计算机科学计算答案 第一章 绪论

1、矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析目 录第一章 误差分析与向量与矩阵的范数11. 1.1内容提要12. 1.2典型例题分析13. 1.3习题14. 1.4习题解答1第二章 矩阵变换与计算35. 2.1内容提要36. 2.2典型例题分析57. 2.3习题88. 2.4习题解答10第三章 矩阵分析149. 3.1内容提要1410. 3.2典型例题分析1611. 3.3习题1912. 3.4习题解答24第四章 逐次逼近1413. 4.1内容提要1414. 4.2典型例题分析1615. 4.3习题194.4习题解答24第五章 插值与逼近1416. 5.1内容提要1417. 5.2典型例题分析1618

2、. 5.3习题195.4习题解答24第六章 插值函数的应用1419. 6.1内容提要1420. 6.2典型例题分析1621. 6.3习题196.4习题解答24第七章 常微分方程数值解1422. 7.1内容提要1423. 7.2典型例题分析1624. 7.3习题197.4习题解答24第八章 矩阵特征对的数值解法1425. 8.1内容提要1426. 8.2典型例题分析1627. 8.3习题198.4习题解答24自测试卷33自测试卷参考答案33自测试卷33自测试卷参考答案33自测试卷33自测试卷参考答案33参考文献32第一章 误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效

3、数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。1误差的基本概念和有效数字1）绝对误差和相对误差的基本概念设实数为某个精确值，为它的一个近似值，则称为近似值的绝对误差，简称为误差 当时，称为的相对误差在实际运算中，精确值往往是未知的，所以常把作为的相对误差2）绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数为某个精确值，为它的一个近似值，如果有常数，使得 称为的绝对误差界，或简称为误差界称是的相对误差界此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明近似的程度越好，即的精度越好3）有效数字设实数

4、为某个精确值，为它的一个近似值，写成 它可以是有限或无限小数的形式，其中是中的一个数字，为整数如果 则称为的具有位有效数字的近似值如果有位有效数字，则的相对误差界满足：。4）函数计算的误差估计如果为元函数，自变量的近似值分别为，则其中，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有如果令，设的近似值分别为，其误差界为和，取为之间的四则运算，则它们的误差估计为，；，。数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高对于两个数作相减运算时，由于其相对误差界：。如果和是两个十分接近的数，即和两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值的有效数字的位数将会很少。对于两个数作相除运算时，

5、由于其相对误差界：。从关系式中可以看出，如果很小，即很小，计算值的误差可能很大。5）数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则 算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之，成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。 在实际计算中应尽力避免绝对值极小数作除数。 注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。 多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。2向量和矩阵范数把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数

6、都可以看作矩阵大小的一种度量。范数的主要的应用：一、研究这些矩阵和向量的误差估计。二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。1）向量范数定义 存在（维实向量空间）上的一个非负实值函数，记为，若该函数满足以下三个条件：即对任意向量和以及任意常数（实数域） （1）非负性 ，并且的充分必要条件为; （2）齐次性； （3）三角不等式 则称函数为上的一个向量范数常用三种的向量范数设任意维向量，（为向量的转置）， 向量的1-范数 ， 向量的2-范数 ， 向量的-范数 一般情况下，对给定的任意一种向量范数，其加权的范数可以表为，其中W为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。向量范数的连续性定理 上

7、的任何向量范数均为的连续函数。向量范数的等价性定理 设和为上的任意两种向量范数，则存在两个与向量无关的正常数c1和c2，使得下面的不等式成立 ，其中. 2). 矩阵范数定义 存在（维复矩阵集合）上的一个非负实值函数，记为，对任意的均满足以下条件： （1）非负性：对任意矩阵均有，并且的充分必要条件为;（2）齐次性：，；（3）三角不等式：, ；（4）相容性：, ，则称为上的矩阵范数。我们可定义如下的矩阵范数：，矩阵的-范数 ，矩阵的-范数（Frobenius）范数。（矩阵范数与向量范数相容性定义） 对于一种矩阵范数和一种向量范数，如果对任意n×n矩阵和任意n维向量x, 满足，则称矩阵范数

8、与向量范数是相容的。3）矩阵的算子范数定理 已知上的向量范数，为n×n矩阵，定义 则是一种矩阵范数，且与已知的向量范数相容，称之为矩阵的算子范数。三种常用的矩阵的算子范数； (列范数) (行范数) （谱范数）其中表示矩阵的最大特征值。对任何算子范数，单位矩阵的范数为1，即。 可以证明： 任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数；任意给定的向量范数必然存在与之相容的矩阵范数（如从属范数） 一个矩阵范数可以与多种向量范数相容（如矩阵范数与向量-范数相容）；多种矩阵范数可以与一个向量范数相容（如矩阵范数和矩阵范数与向量范数相容）。 从属范数一定与所定义的向量范数相容，但是矩阵范数与向量

9、范数相容却未必有从属关系。（如，与向量、与向量相容，但无从属关系）。 并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。4）矩阵范数的性质 设为矩阵空间的一种矩阵范数，则对任意的n阶方阵均有 其中为方阵的谱半径。注意：当时，。 对于任给的>0, 则存在上的一种算子范数（依赖矩阵和常数），使得 对于上的一种算子矩阵范数，如果且<1, 则可逆且二、典型例题分析例11：下列近似值的绝对误差限均为0.005，问它们各有几位有效数字？，解： 现将近似值写成标准形式：, , ,在直接根据有效数字定义得出， ，即有5位有效数字； ，即有1位有效数字； ，即无有效数字。例12：已知的相对误差为，求的相对误差

10、。解：此题要利用函数计算的误差估计，即取，则由，可推出 ，故的相对误差为。例13：此为减少运算次数达到避免误差危害的例子利用3位算术运算求在处的值。表中给出了传统的方法的计算的中间结果。在这里我们使用了两种取值法：截断法和舍入法。精确值4.7122.1841104.487 111135.323 0115.0723位数值（截断法）4.7122.110413515.03位数值（舍入法）4.7122.110413515.1精确值：3位数值（截断法）：3位数值（舍入法）：上述3位数值方法的相对误差分别是，截断法 ，舍入法作为另一种办法，用秦九韶方法（嵌套法）可将写为那么，3位数值（截断法）：3位数值（

11、舍入法）：则相对误差分别是，（截断法） ，（舍入法）可见使用秦九韶方法（嵌套法）已将截断近似计算的相对误差减少到原方法所得相对误差的之内。对于舍入近似计算则改进更大，其相对误差已减少以上。多项式在求值之前总应以秦九韶方法（嵌套法）表示，原因是这种形式使得算术运算次数最小化。本例中误差的减小是由于算术运算次数从4次乘法和3次加法减少到2次乘法和3次加法。减少摄入误差的一种办法是减少产生误差的运算的次数。例14：已知近似值，均为有效数字，试估计如下算术运算的相对误差。解：由已知，；。令，由函数运算的误差估计式+从而，相对误差可写成若，则绝对误差，相对误差为：；若，则绝对误差，相对误差为：；若，则绝

12、对误差，相对误差为：；这个例子说明绝对误差有较大变化时，相对误差相同。作为精确性的度量，绝对误差可能引起误解，而相对误差由于考虑到了值的大小而更有意义。例15：在中用图表示下面的点集，并指出它们的共同性质。，解：这些点集的共同性质是：它们都是有界、闭的、凸的，关于原点对称的。例16：其中表示的模此范数称p-范数，而且，2范数为当，2时的范数。而当时，有。 证明：事实上，两边开次方得，由于，故。例17：证明为空间上向量范数。证明：（1）对任给维向量，若，则不全为零，故 （2）对任给，则 （3） 对任给，则由Cauchy-Schiwatz不等式：可得, =。由向量范数的定义，为空间上的向量范数。例

13、18设=，求、和。解：；注意到，=，令 得，从而。1 3习题1、填空题(1) 设,则= , = ,= , = 及的谱半径= 。(2) ，则= , = ,= (3) 记，判断如下定义在上的函数是否为上的向量范数（填是或不是）.（ ）；（ ）；（ ）。(4) 使的近似值的相对误差限不超过0.1，应取几有效数字, = .2、证明 （1）； （2）3、设 x为上任一范数，是非奇异矩阵，定义=，证明：算子范数=。4、设为阶非奇异矩阵，为阶酉矩阵.证明：(1) ； (2) 5、已知，问以下近似值有几位有效数字，相对误差是多少？（1）, （2），（3）, （4）.6、给定方程，利用，求精确到五位有效数字的根

14、。并求两个根的绝对误差界和相对误差界。7. 在五位十进制计算机上求 ， 的和，使精度达到最高，其中。8. 在六位十进制的限制下，分别用等价的公式（1） ； （2）计算的近似值，近似值分别为多少？求对数时相对误差有多大？9. 若用下列两种方法（1）， （2），计算的近似值，问那种方法能提供较好的近似值？请分析原因。10. 计算，取，直接计算f和利用下述等式 ；计算，那一个最好？11. 如何计算下列函数值才比较准确。 （1）； （2）；（3）充分大； （4）。1.4习题解答 1、解（1）有定义，= 3, = 5,=, =及= 3。(2) ，则= 19, = 12,= 13。(3)（是）；为给定向量

15、1-范数的加权的范数，其中取对角矩阵，。 （不是）；不满足向量范数性质1；（不是）；不满足向量范数性质1。(4) =8.3667。因，要是得相对误差限不超过，即，则时，有。 2、只就（2）证明 ，由定义可得， 从而，。3、首先，证明是一向量范数。事实上，1）因是非奇异矩阵，故，故时，且当时，于是，当且仅当时，=0成立；2）对，；3）。故是一向量范数。再，令，因非奇异，故与为一对一，于是4、证明：(1)，由算子范数的定义；证明：(2)，。此结论表明酉阵具有保2-范数的不变性。5、解：（1）由于，由有效数字定义可知，有2位有效数字；又，再由相对误差界的公式，；（2）由于，由有效数字定义可知，有4位

16、有效数字；又，再由相对误差界的公式，；（3）由于，由有效数字定义可知，有2位有效数字；又，再由相对误差界的公式，；（4）由于，由有效数字定义可知，有4位有效数字；又，再由相对误差界的公式，。6、给定方程，利用，求精确到五位有效数字的根。并求两个根的绝对误差界和相对误差界。解：由二次方程求根公式知，。若利用，则近似根具有5位有效数字，而，只有2位有效数字。若改用则此方程的两个近似根，均具有5位有效数字。它们的绝对误差界和相对误差界分别为：；。7，其中，计算机作加减法时，先将相加数阶码对齐，根据字长舍入，则 与和在计算机上做和时，由于阶码升为5位尾数左移变成机器零，这便说明用小数做除数或用大数做乘数时，容易产生大的舍入误差，应尽量避免若改变运算次序，先把相加，相加。再与相加。即8分析：由于，求的值应看成复合函数。先令，由于开方用六位函数表，则的误差为已知，故应看成，由的误差限求的误差限。解：当时求，用六位开方表得，其具有3位有效数字。故。由，得，故。于是，。 若用公式，令，此时，则，其具有6位有效数字。故。而 。于是，可见，用公式计算更精确。