第十章_弹性力学的能量原理

1、第十章 弹性力学的能量原理弹性力学的解法之一为弹性力学边值问题求解体系静力法。在前面各章中就围绕平面问题、扭转问题和空间轴对称问题进行了具体分析和研究。弹性力学问题的解法还有另一种解法：以能量形来建立弹性力学求解方程能量法（从数学意义上说也可认为变分法）。本章主要介绍几个基本能量原理以及基于能量原理的近似解法。在介绍能量原理以前，先介绍几个基本概念和术语。第一节 几个基本概念和术语edeijeijsijs1.1应变能U和应变余能Uc： 应变能 U在第四章中已定义过：应变能密度 弹性关系 如果将几何关系引入应变能, U、W为位移的函数。 应变余能（类似应变能）定义 应变余能密度 单位体积的应变余

2、能Wc与积分路径无关，只与终止状态和初始状态有关。 dWc=eijdsij 为全微分 逆弹性关系且 W+Wc= eijsij 当材料为线弹性时 但 , 在各向同性线性材料，应力应变关系 徐芝纶的弹性力学上册P.346（113）如在将几何关系引入上式 U=U(ui) 应变能是位移的函数 徐芝纶的弹性力学上册P.346（115） 代入Uc表达式 徐芝纶的弹性力学上册P.346（111）1.2可能位移 ui(k)和可能应变 eij(k)：可能位移ui(k)：在V内连续且可微，在 su上满足 。可能应变eij(k)：由ui(k)通过几何方程导出的 1.3可能应力 sij(k)：可能应力 sij(k)：

3、在V内满足 sij,j(k)+fi =0 在ss 上满足 满足静力方程1.4虚位移 dui和虚应变 deij ：两种可能位移ui(k1)和ui(k2)之差称为虚位移 dui，而由两种可能位移状态对应的可能应变 eij(k1)、eij(k2)之差 deij =(dui,j +duj,i )/2 在V内 dui =0 在su 上齐次位移边界条件。1.5虚应力 dsij ：dsij = sij(k1)-sij(k2) ；在V内：dsij,j = 0； 在ss 上: njdsij = 0；满足齐次静力方程。第二节 虚功方程Su )Ss 2.1虚功方程在给定体力、面力和约束情况下，如果找到两种状态: 第

4、一种状态：在给定的体力 fi和面力 ，已知（找到）可能应力状态sij(k1)，在V内：sij(k1)+fi =0 ; 在s =ss : 第二种状态：弹性体处于可能变形状态ui(k2) 、eij(k2) ; 在s =su: ;则第一种状态外力在第二种状态可能位移作的外力虚功等于第一种状态可能应力在第二种状态可能应变上作的虚变形功。虚功原理 2.2虚功方程的证明： 代入虚功方程左端，得并注意 ，则 We=Wi虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性质虚功方程成立。虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立，但一般应用是一种为真实状态，另一种为虚设可能状态（虚设状态）。DqP=1第三节 功的互等定理将虚

5、功方程用于线弹性体可导出功的互等定理。同一弹性体处于两种真实状态。 第一种状态：、满足所有方程。 第二种状态：、满足所有方程。根据虚功方程第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上做功 第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上做功 对于线弹性体本构关系 W12=W21第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上所做的功等于第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上所做的功。QQxPPb功的互等定理优点：可以避免求解物体内的应力、应变和位移场的复杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。第一：一对力P作用在直杆的垂直方向，局部效应，在两端点伸长 D？第二状态：让一对力Q作用同一杆两端点，很易

6、求得一对力Q引起杆横向缩短 d。对两种状态应用功的互等定理 Pd=QD Q第二状态引起的d 易求 ： , 第四节 虚位移原理和最小势能原理4.1虚位移原理运用虚功原理，但一种状态为与真实外力平衡的状态，sij、fi、; 而第二状态为可能变形状态，为真实状态位移的变分: dui 、 deij =(dui,j +duj,i )/2 在V内 dui =0 在su上 虚设状态根据虚功方程，真实的外力与应力状态在虚设的齐次可能位移上做功 弹性体应力与外力处于平衡状态，对于任意虚设的齐次微小位移及应变，则外力在虚位移上做的虚功等于应力在虚应变上做的虚功虚位移方程。将虚位移方程重新改写 代入原虚位移方程虚位

7、移方程为平衡方程和力的边界条件的积分形式。4.2最小势能原理1弹性体的总势能 定义： P(k)=U(k)(ui(k)+V(k)(ui (k)= P(k)(ui(k) （1）和 给定;（2）已将几何关系引入 eij =(ui,j +uj,i )/2 ;（3）ui(k)为可能位移： 在su上 ;（4）在各向同性线性材料应变能U的表达式为徐芝纶（上册）P.345（115）式。2由 P (k) 中寻求真实位移 ui(k)为可能位移,有无穷多。因此，与其对应的势能 P (k)也有无穷多。要从 P (k) 中找真实位移：（1）dP=0（2）引入本构关系 真实位移应满足的方程。 取 dP=0 ， 得 虚位移

8、方程 或 ui(k)为可能位移，同时满足本构方程。而 dP=0，表明由ui(k)导出sij(k)满足静力方程，所以由dP=0 即为真解应满足的控制方程。最小势能原理的表述：在位移满足几何方程和位移边界条件的前提下，如果由位移导出的相应应力还满足平衡微分方程和力的边界条件，则该位移必使势能 P 为驻值（极值）。如可能位移使P 的变分 dP=0，则该位移相应应力必满足静力方程。dP=0等价与静力方程。第五节 虚应力原理和最小余能原理5.1虚应力原理1虚应力方程 运用虚功原理，但第一种状态为真实变形状态，ui和 eij 、fi、;第二状态为自平衡状态的可能应力（或真实应力的变分）dsij；Su )S

9、s ds ij dX i 满足：dsij,j = 0 在 V内 njdsij = 0 在ss 上（在ss 上无面力） dsij在 su上产生 dXi（在su上有反力） 根据虚功方程 2虚应力方程表达弹性体（变形体）的应变与位移处于相容状态，对于任意虚设的齐次容许应力dsij及位移边界上的虚反力dXi，虚应力在应变上做的虚功等于虚反力在给定位移 上做的虚功。5.2最小余能原理1变形体的总余能Pc(k) 已知变形体在体力 fi、面力 作用及在位移边界上有给定位移 。 定义：由可能应力状态sij(k)表示 Pc(k)=U c(sij(k)+V c(Xi (k)= Pc(k)(sij(k)变形的总余能

10、而 Xi (k)=njsij(k) 在su上（位移边界上的反力） 应变余能 边界位移的余能 由sij(k)导出的在su边界上的反力结构总余能 Pc(k)由可能应力sij(k) 定义。sij(k) 满足 在V内：sij(k)+fi =0 在s =ss : ；2由sij(k)定义的总余能中找出真实应力sij （1） dPc=0 （2） 引入 关系式逆弹性关系 dPc =0，即 虚应力方程 由于dsij 满足自平衡的应力状态: dsij,j = 0 在 V内， njdsij = 0 在ss 上；所以 dPc=0 为一个虚应力方程。则 eij(k)为可能变形状态，而sij(k)已满足静力方程，由sij

11、(k)导出的 eij(k)、ui(k) 满足几何方程及位移边界条件。因此，由 dPc=0 表明由sij(k)中找出真实应力sij。3最小余能原理表述：在应力满足平衡微分方程和应力边界条件的前提下，如果由应力导出的相应应变还满足相容条件，则该应力必使总余能 Pc 为极值；或可能应力使得总余能的变分 dPc=0,则由该应力导出相应位移必满足相容条件。4真实状态总势能 P 总余能 Pc关系： 对于真实状态的 虚功方程 所以真实状态 P = -Pc第六节 基于最小势能原理上的近似解法在前面几节介绍了几个最基本的能量原理，利用能量原理求问题的解，从理论上看是明确的步骤规范,如最小势能原理：（分两步）1对

12、于给定的外力和边界条件寻找满足几何方程和位移边界条件的ui(k) 函数序列，并确定 P (k) 。2由dP =0寻求真解ui，即由ui(k)中找ui的控制方程，但由于问题求解域复杂性及约束的变化，利用能量原理求解析解也是无法实际进行的。但可由能量原理可以建立寻求问题近似解的有效途径。6.1李兹法（RayleighRitz）：Ritz法在最小势能原理的运用：是由有限个可能位移序列中找近似解，当可能位移序列式越多，所得到的近似解也愈趋近于真解。1选取可能位移 (在给定的 条件下选可能位移) u(k) =u0+S Amum , v(k) =v0+S Bmvm , w(k) =w0+S Cmwm ,式

13、中u0 、um、v0、vm、w0、wm 均为已知连续可微函数，且u0 、v0、w0满足Su 的位移边界条件，、 在Su上而 um= 0 、vm= 0、wm = 0、 在Su上可能位移中的Am、Bm和Cm为待定系数。2结构的总势能 P (k)及其变分 dP (k) P (k) =P (k)( Am、Bm、Cm)=U (Am、Bm、Cm)+V( Am、Bm、Cm）此时结构的总势能不是泛函了，而是Am、Bm、Cm的函数。 3. 利用 dP = 0求解方程 dP = 0 由于Am、Bm、Cm的增量 dAm、dBm、dCm的任意性，则dP = 0 对于线弹性体的应变能U为待定系数的二需要求 次式，荷载势

14、能V为待定系数的一次式。 ， ， 各向同性线弹性体有关Am、Bm 和Cm 的线性方程组（3m个 方程）见徐芝纶弹性力学（上 册） P.352（1110）式4Ritz法在平面问题的应用平面应力和平面应变问题均不考虑位移分量w，而u、v为x、y的函数，体积力分量 fz=0，面力分量 。 可能位移 u(k) =u0+S Amum , v(k) =v0+S Bmvm , u0 、v0满足Su 的位移边界条件, 而 um= 0、vm= 0 在Su上。总势能 P =P（Am, Bm） 总势能P 的变分 dP =0 ，得 平面应力问题，取薄板厚度 t=1。其应变能为 徐芝纶弹性力学（上册）P.355（111

15、3）式。对于平面应变问题（取t=1）将上式中 、替换，应变能U 的表达式见徐芝纶弹性力学（上册）P.354（1112）式。5Ritz法在平面杆件结构问题的应用q(x)EIxx yv(x)l 梁弯曲问题仅有位移（挠度）v为x的函数， 可能位移 v(k) =v0+S Bmvm v0满足Su 的位移边界条件, 而在Su上 ，vm= 0 。梁的总势能 P =P（Bm）=U(Bm)+ V(Bm) 总势能P 的变分 dP =0 ，得m个方程，确定Bm。 平面桁架问题：P1P2P3 平面桁架结构的位移为桁架的各结点位移, 第i 个结点的位移为 ui 、vi。平面桁架结构的应变能U 为桁架各个杆件的应变能之和

16、，即 而 为第i 个杆的应变能。其中 Di 为第i 个杆的伸长，Ei、Ai、li 分别为第i 个杆的弹性模量，杆的截面面积和杆长。 第i 个杆的伸由杆两端的位移确定。因此，应变能U 为位移 ui 、vi的函数。平面桁架结构的荷载势能V 也是位移ui 、vi的函数。平面桁架的总势能 P =U+V= P( ui、vi)由总势能P 的变分 dP =0 ，得到求解结点位移ui 、vi 的方程。6Ritz法在平面问题和平面杆件结构问题的应用举例例1:平面应力问题xq2yq1ab已知：a ´ b薄板（厚度t=1），无体积力作用，边界条件 x = 0：, y = 0: , x = a：, y =

17、b: , 解：根据位移边界设 u0 = 0、v0 = 0 u =u0+S Amum =S Amum =x(A1+A2x+A3y+¼) v=v0+S Bmvm =S Bmvm =y(B1+B2x+B3y+¼) 当项次取得越多，求解方程也就越多，解也越与真解接近，最简单取一次式 u = A1x , v=B1y ;位移分量的一次偏微分为 ， ，代入平面应力问题的应变能表达式 ， 得 荷载势能V为 求解方程 解得 ， ，代回 u = A1x , v=B1y ，得 ， 本题的近似解碰巧为真解。 qEI y x l例2:梁的弯曲问题 简支梁受均布荷载 q 作用。 解：位移边界条件： x

18、 = 0：v = 0 ； x = l：v = 0 ; 梁弯曲问题的挠曲线为 v =v0+S Bmvm 根据边界条件，可设v0= 0；且要求在x = 0和 x = l：vm=0。 设 v=v0+S Bmvm =S Bmvm =x(x-l)(B1+B2 x+B3 x 2+¼) 取一项时，v =B1x(x-l)，则 v=B1(2x-l), v”=2B1 .代入势能 P 表达式，的 由总势能P 的变分 dP =0 ，得 ，代入梁弯曲的挠曲线方程，近似解 。当x = l/2， （误差17%），x yPEIPl/2l/2 材料力学解析解 。作业：利用Ritz法求解图示lPCBAx ylC悬臂梁的

19、挠曲线。例3: 平面桁架问题 已知图示桁架各杆EA相同，材料的弹性关系为 s = Ee，试用势能原理求各杆内力。解：计算图示桁架的势能， P =U+V= P( ui、vi) 其中应变能 而 ， 则 , 荷载势能V为 由总势能P 的变分 dP =0 ，得，解得 ， 。 各杆内力为 ， 5最小势能原理与Ritz法的比较最小势能原理 Ritz法自变量 自变函数u、v、w 由自变量Am、Bm 、Cm 定义的u、v、w自变量的 几何方程和位移 几何方程和位移约束条件 边界条件 边界条件 总势能 P P=P（u、v、w） P=P（Am、Bm、Cm） 泛函 多元（3m元）函数 变分等于零 积分方程 多元（线

20、性）方程组 dP =0 静力方程的积分形式 满足dP =0的解 解析解 近似解6.2伽辽金法（1915年）在最小势能原理中，由可能位移ui(k) 定义的总势能 P(k) ，并由 dP =0寻求真解ui。而 dP =0 本身表示为虚位移方程：，也可改写为静力方程的积分形式 ， 等价于静力方程。伽辽金法步骤：1设定满足强约束条件的可能位移ui(k) ui(k) 需要满足的强约束条件： 在Su上 ， ， ； 由u(k)、v(k)、w(k) 导出的应力sij(k) 在Ss 上 ；可能位移ui(k) 满足给定 和 条件，即满足所有边界条件强约束条件。2由结构总势能 P 的变分等于零导出求解方程 如果所设

21、可能位移ui(k) 的形式与Ritz法一样 u(k) =u0+S Amum , v(k) =v0+S Bmvm , w(k) =w0+S Cmwm 但可能位移ui(k)满足强约束条件。由 dP =0 得 这里 d u= S um d Am , d v= S vmdBm , d w= S wm d Cm 并注意dAm、dBm、dCm的任意性以及 ，由 可导出三组方程 3m个方程，或见徐 芝纶弹性力学上册 P.354（1111）式。3伽辽金法在平面问题中应用及例题与Ritz法类似，不考虑w, 而 u、v为 x、y函数。伽辽金法在平面问题的求解方程为2m个。对于平面应力问题为 见徐芝纶弹性力学（上册）P.356（1117）式,x yaabbh对于平面应变问题将上式中、；见徐芝纶弹性力学（上册）P.355（1116）式 。例. 已知：2a ´ b薄板（厚度t=1），无体力作用。边界条件 在x = ± a和 y = 0：u= 0, v = 0; 在y = b：u = 0 , ; 全部边界为位移边界条件， 无力的边界条件。解：不管采用Ritz法或伽辽金法，选取的近似位