高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布课件 新人教A版选修2-3

1、2.4正态分布主题正态分布主题正态分布1.1.由函数由函数,(x)= ,x(-,+)(x)= ,x(-,+)的解析式的解析式, ,观测其图象观测其图象,(x)(x)的值的值, ,你能说出该函数曲线在平面你能说出该函数曲线在平面直角坐标系中的大体位置吗直角坐标系中的大体位置吗? ?提示提示: :因为因为 0, 0,0, 0,所以所以, ,(x)0,(x)0,即该函即该函数曲线位于数曲线位于x x轴上方轴上方, ,与与x x轴不相交轴不相交. .22x21e2（）1222x 2e（）2.2.由函数由函数,(x)= ,x(-,+)(x)= ,x(-,+)的解析的解析式式, ,观测其幂指数解析式观测其

2、幂指数解析式, ,你能说出该函数曲线的对称你能说出该函数曲线的对称性以及最大值吗性以及最大值吗? ?提示提示: :由于由于e e的幂指数的幂指数t=- t=- 可看作一个关于可看作一个关于x x的二的二次函数次函数, ,显然其开口向下显然其开口向下, ,对称轴方程为对称轴方程为x=x=, ,因此该函因此该函数曲线关于直线数曲线关于直线x=x=对称对称, ,在在x=x=时达到最大值时达到最大值 . .22x21e2（）22x2（）123.3.结合频率分布直方图以及正态曲线的定义结合频率分布直方图以及正态曲线的定义, ,试说明曲试说明曲线与线与x x轴之间的面积是多少轴之间的面积是多少? ?提示提

3、示: :因为频率分布直方图中因为频率分布直方图中, ,各个小矩形的面积之和各个小矩形的面积之和为为1,1,再结合正态曲线的定义可知再结合正态曲线的定义可知: :正态曲线与正态曲线与x x轴之间轴之间的面积为的面积为1.1.结论结论: :正态分布的相关概念正态分布的相关概念1.1.正态曲线正态曲线: :函数函数,(x)=_,x(-,+),(x)=_,x(-,+),其中实数其中实数,(0),(0)为参数为参数, ,我们称我们称,(x)(x)的图象的图象为正态分布密度曲线为正态分布密度曲线, ,简称正态曲线简称正态曲线. .22x21e2（）2.2.正态曲线性质正态曲线性质: :(1)(1)曲线位于

4、曲线位于x x轴轴_,_,与与x x轴不相交轴不相交. .(2)(2)曲线是单峰的曲线是单峰的, ,它关于直线它关于直线_对称对称. .(3)(3)曲线在曲线在x=x=处达到峰值处达到峰值_._.(4)(4)曲线与曲线与x x轴之间的面积为轴之间的面积为_._.上方上方x=x=121 1(5)(5)当当一定时一定时, ,曲线的位置由曲线的位置由确定确定, ,曲线随着曲线随着_的的变化而沿变化而沿x x轴平移轴平移. .(6)(6)当当一定时一定时, ,曲线的形状由曲线的形状由确定确定.越小越小, ,曲线越曲线越“_”,_”,表示总体的分布越表示总体的分布越_;_;越大越大, ,曲线越曲线越“_

5、”,_”,表示总体的分布越表示总体的分布越_._.如图所示如图所示. .瘦高瘦高集中集中矮胖矮胖分散分散3.3.正态分布及正态变量在三个特殊区间内取值的概率正态分布及正态变量在三个特殊区间内取值的概率: :(1)(1)正态分布正态分布: :如果对于任何实数如果对于任何实数a,b(ab),a,b(ab),随机变量随机变量x x满足满足p(axp(axb)=_,b)=_,则称随机变量则称随机变量x x服从正态分布服从正态分布. .记为记为:x:xn(_).n(_). b,ax dx,2 2(2)(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率正态变量在三个特殊区间内取值的概率: :p(-x+)_;p(-x

6、+)_;p(-2x+2)_;p(-2x+2)_;p(-3x+3)_.p(-30)(0)分别表示随机变量的哪一个数字特征分别表示随机变量的哪一个数字特征? ?提示提示: :表示正态分布的均值表示正态分布的均值, ,表示正态分布的标准差表示正态分布的标准差. .22x21e2（）4.4.在正态分布曲线中在正态分布曲线中, ,曲线的曲线的“胖瘦胖瘦”是由哪个量决定是由哪个量决定的的? ?曲线的左右位置是由哪个量决定的曲线的左右位置是由哪个量决定的? ?提示提示: :曲线的曲线的“胖瘦胖瘦”是由参数是由参数决定的决定的; ;曲线的左右曲线的左右位置是由参数位置是由参数决定的决定的. .【预习自测预习自

7、测】1.1.正态分布正态分布n(0,1)n(0,1)在区间在区间(-2,-1)(-2,-1)和和(1,2)(1,2)上取值的概上取值的概率为率为p p1 1,p,p2 2, ,则二者大小关系为则二者大小关系为( () )a.pa.p1 1=p=p2 2b.pb.p1 1ppp2 2d.d.不确定不确定【解析解析】选选a.a.根据正态分布曲线的特点根据正态分布曲线的特点, ,图象关于图象关于x=0 x=0对称对称, ,可得在区间可得在区间(-2,-1)(-2,-1)和和(1,2)(1,2)上取值的概率上取值的概率p p1 1,p,p2 2相相等等. .2.2.设随机变量设随机变量x xn(,n(

8、,2 2),),则随着则随着的增大的增大, ,概率概率p(|x-|3)p(|x-|3)将会将会( () )a.a.单调增加单调增加b.b.单调减少单调减少c.c.保持不变保持不变d.d.增减不定增减不定【解析解析】选选c.c.服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量x,x,不论不论, ,怎怎么变化么变化,p(|x-|3),p(|x-|c),p(xc)=p(xc),则则c c等等于于_._.【解析解析】由正态曲线性质可知图象关于由正态曲线性质可知图象关于x=x=对称对称, ,而本而本题关于题关于x=cx=c对称对称. .答案答案: :5.5.设有一正态总体设有一正态总体, ,它的概率密度曲线

9、是函数它的概率密度曲线是函数f(x)f(x)的图的图象象, ,且且f(x)= f(x)= 则这个正态总体的均值与标准则这个正态总体的均值与标准差分别是差分别是_._.【解析解析】由正态曲线由正态曲线 知知, ,即即=10,=2.=10,=2.答案答案: :10,210,22x 10 81e8， 22(x)21f xe22810，6.6.已知某工厂生产的某种型号的卡车轮胎的使用寿命已知某工厂生产的某种型号的卡车轮胎的使用寿命( (单位单位:km):km)服从正态分布服从正态分布n(36203,4827n(36203,48272 2).).一汽车公司一汽车公司一次性从该厂买了一次性从该厂买了500

10、500个轮胎个轮胎, ,利用正态分布估计使用利用正态分布估计使用寿命在寿命在36203-236203-24827482736203+236203+248274827范围内的轮胎范围内的轮胎个数是多少个数是多少. .【解析解析】因为卡车轮胎的使用寿命服从正态分布因为卡车轮胎的使用寿命服从正态分布n(36203,n(36203,482748272 2),),所以所以p(36203-2p(36203-24827482736203+236203+24827)4827)0.9545.0.9545.因为汽车公司一次性从该厂买了因为汽车公司一次性从该厂买了500500个轮胎个轮胎, ,所以所以使用寿命在使用

11、寿命在36203-236203-24827482736203+236203+248274827范围内的轮范围内的轮胎个数约是胎个数约是5005000.9545477(0.9545477(个个).).类型一正态分布的概念与性质类型一正态分布的概念与性质【典例典例1 1】(1)(1)把一条正态曲线把一条正态曲线c c1 1沿着横轴方向向右移动沿着横轴方向向右移动2 2个单位个单位, ,得到一条新的曲线得到一条新的曲线c c2 2, ,下列说法中不正确的下列说法中不正确的是是( () )a.a.曲线曲线c c2 2仍然是正态曲线仍然是正态曲线b.b.曲线曲线c c1 1和曲线和曲线c c2 2的最高

12、点的纵坐标相等的最高点的纵坐标相等c.c.以曲线以曲线c c2 2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线为概率密度曲线的总体的均值比以曲线c c1 1为为概率密度曲线的总体的均值大概率密度曲线的总体的均值大2 2d.d.以曲线以曲线c c2 2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线c c1 1为为概率密度曲线的总体的方差大概率密度曲线的总体的方差大2 2(2)(2)如图所示是一个正态曲线如图所示是一个正态曲线, ,其解析式为其解析式为f(x)=f(x)= 试根据该图象写出其正态分布参数试根据该图象写出其正态分布参数,2 2的值的值. .22(x)21e2，【解题指南解

13、题指南】(1)(1)正态曲线沿着横轴方向水平移动只改正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置变对称轴位置, ,曲线的形状没有改变曲线的形状没有改变, ,所得的曲线依然所得的曲线依然是正态曲线是正态曲线. .(2)(2)给出了一个正态曲线给出了一个正态曲线, ,就给出了该曲线的对称轴和就给出了该曲线的对称轴和最大值最大值, ,从而就能求出总体随机变量的均值、方差从而就能求出总体随机变量的均值、方差. .【解析解析】(1)(1)选选d.d.在正态曲线沿着横轴方向水平移动的在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中过程中,始终保持不变始终保持不变, ,所以曲线的最高点的纵坐标所以曲线的最高点的纵坐标

14、即正态分布曲线的最大值即正态分布曲线的最大值 不变不变, ,方差方差2 2也没有变也没有变化化. .设曲线设曲线c c1 1的对称轴为的对称轴为x=,x=,那么曲线那么曲线c c2 2的对称轴则为的对称轴则为x=+2,x=+2,说明均值从说明均值从变到了变到了+2,+2,增大了增大了2.2.12(2)(2)从给出的正态曲线可知从给出的正态曲线可知, ,该正态曲线关于直线该正态曲线关于直线x=20 x=20对称对称, ,最大值是最大值是 , ,所以所以=20.=20.由由 得得= .= .所以所以2 2=2.=2.故故=20,=20,2 2=2.=2.12 1122，2【方法总结方法总结】利用正

15、态曲线的性质求参数利用正态曲线的性质求参数,的方法的方法(1)(1)正态曲线是单峰的正态曲线是单峰的, ,它关于直线它关于直线x=x=对称对称, ,由此性质由此性质结合图象求结合图象求.(2)(2)正态曲线在正态曲线在x=x=处达到峰值处达到峰值 由此性质结合图由此性质结合图象可求象可求.12，【拓展拓展】1.1.若随机变量若随机变量x xn(,n(,2 2),),则则y=ax+by=ax+bn(a+b,an(a+b,a2 22 2).).其理由如下其理由如下: :因为因为e(ax+b)=ae(x)+b=a+b,e(ax+b)=ae(x)+b=a+b,d(ax+b)=ad(ax+b)=a2 2

16、d(x)=ad(x)=a2 22 2, ,因此因此,y=ax+b,y=ax+bn(a+b,an(a+b,a2 22 2).).2.2.正态分布的性质表示的含义正态分布的性质表示的含义性质性质1 1说明函数的值域为正实数的子集说明函数的值域为正实数的子集, ,且以且以x x轴为渐近轴为渐近线线; ;性质性质2 2是曲线的对称性是曲线的对称性, ,关于直线关于直线x=x=对称对称; ;性质性质3 3说明函数在说明函数在x=x=时取得最大值时取得最大值; ;性质性质4 4说明随机变量在说明随机变量在(-,+)(-,+)内的概率等于内的概率等于1;1;性质性质5 5说明当标准差一定时说明当标准差一定时

17、,变化时曲线的位置变化变化时曲线的位置变化情况情况; ;性质性质6 6说明当均值一定时说明当均值一定时,变化时总体分布的集中、变化时总体分布的集中、离散程度离散程度. .【巩固训练巩固训练】设两个正态分布设两个正态分布n(n(1 1, )(, )(1 10)0)和和n(n(2 2, )(, )(2 20)0)的密度函数图象如图所示的密度函数图象如图所示, ,则有则有( () )a.a.1 12 2,1 12 2b.b.1 12 2c.c.1 12 2,1 12 2,1 12 22122【解析解析】选选a.a.正态分布正态分布n(n(1 1, )(, )(1 10)0)的对称轴的对称轴x=x=1

18、 1, ,且在且在x=x=1 1处取得峰值处取得峰值 由密度函数图象可知由密度函数图象可知,1 1 2 2, ,峰值峰值 故故1 12 2. .21112，1211,22【补偿训练补偿训练】正态分布密度函数正态分布密度函数f(x)= f(x)= 下列结论错误的是下列结论错误的是( () )a.p(1)a.p(1)b.p(-11)=p(-11)b.p(-11)=p(-11)c.f(x)c.f(x)的渐近线是的渐近线是x=0 x=0d.=-1d.=-1n(0,1)n(0,1)2x 121e2，【解析解析】选选c.c.由正态分布密度函数由正态分布密度函数f(x)=f(x)=可知可知: :其对称轴为其

19、对称轴为x=1,x=1,标准差标准差=1.=1.所以所以p(1)p(1)正确正确; ;由正态曲线的性质可知由正态曲线的性质可知:p(-11)=p(-11),:p(-11)=p(-14)=p,p(x4)=p,则则p(2x4)=p(2x4)=( () )a. +pa. +pb.1-pb.1-pc.1-2pc.1-2pd. -pd. -p(2)(2)设设x xn(5,1),n(5,1),求求p(6x7).p(6x7).1212【解题指南解题指南】(1)(1)利用正态分布的图象特点计算利用正态分布的图象特点计算, ,注意注意应用对称性应用对称性. .(2)(2)由由x xn(5,1)n(5,1)知知=

20、5,=1,=5,=1,故故p(4x6)0.6827,p(4x6)0.6827,p(3x7)0.9545.p(3x7)0.9545.由对称性知由对称性知p(3x4)=p(6x7),p(3x4)=p(6x7),由此可求由此可求p(6x7).p(6x7).【解析解析】(1)(1)选选c.c.由由x xn(3,1)n(3,1)得得=3,=3,所以所以p(3x4)= -p,p(3x4)= -p,故故p(2x4)=2p(3x4)=1-2p.p(2x4)=2p(3x4)=1-2p.12(2)(2)由已知得由已知得p(4x6)0.6827,p(4x6)0.6827,p(3x7)0.9545,p(3x7)0.9

21、545,所以所以p(3x4)+p(6x7)0.9545-0.6827=0.2718,p(3x4)+p(6x7)0.9545-0.6827=0.2718,由对称性得由对称性得p(3x4)=p(6x7),p(3x4)=p(6x7),所以所以p(6x7) =0.1359.p(64)=p”p(x4)=p”改为改为“p(x4)=p”,p(x4)=p”,则结果如何则结果如何? ?【解析解析】由由x xn(3,1)n(3,1)得得=3,=3,所以所以p(3x4)=p- ,p(3x4)=p- ,所以所以p(2x4)=2p(3x4)=2p-1.p(2x4)=2p(3x4)=2p-1.122.2.若题若题(1)(

22、1)的条件不变的条件不变, ,求求p(x2).p(x2).【解析解析】由由x xn(3,1)n(3,1)得得=3,=3,所以所以p(x4)=p.p(x4)=p.【方法总结方法总结】正态分布概率求解的注意事项正态分布概率求解的注意事项(1)(1)注意对称注意对称: :解答此类问题的关键在于充分利用正态解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性曲线的对称性, ,把待求区间内的概率向已知区间内的概把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化率进行转化, ,在此过程中注意数形结合思想的运用在此过程中注意数形结合思想的运用. .(2)(2)注意面积注意面积: :正态曲线与正态曲线与x x轴所围成的面

23、积值为轴所围成的面积值为1;x1;x落落在区间在区间(a,b(a,b的概率与由正态曲线、过点的概率与由正态曲线、过点(a,0)(a,0)和和(b,0)(b,0)的两条的两条x x轴的垂线及轴的垂线及x x轴所围成的图形的面积相等轴所围成的图形的面积相等. .类型三正态分布的实际应用类型三正态分布的实际应用【典例典例3 3】设在一次数学考试中设在一次数学考试中, ,某班学生的分数某班学生的分数x xn(110,20n(110,202 2),),且知试卷满分且知试卷满分150150分分, ,这个班的学生共这个班的学生共5454人人, ,求这个班在这次数学考试中及格求这个班在这次数学考试中及格( (

24、即即9090分及以上分及以上) )的人的人数和数和130130分及以上的人数分及以上的人数. .【解题指南解题指南】由题意将所求的问题向由题意将所求的问题向(-,+,(-,+,(-2,+2,(-3,+3(-2,+2,(-3,+3这三个区间进行转这三个区间进行转化化, ,然后利用上述区间的概率求出相应概率然后利用上述区间的概率求出相应概率. .【解析解析】因为因为x xn(110,20n(110,202 2) )所以所以=110,=20,=110,=20,p(110-20x110+20)0.6827,p(110-20x110+20)0.6827,所以所以x130x130的概率为的概率为 (1-0

25、.6827)=0.15865,(1-0.6827)=0.15865,所以所以x90x90的概率为的概率为0.6827+0.15865=0.84135,0.6827+0.15865=0.84135,所以及格的人数为所以及格的人数为54540.8413545(0.8413545(人人),),130130分及以上的人数为分及以上的人数为54540.158659(0.158659(人人).).12【方法总结方法总结】1.1.生活中常见的正态分布生活中常见的正态分布(1)(1)在生产中在生产中, ,各种产品的质量指标一般都服从正态分各种产品的质量指标一般都服从正态分布布. .(2)(2)在测量中在测量中

26、, ,测量结果、测量的随机误差都服从正态测量结果、测量的随机误差都服从正态分布分布. .(3)(3)在生物学中在生物学中, ,同一群体的某种特征都服从正态分布同一群体的某种特征都服从正态分布. .(4)(4)在气象中在气象中, ,某地每年某月份的平均气温、平均湿度、某地每年某月份的平均气温、平均湿度、降雨量等都服从正态分布降雨量等都服从正态分布. .2.2.利用利用33原则求某区间内取值概率的基本方法原则求某区间内取值概率的基本方法(1)(1)根据题目给出的条件确定根据题目给出的条件确定与与的值的值. .(2)(2)将待求问题向将待求问题向(-,+,(-2,+2,(-,+,(-2,+2,(-3

27、,+3(-3,+3这三个区间转化这三个区间转化. .(3)(3)利用上述区间求出相应的概率利用上述区间求出相应的概率. .【巩固训练巩固训练】已知某批零件的长度误差已知某批零件的长度误差( (单位单位: :毫米毫米) )服服从正态分布从正态分布n(0,3n(0,32 2),),从中随机取一件从中随机取一件, ,其长度误差落在其长度误差落在区间区间(3,6)(3,6)内的概率为内的概率为( () )( (附附: :若随机变量若随机变量服从正态分布服从正态分布n(,n(,2 2),),则则p(-p(-+)68.27%,p(-2+2)95.45%)+)68.27%,p(-2+2)95.45%)a.4.56%a.4.56%b.13.59%b.13.59%c.27.18%c.27.18%d.31.74%d.31.74%【解析解析】选选b.b.已知误差服从正态分布已知误差服从正态分布n(0,3n(0,32 2),),p(0-30+3)68.27%,p(0-30+3)68.27%,p(0-60+6)95.45%,p(0-60+6)95.45%,p(36) (95.45%-68.27%)=13.59%.p(36) (95.45%-68.