第9章压杆稳定

1、9 压杆稳定压杆稳定 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式9.3 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围临界应力总图临界应力总图9.4 实际压杆的稳定因数实际压杆的稳定因数9.5 压杆的稳定计算压杆的稳定计算压杆的合理截面压杆的合理截面9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为 max例：一长为例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢的许用应力为。钢的许用应力为 = 196 mpa。按强度条件。按强度条件计算得计算得

2、钢板尺所能承受的轴向压力为钢板尺所能承受的轴向压力为 f = a = 3.92 kn 实际上，当压力不到实际上，当压力不到 40 n 时，钢尺就被压弯。可时，钢尺就被压弯。可见，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，见，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而是与而是与 受压时变弯受压时变弯 有关。有关。受压变弯的受压变弯的原因原因：l 压杆在制作时其轴线存在初曲率；压杆在制作时其轴线存在初曲率；l 作用在压杆上的外力作用线不可能毫无偏差的与杆的轴线相重合；作用在压杆上的外力作用线不可能毫无偏差的与杆的轴线相重合；l 压杆的材料不可避免地存在不均匀性。压杆的材料不可避免地存在不均匀性。

3、：杆由均貭材料制成，轴线为直线，外力的作用线与压杆轴线杆由均貭材料制成，轴线为直线，外力的作用线与压杆轴线 重合。（不存在压杆弯曲的初始因素）重合。（不存在压杆弯曲的初始因素） 在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后，假想地在杆上施加一微在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后，假想地在杆上施加一微小的横向力，使杆发生弯曲变形，然后撤去横向力。小的横向力，使杆发生弯曲变形，然后撤去横向力。：9.1.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 当当 f 小于某一临界值小于某一临界值 fcr，撤，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形来的直线平衡形

4、态，压杆在直线形态下的平衡是态下的平衡是 。 fffcrffcrff 当当 f 增大到一定的临界值增大到一定的临界值 fcr，撤，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态，压杆在原来直线形态下的平衡形态，压杆在原来直线形态下的平衡是平衡是 不稳定平衡不稳定平衡fffcrffcrff压杆的稳定性压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。：压杆保持初始直线平衡状态的能力。压杆的失稳压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。：压杆丧失直线形状的平衡状态。 连杆失稳连杆失稳临界力临界力（fcr）: 中心

5、受压直杆中心受压直杆由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力 的临界值。的临界值。工程实例工程实例9.1.2 压杆失稳灾难压杆失稳灾难 1925年苏联莫兹尔桥在试车时因年苏联莫兹尔桥在试车时因桥梁桁架压杆失稳导致破坏时的情景。桥梁桁架压杆失稳导致破坏时的情景。 1983年年10月月4日，高日，高 54.2 m、长长 17.25 m、总重总重 565.4 kn大型大型脚手架局部失稳坍塌，脚手架局部失稳坍塌，5人死亡、人死亡、7人受伤人受伤 。防止压杆失稳的关键所在：防止压杆失稳的关键所在： 压杆工作时所受到的压力必压杆工作时所受到的压力必须小于其临界力。须

6、小于其临界力。9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式9.2.1 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力两端铰支，长为两端铰支，长为 l 的等截面的等截面细长细长中心受压直杆，抗弯刚度为中心受压直杆，抗弯刚度为 ei 。当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡ffcryyfnmwfcr 考察微弯状态下局考察微弯状态下局部压杆的平衡部压杆的平衡:m (x) = fcr w (x) 22ddm xwxei 22d0dcrfwwxeiyyfnmwfcr22d0dcrfwwxeieifkcr2令令二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程222d0

7、dwk wx微分方程的解微分方程的解:w =a sinkx + b coskx边界条件边界条件:w ( 0 ) = 0 , w ( l ) = 00 a + 1 b = 0sinkl a +coskl b = 0b = 0sinkl a =0若若 a = 0，则与压杆处于微弯状态的假设不符因此可得：，则与压杆处于微弯状态的假设不符因此可得：sinkl = 0sinkl = 0可可得得由由eifkcr2222leinfcr（n = 0、1、2、3）nkl 屈曲位移函数屈曲位移函数 : : 最小临界力最小临界力: :两端铰支细长压杆的临界力的欧拉公式两端铰支细长压杆的临界力的欧拉公式( )sinc

8、ossinnxw xakxbkxal 临界力 fcr 是微弯下的最小压力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。fcr2min2leifcr9.2.2 两端固定细长压杆的临界力两端固定细长压杆的临界力abffcrab两端固定，长为两端固定，长为 l 的等截面的等截面细长细长中心受压直杆，抗弯刚度为中心受压直杆，抗弯刚度为 ei 。当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡 考察微弯状态下局部压杆的平衡考察微弯状态下局部压杆的平衡:m (x) = fcr w m0 22ddm xwxei 22ddcr0fmwwxeieifcrmfnm0bwyxxeifkcr2令令二阶常系数线性非齐次微分

9、方程二阶常系数线性非齐次微分方程222dd0mwk wxei微分方程的全解微分方程的全解:边界条件边界条件:w ( 0 ) = 0 , w ( l ) = 0；q q（0）= 0 ， q q（l）= 0 222dd0mwk wxeisincos0crmwakxbkxf0sincos00cossin00cr0crmbfmaklbklfakakklbkkl0cos10sin00crmbfaklkl 可可得得由由eifkcr22222220.5crneieifll（n = 0、1、2、3）2kln最小临界力最小临界力: :2min20.5creifl9.2.3 不同杆端约束下细长压杆的临界力不同杆端

10、约束下细长压杆的临界力 22leifcr 7 . 022leifcr leif22cr5 . 0 leif22cr2各种各种支承支承压杆临界力公式的统一形式：压杆临界力公式的统一形式：一端自由，一端固定一端自由，一端固定 = 2.0一端铰支，一端固定一端铰支，一端固定 = 0.7两端固定两端固定 = 0.5两端铰支两端铰支 = 1.0两端固定，但可沿横向相对移动两端固定，但可沿横向相对移动 = 1.0长度系数长度系数22creifl例例9-1 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆承受的压力最大，图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆承受的压力最大， 哪一根的哪一根的最小？最小？al2)(1a

11、l3 . 1)(2aal12. 16 . 17 . 0)(3af(1)f1.3a(2)f(3)1.6a123 lll因为因为又又22creifl123crcrcrfff（1）杆承受的压力最小，最先失稳；）杆承受的压力最小，最先失稳；（3）杆承受的压力最大，最稳定。）杆承受的压力最大，最稳定。f aaba / 2c0.70.7ablaa 解：解：1 0.50.5bclaa 2222(0.7 )0.5abbccrcreieiffaa故取故取220.7creifa例例9-2 已知：图示压杆已知：图示压杆 ei ，且杆在，且杆在 b 支承处不能转动，求：临界力支承处不能转动，求：临界力例例9-3 由由

12、 a3 钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。在钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。在 xy 平面内失稳时，平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，杆端约束情况接近于两端铰支， z = 1，长度为长度为 l1 。在。在 xz 平面内失稳时，杆端约平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定束情况接近于两端固定 y = 0.5 ，长度为，长度为 l2 。求。求 fcr。zy22126624解：解：在在 xy 平面内失稳时，平面内失稳时，z 为中性轴为中性轴 2212211zzcrzeieifll3321112242226226151212zi在在 xz 平面内失稳时，平面内失稳时，y 为中性轴为

13、中性轴12min,crcrcrfff3311241226221212yi22222220.5yycryeieifll9.3 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围临界应力总图临界应力总图9.3.1 临界应力与柔度临界应力与柔度压杆横截面上的应力为压杆横截面上的应力为各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式22creiflafcrcralei22)(222)(ile22)(ile22e 临界应力的欧拉公式临界应力的欧拉公式il压杆的柔度（长细比）压杆的柔度（长细比）柔度是影响压杆承载能力的综合指标。柔度是影响压杆承载能力的综合指标。22cre 越大，相应的越大，相应的

14、cr 越小，压杆越容易失稳。越小，压杆越容易失稳。aii 惯性半径惯性半径,2zziai.2yyiai 22ecr该方程是建立在材料服从该方程是建立在材料服从虎克定律虎克定律基础上的基础上的利用了挠曲线近似微分方程利用了挠曲线近似微分方程 22ddm xwxei 2p2 crepeppe令：令：当当 时，时， ，才能用欧拉公式计算压杆的临界力或临界应力。，才能用欧拉公式计算压杆的临界力或临界应力。pcrp满足的满足的 压杆称为压杆称为 细长杆或大柔度杆细长杆或大柔度杆 p9.3.2 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围q 235钢钢，p200gpa,200mpa.e2ppe2001020032

15、10035.99ppssbacr经验公式经验公式压杆称为压杆称为 中柔度杆中柔度杆 直线型直线型抛物线型抛物线型2craba、b 是与材料相关的常数是与材料相关的常数s压杆称为压杆称为 小柔度杆或短粗杆小柔度杆或短粗杆crs主要问题变为强度问题，而非稳定性问题！主要问题变为强度问题，而非稳定性问题！9.3.3 临界应力总图临界应力总图临界应力临界应力 cr 与柔度与柔度 之间的变化关系图之间的变化关系图s p s p22cre欧拉公式欧拉公式ilcro直线型经验公式直线型经验公式中柔度杆中柔度杆粗短杆粗短杆大柔度杆大柔度杆crab例例9-4 图示压杆的图示压杆的 e = 70gpa， p =

16、175 mpa。此。此压杆是否适用欧拉公式，若压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。能用，临界力为多少。1.5mfyz10040解解:yiiimin3100 4020mm12 100 403yiia9 .90203105 . 17 . 03il3p70 1062.8175pe p，此压杆为大，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：22931232270 10100 401010334.2kn()(0.7 1.5)12creifl例例9-5 图示圆截面压杆，图示圆截面压杆，d = 100 mm，e = 200 gpa， p = 200 mpa。试求可。试

17、求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。用欧拉公式计算临界力时杆的长度。lfd解解:3 .99200102003ppedlddlialil464/4/42pdl499.3 0.12.48m44pdl21012.74cm ,1.52cm,az12zzii )2/( 22011azaiiyy)2/52. 1 (74.126 .2522a2)2/52. 1 (74.126 .253 .198 :a即例例9-6 图示立柱，图示立柱，l = 6 m，由两根，由两根 10 号槽型号槽型 a3 钢组成，下端固定，上端为球钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问铰支座，试问 a =？时，立柱的临界压力最大值为多少？

18、时，立柱的临界压力最大值为多少？解解：1、对于单个对于单个10号槽钢，形心在号槽钢，形心在 c1 点。点。两根槽钢图示组合之后两根槽钢图示组合之后:a = 4.32 cm（z1）1144198.3cm ,25.6cm .zyii42 198.3396.6cmyzii 当当 时最为合理：时最为合理：il22)( leifcr2 2、求临界力求临界力：大柔度杆，由欧拉公式求临界力大柔度杆，由欧拉公式求临界力。1267 . 0aiz481074.122106 .39667 . 0p5 .10622200 396.6 10443.8(kn)(00.7 6)443.8(kn) .crf例例9-7 图示矩

19、形截面压杆，其约束性质为：在图示矩形截面压杆，其约束性质为：在xz平面内为两端固定；在平面内为两端固定；在xy平面平面内为一端固定，一端自由。已知材料的内为一端固定，一端自由。已知材料的 e = 200 gpa， p = 200 mpa。试求此。试求此压压杆的临界力。杆的临界力。1mzy2060fzxo解解:3 .99200102003ppe320 6017.32mm12 20 60zziia360 205.77mm12 20 60yyiia112 1000115.517.32zli220.5 100086.75.77ylixy 平面内平面内xz 平面内平面内 压杆在压杆在 xy 平面内失稳，

20、平面内失稳，z 为中性轴为中性轴223221200 10148mpa115.5cre欧拉公式适用。欧拉公式适用。1115.5286.7xy 平面内平面内xz 平面内平面内121p 压杆临界力为压杆临界力为663148 1020 60 1010178kncrcrfa例例9-8 截面为圆形，直径为截面为圆形，直径为 d 两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为d 两两端铰支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。端铰支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。 解：解： 圆形截面杆：圆形截面杆：412164144didi

21、ad11110.524lllidd42211212didiad正方形截面杆：正方形截面杆：22221.02 312lllidd由由 1 = 2 得得1222 3lldd123ll22cre由得12crcr2111122222114=4crcrcrcrdfaafaad例例9-9 ab，ac 两杆均为圆截面杆，其直径两杆均为圆截面杆，其直径 d = 0.08 m，e = 200 gpa， p = 200 mpa，容许应力容许应力 = 160 mpa。由稳定条件求此结构的极限荷载由稳定条件求此结构的极限荷载 fmax600300abcf4解：解：2nabff32nacff对对 a 点，由平衡方程得点

22、，由平衡方程得affnabfnac99ppe1 2 31730.02ababpli1 21000.02acacpli两杆都可用欧拉公式两杆都可用欧拉公式0.024di ab 杆杆ac 杆杆由由 ab 杆的稳定条件，有杆的稳定条件，有22331nabcrcrabefaamax2662nabcrff2nabff取取 fmax = 662由由 ab 杆的稳定条件，有杆的稳定条件，有22991naccrcracefaa32nacffmax211443naccrff9.4.1 稳定许用应力稳定许用应力 9.4 实际压杆的稳定因数实际压杆的稳定因数 压杆所能承受的极限应力总是随压杆的柔度而改变，柔度越大，

23、极限应力压杆所能承受的极限应力总是随压杆的柔度而改变，柔度越大，极限应力值越低。值越低。 在压杆设计中，将压杆的在压杆设计中，将压杆的稳定许用应力稳定许用应力 st 表示为材料的强度许用应力表示为材料的强度许用应力 乘以一个随压杆柔度乘以一个随压杆柔度 而改变的而改变的 稳定因数（折减系数）稳定因数（折减系数） j j = j j（ ） 压杆的压杆的稳定许用应力稳定许用应力 st =crststnnst 稳定安全系数稳定安全系数 =crcrstststnnj 9.4.2 安全系数法安全系数法 =crststn压杆的稳定性条件：压杆的稳定性条件：=crcrststffanancrstffn =c

24、rststncrstffn 或或用上式校核压杆的稳定性称为用上式校核压杆的稳定性称为安全系数法安全系数法 st例例9-10 一压杆尺寸截面如图，材料为一压杆尺寸截面如图，材料为 a3 钢，承受的轴向压力为钢，承受的轴向压力为 f = 120 kn，稳，稳定安全系数定安全系数 nst = 2，校核压杆的稳定性。，校核压杆的稳定性。在在 xy 面内失稳时，压杆两端为铰支，长度面内失稳时，压杆两端为铰支，长度 l = 940 mm 。在在 xz 面内失稳时，压杆近似两端固定，长度面内失稳时，压杆近似两端固定，长度 l 1= 880 mm 。zyxb=25h=60在在 xy 面内失稳，面内失稳，z 为

25、中性轴为中性轴解：解：(1) 求柔度求柔度 1.732cm2 3zzihia1 9454.31.732zzli0.722cm2 3yyibia0.5 886154.30.722yzyli在在 xz 面内失稳，面内失稳，y 为中性轴为中性轴杆在杆在 xz 面内先失稳，应用面内先失稳，应用 y 计算临界力。计算临界力。（2）求临界力，按安全系数法作稳定校核）求临界力，按安全系数法作稳定校核因为因为 y p ，用经验公式计算临界力，用经验公式计算临界力315kncrcrfa22350.00666210mpacr315157.52crstffn压杆是稳定的压杆是稳定的a3钢钢 p = 123，抛物线型

26、经验公式中，材料常数，抛物线型经验公式中，材料常数 a = 235 mpa，b = 0.00666 mpa例例9-11 图示立柱图示立柱 cd 为外径为外径 d = 100 mm ，内径，内径 d = 80 mm 的钢管，高的钢管，高 h = 3.5 m， p = 200 mpa， s = 240 mpa，e = 200 gpa。设计要求的强度安全系数设计要求的强度安全系数 n = 2，稳定安全系数，稳定安全系数 nst = 3 。试求容许荷载。试求容许荷载 f 的值。的值。f2m3.5mh bcad3m解：解：1）由平衡条件可得）由平衡条件可得2.5ncdff 2）按强度条件确定）按强度条件

27、确定 f 22()4340knncdsfaddn 136kn2.5ncdff f2m3.5mh bcad3m3）按稳定条件确定）按稳定条件确定 f 4464()2.9 10 m64idd0.032miia1 3.51090.032li11p6p2 103.1499200 10ep立柱属大柔度杆用欧拉公式计算立柱属大柔度杆用欧拉公式计算f2m3.5mh bcad3m109稳定条件稳定条件22469kncrcrfaeacrncdstffn156kncrncdstffn 62.5kn2.5ncdff 所以所以 62.5knf 9.5 压杆的稳定计算压杆的稳定计算压杆的合理截面压杆的合理截面9.5.1

28、 压杆的稳定计算压杆的稳定计算折减系数法折减系数法 stfaj faj压杆的稳定性条件：压杆的稳定性条件： st或或 faj faj用上式校核压杆的稳定性称为用上式校核压杆的稳定性称为折减系数法折减系数法例例9-12 图示为型号图示为型号 22a 的工字钢压杆，材料的工字钢压杆，材料a3钢。已知压力钢。已知压力f = 280 kn，容许，容许应力应力 = 160 mpa，试校核压杆的稳定性。，试校核压杆的稳定性。4.2mfyz解解: 由型钢表查得由型钢表查得 22a 工字钢的工字钢的223.1mm,42cmyia1271 .23102 . 47 . 03il查表：查表：;466. 0,120j

29、;401. 0,130j插分：插分：.421. 0,127j32280 10158mpa 160mpa0.421 42 10faj 稳定稳定例例9-12 图示支架，图示支架，ac 为圆木杆，直径为圆木杆，直径 d = 150 mm，容许应力，容许应力 = 10 mpa。试确定容许荷载试确定容许荷载 f 。abc45f2m解解:44 2 2750.15llid查表得：查表得：518. 0jafn acfn abf22215176.7cm44da n acfaj取结点取结点a， 根据平衡条件，得根据平衡条件，得463222 0.518 176.7 1010 101064.7kn222n acffa

30、j例例9-13 一端固定一端自由的工字型截面压杆，材料为一端固定一端自由的工字型截面压杆，材料为 a3 钢，已知钢，已知 f = 240 kn ，l = 1.5 m， = 140 mpa ，试按稳定性条件选择工字钢的型号。，试按稳定性条件选择工字钢的型号。zy解：解： 在折减系数法中，在折减系数法中， ，要确定，要确定 a，需要知道，需要知道 j j ，但在截面未定之前，无法确定柔度但在截面未定之前，无法确定柔度 ，也无法确定，也无法确定 j j 。因此。因此采用采用试算法试算法。 faj试算法试算法：先假定：先假定 j j（在（在 0 1 之间变化），由稳定条件计算之间变化），由稳定条件计算

31、出面积出面积 a，然后由面积，然后由面积 a 及截面形状计算柔度及截面形状计算柔度 ，查出，查出j j ，再根据再根据 a 及查出的及查出的 j j 值其是否满足稳定条件，如不满足，值其是否满足稳定条件，如不满足，再重新假定再重新假定 j j 值，重复上述过程，直到满足稳定条件为止。值，重复上述过程，直到满足稳定条件为止。假定假定 j j 0 = 0.5 3222060240 100.3486 10 m34.86cm0.5 140 10faj 选择选择 20a 工字钢工字钢211135.5cm8.15cm2.12cmzyaii20a 工字钢工字钢zy 311240 10198.8mpa140m

32、pa3550 0.34faj绕绕 y 轴失稳轴失稳112 150141.52.12yli查表得查表得10.34j假定的假定的 j j 0 过大，假定过大，假定 j j 2 = （0.5 + 0.34）/ 2 = 0.42 3222262240 100.4082 10 m40.82cm0.42 140 10faj 选择选择 22a 工字钢工字钢233342cm8.99cm2.31cmzyaii22a 工字钢工字钢zy 333240 10147mpa140mpa4200 0.39faj绕绕 y 轴失稳轴失稳232 1501302.31yli查表得查表得30.39j147 140100%5%140故

33、，选择故，选择 22a 工字钢工字钢例例9-14 厂房的钢柱长厂房的钢柱长 7m，上，下两端分别与基础和梁连结。由于与梁连结的，上，下两端分别与基础和梁连结。由于与梁连结的一端可发生侧移，因此，根据柱顶和柱脚的连结刚度，钢柱的长度系数一端可发生侧移，因此，根据柱顶和柱脚的连结刚度，钢柱的长度系数 = 1.3 。钢柱由两根钢柱由两根 3 号钢的槽钢组成，符合钢结构设计规范（号钢的槽钢组成，符合钢结构设计规范（gbj 17- 88）中的实腹式）中的实腹式 b 类截面中心受压杆的要求。在柱顶和柱脚处用螺栓借助于连结板与基础和梁连类截面中心受压杆的要求。在柱顶和柱脚处用螺栓借助于连结板与基础和梁连结，

34、同一截面上最多有四个直径为结，同一截面上最多有四个直径为 30 mm 的的螺栓孔。钢柱承受的轴向压力为螺栓孔。钢柱承受的轴向压力为 270 kn，材料的强度许用应力，材料的强度许用应力 = 170 mpa。试为。试为钢柱选择槽钢号码。钢柱选择槽钢号码。t0zdzy0yh解：解：(1)先按稳定条件选择槽钢型号先按稳定条件选择槽钢型号假设假设 j j 0 = 0.5每根槽钢的截面面积为每根槽钢的截面面积为 364221127010220.51701015.910m1590cmfaj 查表，选择查表，选择 14a 号号槽钢槽钢21118.51cm5.52cmzai单根单根 14a 槽钢槽钢 311270 10278mpa170mpa22 1851 0.262faj组合截面组合截面 iz 的值与单根槽钢的值相同的值与单根槽钢的值相同111.3 7001655.52zli查表得查表得10.262j假定的假定的 j j 0 0 过大，假定过大，假定 j j 2 = （0.5 + 0.262）/ 2 = 0.38 322226211270 100.209 10 m20.9cm220.38 170 10faj 选择选择 16 槽钢槽钢t0zdzy0yh23325.15cm6.1cmzai单根单根