第一节向量及其线性运算81

1、第八章 第一节1数量关系数量关系 第八章第八章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中在三维空间中: :空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 第八章 第一节2第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算教学内容教学内容 1 向量的概念与向量的线性运算向量的概念与向量的线性运算; 2 空间直角坐标系空间直角坐标系; 3 利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算; 4 向量的模，方向角，投影向量的模，

2、方向角，投影;本节考研要求本节考研要求 1 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示; 2 掌握向量的线性运算，理解单位向量，方向角与掌握向量的线性运算，理解单位向量，方向角与方向余弦，向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进方向余弦，向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算方法行向量运算方法. 第八章 第一节3向量（矢量）：向量（矢量）： 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .有有向向线线段段. 1m2m a21mm模长为模长为1 1的向量。的向量。零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量0|a21mm| |向量的模：向量的模：向量

3、的大小向量的大小单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或黑黑体体（印印刷刷体体） 或或 字字母母上上面面添添加加箭箭头头 （手手写写体体） 向量的记法：向量的记法：（方向任意）（方向任意）。向量的表示：向量的表示：第八章 第一节4规定规定: 零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行 ;若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 则称则称 a 与与 b 相等相等,记作记作 ab ;若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行, ab ;与与 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的

4、的负向量负向量,记作记作因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量两向量共线共线 .若若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此则称此 k 个向量个向量共面共面 .记作记作a ;第八章 第一节5二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算规律运算规律 : 交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aab

5、a ba 第八章 第一节6s3a4a5a2a1a54321aaaaas第八章 第一节72. 向量的减法向量的减法三角不等式三角不等式ab)( ab有时特别当,ab aa )( aababaabababa0baba第八章 第一节8* *例例1 1 试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形。一个三角形。证证 . fed abc （如如图图所所示示）、的的三三条条边边的的中中点点依依次次为为设设 abcdef dc aebc21ab bfca21bc bfeacd bcbaac)cacbba(21 , 0 . abc 三三角角形形的的三三条条中中线线

6、可可构构成成一一个个 . 证毕证毕ba21ca 第八章 第一节9aa3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数是一个数 ,.a规定规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量, 记作记作，反向与aa总之总之:运算律运算律 : 结合律结合律)(a)(aa分配律分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 第八章 第一节10定理定理1. 设设 a 为非零向量为非零向量 , 则则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则,0故.即abab设 abba取正号, 反向时取负号

7、, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而第八章 第一节11“ ”则,0 时当例例1. 设 m 为mbacd解解:abcd 对角线的交点,0 时当ba,0 时当,aab ,bdaacmc2ma2bdmd2mb2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,mdmcmbmaba表示与试用baab)(21bama)(21abmb)(21bamc)(21abmd第八章 第一节12xyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴

8、)过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念第八章 第一节13xyzo向径在直角坐标系下 11坐标轴上的点 p, q , r ;坐标面上的点 a , b , c点点 m特殊点的坐标 :有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb( ,0, )c xz(称为点 m 的坐标坐标)原点 o(0,0,0) ;rrm第八章 第一节14坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo第八章

9、第一节152. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 m , ),(zyxm则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzmnbcijka,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 om 表示.nmonomocoboa, ixoa, jyobkzoc第八章 第一节16向径向径om有序数组有序数组),(zyx 11),(zyxm xyzo称为称为(x, y, z)向径向径om的坐标的坐标,点点m 11点点m的坐标的坐标。xyzxyzo向量向量ab的坐标的坐标 =向

10、径向径om的坐标的坐标a(x1,y1,z1)b(x2,y2,z2)m(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)=ab的终点坐标的终点坐标(x2,y2,z2)- -起点坐标起点坐标(x1,y1,z1)=(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)第八章 第一节17),(zyxm xyzoijk以以kji,分分 别别 表表 示示沿沿 x、y、z 轴轴正正向向的的单单位位向向量量（标标准准基基向向量量） ), 0 , 0(zd)0 , 0 ,(xa)0 ,(yxb)0 , 0(yc，、对对 ),(),(22221111zyxmzyxm ommm21kzzjyyixx)()()(

11、121212 按基本单位向量的按基本单位向量的分解式分解式.),(1111zyxm),(2222zyxm bmaboakzj yi x odocoa第八章 第一节18四、利用坐标作向量线性运算四、利用坐标作向量线性运算),( zyxaaaa 设设),(zyxbbbb )()(kbjbibkajaiabazyxzyx ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa 即即),(zzyyxxbababa kbajbaibazzyyxx)()()( ).,(),(),(zzyyxxzyxzyxbabababbbaaa ，时时）由由（ 0 a 定定理理1 1ba/ab ),(zyxbbb),(

12、zyxaaa .zzyyxxababab 第八章 第一节19ab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab即：即： 平行向量对应坐标成比平行向量对应坐标成比例例:第八章 第一节20例例2. 求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得bax32)10, 1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(第八章 第一节21例例3. 已知两点在ab直线上求一点 m , 使解解: 设 m 的坐标为, ),(zyx如图所示abmo11mab, ),(111zyxa),(222zyxb及实数, 1得),(zyx11),(

13、212121zzyyxx即.mbamammbamoaom mbomob aoom )(omob omoboa(第八章 第一节22说明说明: 由得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 m 为 ab 的中点 ,于是得x,221xx y,221yy z221zz abmomab),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:第八章 第一节23五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有omr 222oroqopxoyzmnqrp由勾股定理得由勾

14、股定理得),(111zyxa因ab得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxb, rom作omr oroqopbabaoaobba第八章 第一节24例例4. 求证以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321mmm证证:1m2m3m21mm 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432mm 2)75( 2) 12( 2)23( 631mm 2)45( 2)32( 2) 13( 63132mmmm即321mmm为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点第八章 第一节25例例5. 在 z

15、轴上求与两点)7, 1 ,4(a等距解解: 设该点为, ),0,0(zm,bmam因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(b. ),0,0(914m思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与a , b 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与a , b 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 第八章 第一节26提示提示:(1) 设动点为, )0,(yxm利用,bmam得,028814 yx(2) 设动点为, ),(zyxm利用,bmam得014947zyx且0z例例6. 已知两点)5,0,4(a和, )3, 1 ,7(b解解:求141)2,1,

16、3(142,141,143.babababa第八章 第一节27oyzx2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 ,ba任取空间一点 o ,aoa作,boboab称 =aob (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作),(ba第八章 第一节28oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,co

17、s,(cos第八章 第一节29例例7. 已知两点)2,2,2(1m和, )0,3, 1(2m的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321mm(21mm21mm第八章 第一节30例例8. 设点 a 位于第一卦限,解解: 已知角依次为,43求点 a 的坐标 . ,43则222coscos1cos41因点 a 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 a 的坐标为 . )3,23,3(向径 oa 与 x 轴 y 轴的夹 ,6ao且oaoaao第八章 第一

18、节31例例 6 6 求求与与kjia676 平平行行的的单单位位向向量量的的分分解解式式. 所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向。同向，一个反向。a222)6(76| a,11 ae ,116117116kji 或或ae .116117116kji |aa 解解第八章 第一节32(1)空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u mm3、向量在轴上的投影与投影定理、向量在轴上的投影与投影定理第八章 第一节33(2) 空间向量空间向量(向径向径)在轴上的投影在轴上的投影ummoe过点作u轴,omr 给定的垂直平面交u轴于,m则向量om称为向量r在u轴上的分向量设,ome 则数称为向量r在u轴上的投影,记为pr.uj r由此定义,向量a在oxyz坐标系中的坐标,xyza a a就是a在三坐标轴上的投影,即pr,xxaj apr,yyaj apr.zzaj a第八章 第一节34注注 空间向量在轴上的投影空间向量在轴上的投影uaa b