2022年《理论力学》习题解

1、理论力学题解1-3 已知曲柄oar, 以匀角速度绕定点 o 转动 ,此曲柄借连杆ab 使滑动 b 沿直线ox运动 .设accba,aob,abo.求连杆上c 点的轨道方程及速度. 解: 设 c 点的坐标为, x y,则coscossinsinsinxrayraya联立上面三式消去,得22222(1/)4xayayr整理得轨道方程222222224()(3)xayxyar设 c 点的速度为v,即2222222sin2sinsinvxyrara&考虑 a 点的速度cos2cosayra&得coscos2 cos2 cosrraa&所以2cos4sincossin()2cos

2、rv1-4 细杆 ol 绕 o 点以匀角速度转动 ,并推动小环c 在固定的钢丝ab 上滑动 ,图中的d为一已知常数 .试求小环的速度v及加速度a解: 小环 c 的位置由x坐标确定tanxd222secdxvxdd&222222sectan2dxaxdxd& &解法二 : 设vr为小环相对于ab 的速度 , 1vr为小环相对于ol 的速度 , 2vr为小环相绕o 点转动的速度,则12vvvrrr精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f

3、- - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - -又设 ol 从竖直位置转过了角,则22sinxxd, 22cosdxd22222()coscosvxdxdvd222212tantanxvvxdxdd所以 , 小环相对于ab 的速度为22()xdvdr,方向沿 ab 向右 . 沿滑杆 om 滑动的速度为221xxdvdr，方向沿 om 杆向上。求加速度用极坐标横向加速度2222122x xdaavvdrr222222 ()cosax xdad第一章第五节例题一解 ： 坐 标 向 上 为 正 时 ， 速 度x &也 向 上

4、 为 正 ， 而 实 际 速 度 向 下 ， 则 有vx &阻 力fmkvmkx &，动力学方程xkxg& &，满足初始条件的解为2(1)ktggxhetkk坐标向下为正时，速度y &也向下为正，实际速度向下，则有vy &阻力fmkvmky &，动力学方程ykyg& &，满足初始条件的解为2(1)ktggyetkk（0yh）可以看出xyh第一章第五节例题二解：双曲正切函数()kkkkeeth kee，双曲余弦函数()2kkeech k反双曲正切函数111()ln21kthkk（1k）精品学习资料 可选择p d f - -

5、- - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -1()ln()22xxxxeed chxthxdxdxchxceechx1211111()ln12 1121dxxdxcth xcxxxx1-10 一质点沿着抛物线22ypx运动 .其切向加速度的量值为法向加速度量值的2k倍.如此质点从正焦玄(,2pp)的一端以速度u出发 ,试求其达到正焦玄另一端时的速率. 解: 设条件为naka, 2nva

6、, dvdv ddsv dvadtdds dtd上面三式联立得2dvkdv两边积分00( 2 )vudvk dd, 2kvue由22ypx可得dypdxy在正焦玄两端点(, )2pap和(,)2pbp处, 1ay,1by.可看出 ,两点处抛物线得切线斜率互为倒数 ,即2,代入得kvue1-15 当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮住篷的垂直投影后2m的甲板 ,蓬高4m.但当轮船停航时 ,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m,如果雨点的速率为8/m s,求轮船的速率 . 解: 设相对于岸的速度为0vr,雨相对于岸的速度为vr,雨相对于船的速度为rvr则0rvvvrrr速度三角形与三角形abc 相似

7、,得02223143vbcvab所以08/vvm s精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -方程322320yp yp h的解解: 作变换2pyzz,原方程变为632320pzp hz设642rpp h,21/3()ap hr,21/3()3pbp hra,1322i则实根21/321/31()()yabp hrp hr两个虚根 : 22ya

8、b,23yab对于该题 ,只取实根 . 1-38 已知作用在质点上的力为111213xfa xa ya z,212223yfa xaya z, 313233zfa xaya z其中,( ,1,2,3)i jai j都是常数 ,问这些, i ja应满足什么条件才有势能存在 ?如果这些条件满足,试求其势能 . 解: 由0fr得: ,( ,1,2,3)i jj iaai j111213212223313233()()()xyzdvf dxf dyf dza xa ya z dxa xa ya z dya xaya z dz112122313233000222112233122331()()1(222

9、)2xyzva xdxa xa y dya xa ya z dza xa ya za xya yza zxc000000(5)(2)(6)xyzxyzxyzvf dxf dyf dzxdxxy dyxyzdz1-39 一质点受一与距离3/2 次方成反比得引力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远到达a时的速度1v和自a静止出发到达/4a时的速率2v相同 . 解: 依题意有3/ 21dvdvmmvdtdxx,两边积分13/ 201vamvdvdxx, 21122mva精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - -

10、 - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - -再积分243/201avamvdvdxx,21122mva可知12vv1-43 如果质点受有心力作用而作双纽线22cos2ra的运动时，则4273ma hfr试证明之。解：比耐公式2222()d ufh uudm而2211cos2ura代入得24523d ua uud4273ma hfr1-44 质点所受的有心力如果为223()fmrr式中，及都是常数，并且2h，则其轨道方程可写成1cosarek。试证明之。式中222hkh，2

11、22k ha，222ak he（ a 为积分常数） 。解：比耐公式2222()d ufh uudm将 f 代入得22222d uk udh，式中222hkh其解为2022cos()uakkk h精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - -222220021cos()1cos()k harak hekkkk式中222k ha，222ak he将基准

12、线转动一角度，可使00得1cosarek2-1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为a，所对的圆心角为2。并证明半圆片的质心的距离为43a解：取对称轴为x轴，则质心比在对称轴上。设密度为00002cos2 sin32acarrdrdaxrdrd对于半圆片，取2，2 sin/ 243 / 23caax或者直接积分223022202()/34/ 432()acaaxxdxaaxaaxdx2-2 如自半径为为a的球上，用一与球心相距为b的平面，切出一球形帽，求此球形帽的质心。解：方法一球形帽可看作由许多圆薄片沿z 轴叠成，其质心坐标0ccxy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

13、 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - -223222cos1242cos/cos13cos/cos (sin)(coscos) (cos )(sin)(1 cos) (cos )11(coscos)3 ()244 21(coscos)3rbcrbb rb rrrdzdzrdzdrrbrb方法二取任一垂直于oz 轴的两平面来截球冠，截得一微圆球台近似地等于圆柱。22()dmdvsdzrzdz22422

14、2222311()()3 ()244 21()()3rrrbbbcrrrbbbr zzzdmrzzdzrbzrbdmrzdzr zz2-3 重为w的人，手里拿着一个重为w的物体。此人用与地平线成角的速度向前跳去。当他达到最高点时，将物体以相对速度u水平向后抛出。问：由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？解：选人与重物组成一个系统，此系统在水平方向无外力作用，水平方向动量应守恒。人在抛出重物以前，水平速度为0cosv，在最高点抛出重物之后，其水平速度变为v，则00(cos)()coswwwwvvuvgggg人抛出重物后，做以v为初速的平抛运动，比不抛重物落地点要远，增加的距离000sinsinco

15、svvxvvgg两式联立得0sinw uvxwg讨论：若抛出物体时速度是相对人后来的速度即v，则上面第一个方程变为0()()coswwwwvvuvgggg结果是0sinwuvxwwg一个例子：人重60 公斤，物重2公斤，起跳速度5/m s，抛物速度10/m s，则0.12xm精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - -2-13 长为l的均匀细链条

16、伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边沿垂直，此时链条的一半从桌上下垂。起始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此链条的末端滑到桌子的边沿时，链条的速度。解： 【方法一】设链条的线密度为，则t时刻下落的链条质量为()2lmy，此时链条所受的重力为()2lmgyg，根据牛顿第二定律有()2dvllygdt作变换,dydvvtdty代入上式()2lvdvy gdy两边积分200()2lvlvdvy gdy，132vgl【方法二】设链条的线密度为，当链条往下移y，重力做的功为0ywygdygy y238lllwgydymg21328lmvwmg，132vgl216 雨滴下落时， 其质量的增

17、加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。解：变质量动力学方程()ddmmvumgdtdt设水蒸气凝结在雨滴上之前在空气中的速度0u，代入上式得dvdmmvmgdtdt设雨滴半径r的增长率为，rat，式中a为0t时雨滴的半径，雨滴的质量343mr，式中为密度3dvvgdtat精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - -其解34()()4

18、gvatatc设0t时，0v的44gac434()gavatat问题：轴为竖直而定点在下的抛物线形金属丝，以匀角速度绕轴转动。一质量为m的小环套在此金属丝上，并可沿金属丝滑动。是研究其运动。抛物线方程24xay建立动参考系oxy，则动能22221()2tm xyx&势能vmgy运动微分方程222222(1)()0442xd xxdxxmmmgadtadta对上式积分一次22222(1)()()42xdxgxcadta再积分一次1220022/()21/4xcnxxmgttaa一个自由度下，应用虚功原理求平衡问题半径为r的光滑半球形碗固定在水平桌面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，另一

19、端在碗外，在碗内长度为c，试证棒长为224(2)crlc解：主动力0 xf，yfmg，体系平衡时，由虚功原理得精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - -0 xywfxfymg y上式中如选y为广义坐标，得出0y这与广义坐标的变分独立性相矛盾，故不能选y为广义坐标。选为广义坐标，则(2 cos/2)sinyrl，2cos( /2)cosyrl0y

20、，2 cos( /2)cos0rl而cos/ 2cr，22sin4/2rcr得棒长224(2)crlc取直角坐标为广义坐标，如( ),xx yyy，因为,dxxyyydy则()0 xyydxwffyqydy广义力yxydxqffdyy独立，平衡方程为0yq，即0 xydxffdy两种特殊情况当0 xf，0yf时，平衡方程简化为0dxdy；当0yf，0 xf时，平衡方程0 xydxffdy改写为0 xydyffdx，即0dydx。解释n个质点组成的力学系统，有s个自由度， 选取一组广义坐标12(,)sq qql设去取值范围给出的s维区域为sdr。主动力作用点（质点）的矢径为12(,),1,isr

21、q qqinrll，虚位移1,1,siirrqinqrrl只 有 在(1,;1,)irinsqrll定 义 域id的 交 集*,iiddi中 成 立 。 一 般 有精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - -*sddr。从而产生虚位移和广义力的定义域就是广义坐标的值域的误解。考虑两种情况（1）平衡位置0*qdd，虚功原理化成10swq；（2）

22、平衡位置0qd，但0*qd，诸(1,;1,)irinsqrll中至少有一个在平衡位置0q不存在。所选广义坐标虽能表达质点系的平衡位置，但在平衡位置的虚位移却不能用广义坐标变分的线性组合来表达。即1,1,siirrqinqrrl不成立。在平衡位置不是0yq，而是yq不存在。若 取y为 广 义 坐 标 ， 则( )rx x iyjrrr，()dxrijydyrrr，dxdy的 奇 点 方 程 为22480cclr，平衡点是虚位移和广义力的奇点。（论述该问题的文献：大学物理，200 年 5 月和 2002 年 4 月）设力fr在球坐标系中沿坐标轴方向的分量为rf，f，f。若取三个球坐标( , ,)r

23、为广义坐标，试证其三个广义力为sinrrqfqrfqrf。证明：rrff ef ef errrr虚位移sinrrrerererrrr（2 分）虚功sinrwfrrfrf（2 分）而虚位移又可以写成rwqrqq（2 分）两式比较得sinrrqfqrfqrf（2 分）质量分别为1m和2m的两个质点用一长为l的不可伸长的细线连接并挂在一定滑轮上，试用拉格朗日方程求体系的运动微分方程。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

24、 - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - -解：力学体系有一个自由度。取1m到滑轮固定点的距离x为广义坐标体系势能为12()vm gxm g lrx（2 分）体系的动能2121()2tmm gx&（2 分）拉格朗日函数212121()()2ltvmm gxm gxm g lrx&分别对广义坐标和广义速度求偏导数12()lmm xx&，12()lmm gx（3 分）代入拉格朗日方程的体系运动微分方程1212()()mmxmmg& &（ 3 分）一个质量为m的圆环，从一个倾斜角为的斜面上无滑动地滚下来。试用拉格朗日方程求环

25、的运动微分方程。解：力学体系有一个自由度。取环到斜面顶点的距离x为广义坐标体系势能为()sinvmg lx（2 分）体系的动能22221122tmxmrmx&（2 分）拉格朗日函数2()sinltvmxmg lx&分别对广义坐标和广义速度求偏导数2lmxx&，sinlmgx（3 分）代入拉格朗日方程的体系运动微分方程2sinxg& &（3 分）质量为m的小环 p，套在半径为r的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内以匀角速度绕圈上某点o 转动，已知体系的拉氏函数为22222222(1/ 2)coscoslmrmrmrmrmr&式中为 p

26、与圆心o的连线和通过o 点的直径间所夹的角。试用哈密顿正则方程求关于的运动微分方程。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - -解：体系拉格朗日函数为22222222(1/2)coscoslmrmrmrmrmr&222coslpmrmrmr&2(1 cos )pmr&（2 分）由勒让德变换得哈密顿函数222222211

27、cos(1cos )222phlpmrpmrmr&（ 3 分）代入正则方程得222(1 cos )sin cossinhppmrhpmrp&（3 分）整理得：2sinpmr& &即2sin0& &=常数（2 分）试用保守系的拉格朗日方程求单摆的运动微分方程并在小角度摆动时解出该方程。解：取悬线和铅垂线的夹角为广义坐标，则其动能和势能分别为21()2tm l&(1cos )vmgl（2 分）拉格朗日函数为21()(1 cos )2ltvm lmgl&2lml&，sinlmgl（2 分）代如保守系的拉格朗日方程得2sin0mlmgl& &（2 分）小角度摆动时变为0gl& &（2 分）其解为0cos(/)tg l，其中0为振幅，为初位相。（2 分）质量为1m的质点， 被限制在水平固定的光滑直线上滑动，另一质量为2m的质点用一长为l精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - -