第八章组合变形

1、第八章 组合变形内容提要一、组合变形综述组合变形：拉伸、压缩、弯曲、剪切、扭转称为基本变形。构件同时产生两种或两种以上的基本变形时称为组合变形。组合变形的计算方法：在小变形且材料在线弹性范围内工作时，将组合变形分解成几种基本变形，分别计算各基本变形时的应力和位移，将其各自叠加，可得到组合变形时的应力和位移。二、斜弯曲斜弯曲的概念：在横力弯曲时，设梁上的横向力通过横截面的弯曲中心(梁不产生扭转变形)。当横向力的方向和横截面的形心主轴平行时，梁产生平面弯曲，即外力作用面和挠曲面平行；当横向力方向和横截面的形心主轴不平行时，梁产生斜弯曲，即外力作用面和挠曲面不平行。斜弯曲时，外力和中性轴不垂直，挠度

2、仍垂直于中性轴。斜弯曲的计算方法：将横向力向两个形心主轴方向分解，在两个形心主轴方向的横向力作用下，梁在两个形心主惯性平面内分别发生平面弯曲。分别计算两个平面弯曲时的应力和位移，将其各自叠加，就得到斜弯曲时的应力和位移。正多边截面梁，不会产生斜弯曲。横截面具有外棱角(例如工字形、矩形、角形等)时，危险点位于危险截面的角点处，该处为单向应力状态，其强度条件为 (8-1)圆截面梁，不会产生斜弯曲，且圆截面对任一形心轴的弯曲截面系数均为(d为圆截面的直径)。于是 (8-2)式中，、分别为绕y、z轴的弯矩，M为总弯矩，M的矢量方向为中性轴，发生在图中的a和b点处。三、拉伸(压缩)与弯曲、构件发生拉伸(

3、压缩)与弯曲组合变形时，分别计算其中拉伸(压缩)与弯曲时的应力，并将其叠加就得到组合变形的应力。II、构件受偏心拉伸(压缩)荷载作用时，将偏心力向横截面的形心简化，得到一轴向荷载以及绕横截面的形心主轴弯曲的弯矩和。偏心拉伸(压缩)仍然是拉伸(压缩)与弯曲的组合变形问题。1、横截面具有外棱角(例如工字形、矩形等)时，危险点在横截面的外角点处，该点处于单向应力状态，只需计算出最大正应力，便可建立强度条件。2、横截面没有外棱角时，如图8-2截面，y、z为形心主轴，需首先确定中性轴位置，才能确定危险点位置，中性轴方程为 (8-3) 式中，、为偏心力的偏心矩，、为中性轴任一点的坐标，、为截面的惯性半径。

4、中性轴为不通过形心的直线，其截矩公式为， (8-4)III、截面核心当偏心力作用在截面形心附近的一个封闭区域的边界上时，中性轴和截面周边相切，这个封闭区域称为截面核心。例如图8-3所示为任意形状截面，y、z为形心主轴，当偏心力分别作用在1、2、3、4点时，对应的中性轴为切线、。1、偏心力作用在截面核心时，截面只产生一种应力，偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力。2、砖、石、混凝等材料的拉伸强度较低，这类材料的偏心受压杆，最好是偏心压力作用在截面核心上。3、确定截面核心的方法：作一系列和截面周边相切的切线作为中性轴，中性轴的截矩、为已知，由中性轴的截距公式得， (8-5)由、可得到截面核心边界

5、上一系列的点,这些点的连线即为截面核心边界。要特别强调，截面周边的切线一定不能穿过截面。例如图8-3所示截面中不能用凹进去的曲线的切线作为中性轴，又如不能用图8-4所示的角形截面的DE和EF边作为中性轴，因为它们穿过截面。四、弯扭组合变形以图8-5所示圆截面钢杆为例，横截面上的内力为弯矩、扭矩T。其第三和第四强度理论的强度条件分别为 (8-6)式中， ，注：第三和第四强度理论各有三种形式： 其中：为原始公式，适用于所有应力状态(图8-6a)。仅适用于图示的特殊平面应力状态(有一个正交方向的正应力等于零)(图8-6b)。仅适用于圆截面杆的弯扭组合变形(图8-6c)。小结：以上对几种典型的组合变形

6、进行了分析，工程中还会遇到更复杂的组合变形问题，例如，拉伸(压缩)与斜弯曲的组合变形；偏心拉伸(压缩)与弯曲的组合变形；弯曲与扭转及拉伸(压缩)的组合变形等等。不论组合变形多么复杂，只要认真进行分析，弄清楚组合变形是哪几种基本变形的组合，分别计算每一种基本变形的应力，再利用叠加法计算组合变形的应力，确定危险点的应力状，从而建立相应的强度条件。例8-1 图示矩形截面杆，受力F1和F2作用，已知，。试求：1、杆中的最大拉应力和最大压应力，并指出它们的作用点位置；2、k点处沿45°方向的线应变解：1、求和本题为斜弯曲和轴向拉伸的组合变形。将沿形心主轴y、z方向分解为A截面的内力为最大拉应力

7、和最应力分别为和分别发生在A截面的1点和3点。2、求k点处的线应变k点处的应力为k点的应力状态如图b所示，k点处沿45°方向的线应变为例8-2 图a所示悬臂梁，由的等边角钢组成，在自由端受集中力F作用，F力的作用线通过等边角钢竖直肢的中心线，F=20kN，l=1m。试求梁的最大拉应力和最大压应力。解：等边角钢的弯曲中心位于两肢中线的交点处，y和z轴为形心主轴，F力通过弯曲中心，梁不会产生扭转，F力和形心主轴方向不平行，梁产生斜弯曲。将F力沿形心主轴y、z方向分解为在两个形心主惯性平面内的弯矩分别为在作用下，y为中性轴，最大拉应力和最大压应力分别发生在A截面的a(c)和b点处；在作用下

8、，z为中性轴，最大拉应力和最大压应力分别发生在A截面的a和c两点处。角钢的几何性质为 ，形心C的坐标已示于图中，b点和a(c)点坐标的绝对为，a、b、c三点的应力分别为故 ， 例8-3 图示16号工字钢简支梁，因强度不足，在紧靠支座处焊上钢板，并设置钢拉杆对梁进行加固。试求加固后梁的最大正应力减小的百分数。已知，工字钢的，拉杆的横截面面积，梁和拉杆的弹性模量均为。解：加固前梁的最大正应力为加固后为超静定问题，取拉杆为多余约束，相当系统如图b所示，变形的几何关系为，梁在A和B处相对水平移等于拉杆的伸长量，即 (1)将力向梁两端的轴线简化，得轴向压力，弯矩，梁的轴向缩短为A截面的转角为A和B处的相

9、对水平位移为 (2)拉杆的伸长量为 (3)将(2)和(3)式代入(1)式，化简后得将已知数据代入上式得加固后梁的最大正应力为可见加固后梁的最大正应力减小31%。例8-4 图a所示矩形截悬臂梁受均匀分布的切向荷载q作用，试求自由端下边缘处的竖直位移和水平位移。梁的弹性模量为E。解：将q向梁的轴线处平移(图b)，梁的内力为 梁的轴向伸长量为A截面的转角和挠度，可用积分法求出，即由，得 A截面下边缘的竖直位移和水平位移分别为例8-5 矩形截面铸铁立柱，受偏心压力F作用，F力的作用点可以在立柱顶面上，以形心O为圆心，R为半径的圆上移动。立柱的强度由拉应力控制，许用拉应力。，。(1)F力作用在圆上何处时

10、,立柱的许用荷载值最小?并求。(2)F力作用在圆上何处时,立柱的许用荷载值最大?并求。解：该题是偏心受压问题，当F力移动到圆上的某点时，若立柱中产生的最大拉应力为最大时，则立柱的许用荷载为最小；若立柱中产生的最大拉应力为最小，则立柱的许用荷载为最大。1、求设F力作用于圆上任一点k，将F力向截形心简化，内力为, , A点处的拉应力为 (1)令 得 或 (2)A点处的最大拉应力为 (3)得 (2)求由(1)式可见，当或时，A点的拉应力可能为最小,注意到，所以，A点的拉应力为最小。 得 例8-6 材料分别为和的两根杆，其两端固结于刚性块上，如图所示。两种材料的弹性模量分别为E1和E2，且E1>

11、E2。若要两杆发生均匀拉伸，试求两杆内力和偏心距e。解:本题为两种材料的偏心拉伸问题。因为要使两杆均发生均匀伸长，故两杆只能有轴力，受力图如图b所示，未知量有、和e共三个，所以为一次超静定问题，变形相容条件为。由平衡方程得 (1)由,得 , (2)由(1)和(2)式得 , 由,得例8-7 折杆ABC，由材料不同的圆管和实心杆紧密套在一起，如图a所示。材料的弹性模量、切变模量和许用应力分别为、；、。试按第三强度理论写出折杆的强度条件。解:折杆的AB杆为弯扭组合变形，A截面的弯矩为，扭矩为，所以A为危险截面。求A截面处两种材料组合杆各自的弯矩及扭矩，是超静定问题，弯曲变形的几何关系为两杆的曲率相等

12、，扭转变形的几何关系为两杆的单位长度的扭转角相等。、求两杆A截面的最大弯曲正应力设和杆A截面的弯矩分别为和，有 (1)由两杆的曲率相等，即得 (2)由(1)和(2)式，得 (3)两杆的最大弯曲正应力分别为将 ，代入上式得 (4)II、求两杆A截面处的最大扭转切应力设两杆A截面处的扭矩分别为和，有 (5)由两杆单位长度的扭转角相等，即得 (6)由(5)和(6)式，得 (7)两杆的最大扭转切应力分别为将，代入上式得 (8)III、两杆的强度条件、两杆的危险点位于A截面处的a(b)及c(d)点，a、c点的应力状态如图b所示。两杆按第三强度理论的强度条件分别为例8-8 槽形截面的核面核心为四边形abc

13、d，若集中力F作用在ab和dc延长线的交点K时，求相应的中性轴位置。解：与截面核心的a、b、c、d四点对应的中性轴分别为、。当中性轴绕B点逆时针旋转到中性轴时，有无数条中性轴通过B点，但始终均未进入截面之内，将B点坐标代入中性轴方程 可见，中性轴绕B点旋转过程中，偏心力作用点的轨迹为直线(式中，、为截面的惯性半径)。即a、b两点间的连线为直线。集中F沿ab移动时，中性轴始终通过B点。同理集中力F沿dc移动时， 中性轴始终通过D点，所以集中力F作用在ab和dc延长线的交点K时，中性轴为B、D两点的连线。例8-9 图a所示刚架的各杆均为直径的圆截面钢杆，长度，许用应力。试用第三强度理论确定刚架的许

14、用荷载。解：刚架的内力图如图b所示，可见A为危险截面，其内力分别为危险点的应力分别为危险点的应力状态如图c所示，由第三强度理论的强度条件得 例8-10 图a所示圆截面立柱，受偏心力F和扭转力偶矩联合作用，测得a、b两点的纵向线应变分别为ea=520×10-6，eb=-9.5×10-6。已知，。试求：1、偏心力F和偏心距e；2、C点处沿45°方向的线应变；3、用第三强度理论校核立柱强度。解：1、求F和ea、b两点的应力状态如图b所示，切应力不会产生x方向的线应变，a、b两点的正应力分别为 (1) (2)由(1)和(2)可得2、求C点处的C点的应力状态如图b所示，其应力为3、校核立柱强度危险点为a点，其应力为立柱满足强度条件。例8-11 刚架AB、BC杆的直径为，CD杆的直径，其材料均为Q235钢，。试校核该刚架的强度。解：取相当系统如图b所示，变形的几何关系为 (1)将力向B截面平移(图c)，则B截面的挠度和扭转角分别为， C截面的挠度为 (2)CD杆的缩短量为 (3)由(1)、(2)、(3)式，得其中 ，A截面的内力分别为第三强度理论的强度条件为CD杆的压应力为例8-12