例例 3 3 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 . 证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyx

5、x .2z 原结论成立原结论成立矿大高数82偏导数PPT课件12例例 4 4 设设22arcsinyxxz ，求求xz ，yz . 解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 矿大高数82偏导数PPT课件13 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx 例例 4 4 设设22arcsinyxxz ，求求xz ，yz . 矿大高数82偏导数PPT课件14例例 5 5 已已知知理理想想气气体体的的状状态态方方程程RTpV （R为为常常数数） ，求求证证：1 pTTVVp. 证证 VRTp;2VRTVp pRTV;

6、pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 矿大高数82偏导数PPT课件15偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号号，不不能能拆拆分分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解0| 00|0(0,0)limxxxfx （）0 ).0 , 0(yf 矿大高数82偏导数PPT课件16、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例例如如,函函数数 0, 00,),(222222yxyxy

7、xxyyxf,依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，矿大高数82偏导数PPT课件17?:连续是否偏导数存在连续是否偏导数存在问题问题.),(连连续续但但偏偏导导数数不不存存在在点点在在如如00yxz,连连续续不不一一定定偏偏导导数数存存在在续续偏偏导导数数存存在在也也不不一一定定连连矿大高数82偏导数PPT课件184、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,

8、),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图矿大高数82偏导数PPT课件19 偏偏导导数数),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线xTM0对对 x轴轴的的斜斜率率. 偏偏导导数数),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对 y 轴轴的的斜斜率率. 几何意义几何意义: :矿大高数82偏导数PPT课件20),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyz

9、yzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数矿大高数82偏导数PPT课件21例例 5 设设13323 xyxyyxz， 求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz . 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx矿大高数82偏导数PPT课件22例例 6 6 设设byeuaxcos

10、 ，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 矿大高数82偏导数PPT课件23定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数xyz 2及及yxz 2在在区区域域 D D 内内连连续续，那那末末在在该该区区域域内内这这两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数必必相相等等问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？例例 6 6 验验证证函函数数22ln),(yxyxu 满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程. 02222 yuxu矿大高数82偏导数PPT课件24解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yx