有关中值定理的证明题

1、有关中值定理的证明题本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21 year.March屮值定理证聊軀集锦1、已知函数/(X)具有二阶导数，且limS = O, ") = 0,试证：在区间5 X(0,1)内至少存在一点g,使得/"© = 0.证：由lim"卫=0 ,可得lim/(x) = 0,由连续性得f(0) = 0,由此乂得.17) 工x-><)广(0) = lim-/(V) /()= lim 丄巴=o ,由 /(0) = / =0 及题设条件知 f(x)在 DX 0

2、D X0.1 ±满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点ce(0,l),使得r(c) = 0, 乂因为广(0)=广(c) = 0,并山题设条件知广(羽在0,e上满足拉格朗日中值定 理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点g,使得 厂© = 0.2、设/(x)在0,“上连续，在(0,°)内可导，且/) = 0,证明：存在一点 纟已(0山)，使得/«)+ <r«)= o.证：分析：要证结论即为：M(x)|'w=o.令 F(x) = W 则 F(x)在0,°上连续，在(0,4)内可导,且 F(0) = F(

3、a) = 0 , 因此F(x) = xf(x)在0卫上满足罗尔中值定理的条件,故存在一点壮(0卫), 使得 F) = 0,即 /«) + gf=0.注1 :此题可改为：设/(力在0,。上连续,在(0卫)内可导,且f(a) = 0,证明：存在一点迁(0,4),使得釘)=0.分析：要证结论"(§) +釘) = 0等价于硝“/(§) + $广(§) = 0 (给"(§) + #=0两端同乘以了“),而磅”“/(§) + $/'(§) = 0即为 ”(帅=0-故令F(x) = x>lfM,则F(x)

4、在0,切上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论. 注2 :此题与下面例题情况亦类似：设/(X)在0,1上连续,在(0,1)内可导，且/(0) = 0, Vxg(0,1),有/(x)H0,证：旳wAT, 3e(0,l),使得型血=广°一勺成立./(I-纟)分析：要证结论可变形为”'(纟)/(1-纟)-/(勺广(1-纟)=0,它等价于"”-)/)/(1-勺-/"©)广(1-§) = 0(给")/(1纟)一/广(1纟)=0 两端 同乘以严«),而nfnl (前广(§)/(1 _勺_氏)f(1 -前=0即为 fW(

5、i-%=o,用罗尔中值定理.以上三题是同类型题.3、已知函数/(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导，且/(0) = /(1) = 0,/4) = 1,证明：厶(1) 存在一点4e(l 1),使/(§) = $(2) 存在一点已(0,纟)，使广(“) = 1.(3) 存在一点xoe(O,<),使r(x0)-l = 2(/(x0)-x0).证：(1)分析：要证结论即为：/(纟)-纟=0.令F(x) = /(x)-x,则只需证明F(x)在(,1)内有零点即可。显然F(x)在；,1上连续，且F(l) = /4)-l=l>0,2 2 2 2 2F(l) = /(l)-l = -

6、l<0,因此F(x)在|, 1±满足零点定理的条件，由零点定理知，存在4e(ij),使F) = 0,即/(勺=彳(2)又因为F(O) = /(O)-O = Ot由知F(4) = 0,因此F(x)在0,切上满足罗尔中值定理条件，故存在一点已(0,纟)，使F() = o,即r(；7)-l = 0,即广()=1(3)分析:结论r(x0)-l=/l(/(x0)-x0)即就是 F(x0) = 2F(x0)或 F(xo)-2F(xo) = O! FV0)-AFCv0) = 0'r(x0)-2F(x0)J = 0 ,即严 W =0.故令G(x) = e-AxF(x),则由题设条件知，

7、G(x)在0,4 ±连续，在(0,纟)内可 导 且G(0) = /F(0) = 0, G«) = F«) = 0,则G(x)在0,切上满足罗尔中值 定理条件，命题得证.4、设/(x)在0,x ±可导，且/(0) = 0,试证：至少存在一点<?e(0,x),使得 /(x) = (l + g)ln(l + x)/'(g).证:分析:要证结论即为:f(x) - /(0) = (1+<)ln(l + x) - In 1/X<),也就是丿(上/()=半,因此只需对函数/和ln(l + r)在区间0,a±应用柯西中 In(l +

8、x)-lnl 值定理即可.5、设 /(X)、g(x)在上连续,在(a,b)内可导,f(a) = f(b) = 0,且 g(x)H0,证明：至少存在一点<e(a,Z>),使得广U)g) = /(M)gtM).证：分析：要证结论即为：广©)g)-/)g'©)=0,等价于即就是餐：0,因此只需验证函数旷(纟)g(x) 1、F(x) = 卫在区间a.b上应用罗尔中值定理即可.gM6、设/(X)在册,花上可导，且0<X <x2，试证：至少存在一点§已(西,七)， 使得皿匕)二7(巴)一 v(§)+/(§).(/(X),证：

9、分析：要证结论即为： 斗=-W)+ /(沪 ： 1 因此只一(_仁x2 xX r 5需对函数山 和丄在区间切上应用柯西中值定理即可.X X此题亦可改为：设/(X)在a.b ±连续，(“,/?)内可导，若Ovavb,试证：至少存在一点g e ,b),使得 af(b)-bf(a) = /«)-釘毬)-b).7、设/(x)在a,b ±_连续，在(a,b)内可导 且/(«) =/(Z?) = 0,试证：(1) 壬e(",b),使得/© + /© = 0 ；(2) 3t e(«,/?),使得 n/(n)+/r(n)=

10、6;-证：令F(x) = xfM,利用罗尔中值定理即证结论.2r(2)分析：m(m+广(m=oo伐”(币+广(币=00右/(呗十0,因此a令F(x) = efM,利用罗尔中值定理即证结论.8、设/(x)在a,b上连续，在(“上)内可导 且f(a) = f(b) = 1,试证：北,n e (恥),使得严伽)+ f (11) = 1.证：分析：要证结论即为w(忖s)i=i,即就是 &2治令F(x)=exf(x)t令GM = ext则F(x)和G(x)在恥上满足拉格朗曰中值定理的条件，由拉格朗曰中值定理知：3ti(6Z,Z?),使得Fr(n)=f(-,即就是R1/(T|)+广(r|) =上厂

11、二!-b-ab_ub _ ab _ a壬已(处)，使得=即就是=b-ab-a因此 有口/结/mil,即就是/(n)+r(n) = i.9、设/(X)、g(x)在"“上连续，在(。上)内具有二阶导数且存在相等的最大值，/(") = g("), /(b) = g(“)，试证：壬使得/"© = &"©证：分析：要证结论即为fM-g(x)=O.令 F(x) = f(x)-g(x),(1) 若/(X)、g(x)在(“*)内的同一点处取得相同的最大直 不妨设都在C点 处取得最大值,贝ljF(d) = F(c) = F(b) =

12、O (a<c<b),则F(x)分别在o,c、 c,/?上满足罗尔中值定理条件，故补,c),找已(")使得n)= o, m)=o-由题设又知，F(X)在©上2】上满足洛尔定理条件，故存在北已码鸟)，使得 尸© = 0,即就是厂© = g"©.(2) 若/(力、g(x)在上)内的不同的点处取得相同的最大值,不妨设/(x)在 P点处、g(x)在§点处取得最大值，且p<q,则F(p) = y(p)-g(p)>0,F(®) = /(g) ga)vO,由零点定理知，mcw(p4)u(0,l),使得F(c

13、) = O,由 此得F(a) = F(c) = F(b) = 0 (a <c<b),后面证明与(1)相同.10、设/(x)在a,b±_连续，在(a,b)内可导,且f(x)>0,若极限Ihn存在，试证：(1)存在一点,(“")，使得f _才=二 ；(2)在(M)内存在异于g的点 使得广仰一/)= 二厶.；证： 令 F(x) = /(/)/, G(x) = x2,则 F(x)、G在a,b±_满足柯西中 值定理条件，故存在一点使得 一上£=二成立，即就£/(r)Jr-/(r)Jr/©是f 72 =二成立，即就是2可"fWdx = &_/”©成立.£ fdx /&(2)由 知，2£ f(x)dx = (b2,因此要证广府-/)=三/3心.，即要证