2022年《数值分析简明教程》第二版课后习题答案高等教育出版社

1、优秀学习资料欢迎下载0.1 算法1、 （p.11 ，题 1）用二分法求方程013xx在1,2 内的近似根，要求误差不超过 10-3.【解】由二分法的误差估计式311*10212|kkkabxx，得到100021k. 两端取自然对数得96.812ln10ln3k，因此取9k，即至少需二分 9 次. 求解过程见下表。kkakbkx)(kxf符号0 1 2 1.5 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2、（ p.11 ，题 2）证明方程210)(xexfx在区间0,1 内有唯一个实根； 使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021。【解】由于210)(xexfx，则)(xf在区间 0,1 上连

2、续，且012010)0(0ef，082110)1(1eef，即0) 1()0(ff，由连续函数的介值定理知，)(xf在区间 0,1 上至少有一个零点 .又010)( xexf，即)(xf在区间 0,1 上是单调的，故)(xf在区间 0,1 内有唯一实根 .由二分法的误差估计式211*1021212|kkkabxx， 得到1002k.两端取自然对数得6438.63219.322ln10ln2k，因此取7k，即至少需二分7 次. 求解过程见下表。kkakbkx)(kxf符号0 0 1 0.5 1 2 3 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1

3、 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载4 5 6 7 0.2 误差1（p.12 ， 题 8） 已知 e=2.71828 ， 试问其近似值7.21x，71.22x，x2=2.71 ，718.23x各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字：因为11102105.001828.0|xe，所以7.21x有两位有效数字；因为12102105.000828.0|xe，所以71.22x亦有两位有效数字；因为33

4、10210005.000028.0|xe，所以718.23x有四位有效数字；%85.17.205.0|111xxer；%85.171.205.0|222xxer；%0184.0718.20005.0|333xxer。评（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2 （ p.12 ，题 9）设72.21x，71828.22x，0718.03x均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差( 限) 与相对误差 ( 限) 。【解】005.01，31111084.172.2005.0 xr；000005.02，62221084.171828.200

5、0005.0 xr；00005.03，43331096.60718.000005.0 xr；评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3 （p.12 ，题10）已知42.11x，0184.02x，4310184x的绝对误差限均为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载2105 .0，问它们各有几

6、位有效数字？【解】由绝对误差限均为2105 .0知有效数字应从小数点后两位算起，故42.11x，有三位；0184.02x有一位；而0184.01018443x，也是有一位。1.1 泰勒插值和拉格朗日插值1、 （p.54 ，习题 1）求作xxfsin)(在节点00 x的 5 次泰勒插值多项式)(5xp，并计算)3367.0(5p和估计插值误差，最后将)5.0(5p有效数值与精确解进行比较。【解 】由xxfsin)(，求得xxfcos)()1(；xxfsin)()2(；xxfcos)()3(；xxfsin)()4(；xxfcos)()5(；xxfsin)()6(，所以)(5xp500)5(200)

7、2(00)1(0)(! 5)()(! 2)()()(xxxfxxxfxxxfxf5)5(2)2()1(! 5)0(!2)0()0()0(xfxfxff53! 51! 31xxx插值误差：)(5xr66060)6(! 61)(! 6|)sin(|)(! 6| )(|xxxxxf，若5. 0 x，则)3367.0(5p3303742887.0! 53367.0! 33367.03367.053，而5665105.01002.2! 63367.0)3367.0(r，精度到小数点后5位，故取33037.0)3367.0(5p，与精确值330374191.0)3367.0sin()3367.0(f相比较

8、，在插值误差的精度内完全吻合！2、 （ p.55 ，题 12）给定节点4,3, 1,13210 xxxx，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：（1）234)(3xxxf；（2）342)(xxxf【解 】依题意，3n，拉格朗日余项公式为30)4(3)(! 4)()(iixxfxr（1）0)()4(xf0)(3xr；（2）因为! 4)()4(xf，所以精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共

9、23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载)4)(3)(1)(1()4)(3)(1)(1(! 4)()()4(3xxxxxxxxfxr3、 （p.55 ，题 13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算)3367.0sin(的近似值并估计误差。i0 1 2 ix0.32 0.34 0.36 )sin(ix0.314567 0.333487 0.352274 【解 】依题意，3n，拉格朗日余项公式为30)4(3)(! 4)()(iixxfxr（1）线性插值因为3367. 0 x在节点0 x和1x之间，先估计误差2)(max()(2)sin()(! 2)( )(10

10、10101xxxxxxxxxxxxfxr421021201.0；须保留到小数点后4 为，计算过程多余两位。x0 x1(x1-x0)2/4y=(x-x0)(x-x1)xy0)(1xp)sin()()sin()(1)sin()sin(01100110100101xxxxxxxxxxxxxxxxxx)(1xp)32.0sin()3367.034.0()34.0sin()32.03367.0(02.01)32.0sin(0033.0)34.0sin(0167.002.013304.0精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - -

11、 - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载（2）抛物线插值插值误差：)(2xr)()(6)cos()()(! 3)( 210210 xxxxxxxxxxxxf632101021601.036)()(max(xxxxxxx0 x1max=3(x1-x0)3/8y=(x-x0)(x-x1)(x-x2)xy0 x2抛物线插值公式为：)(2xp)sin()()()sin()()()sin()()(202120112101200201021xxxxxx

12、xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)sin(2)()sin()()sin(2)(02. 012011200212xxxxxxxxxxxxxxx)3367.0(2p)36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302.01025)36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302.0102533037439.0经四舍五入后得：330374.0)3367.0(2p，与330374191.0)3367.0sin(精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！1.3 分段插值与样条函数1、 （ p.56 ，习题 33

13、）设分段多项式211210)(2323xcxbxxxxxxs是以 0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c 的值 .【解 】依题意，要求s(x) 在 x=1 节点精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载函数值连续：)1(1111211)1(2323scbs，即：)1 (1cb一阶导数连续：)1(12161213)1

14、 (22scbs，即：)2(12cb解方程组（ 1）和（ 2） ，得3,2cb，即21132210)(2323xxxxxxxxs由于)1(221262123)1( ss， 所以 s(x) 在 x=1 节点的二阶导数亦连续。2、 已知函数211xy的一组数据，2, 1,0210 xxx和2.0,5 .0, 1210yyy，（1）求其分段线性插值函数；（2）计算)5.1 (f的近似值，并根据余项表达式估计误差。【解 】 （1）依题意，将x 分为 0,1和1,2两段，对应的插值函数为)()(21xsxs和，利用拉格朗日线性插值公式，求得15.05.00101101)(101001011xxxyxxx

15、xyxxxxxs；8 .03.02.01215 .0212)(212112122xxxyxxxxyxxxxxs（2）93076923076. 05.111)5.1 (2f，而35.08.05 .13 .0)5.1(2s，实际误差为：05.00423.0|)5 .1()5 .1(|2sf。由422)3(322)2(22)1()1()1(24)(,)1()31 (2)(,)1(2)(xxxxfxxxfxxxf, 可知5.0)1()2(2fm，则余项表达式5 .00625.05.05.0!2|)2)(1(|! 2| )(|)(422)2(mxxfxr1.4 曲线拟合1、 （ p.57 ，习题 35）

16、用最小二乘法解下列超定方程组：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载72623531142yxyxyxyx【解 】构造残差平方和函数如下：2222)72()62()353()1142(),(yxyxyxyxyxq，分别就 q对 x 和 y 求偏导数，并令其为零：0),(xyxq：)1(176yx，0),(yyxq：)2(

17、48463yx，解方程组（ 1）和（ 2） ，得24176.1273173486,04029.3273481746yx2、 （ p.57 ，习题 37）用最小二乘法求形如2bxay的多项式，使之与下列数据相拟合。【解 】令2xx，则bxay为线性拟合，根据公式(p.39, 公式 43) ，取 m=2 ，a1=0，n=5，求得)2() 1(5551251514512512515151251iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyxyxxbxaxbxayxbaxba；依据上式中的求和项，列出下表xiyixi(=xi2) xi2(=xi4) xi yi(=xi2yi) 19193611303216

18、8592532.362539062520187.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8157 271.4 5327 7277699 369321.5 将所求得的系数代入方程组（1）和（ 2） ，得)2(5.36932172776995327) 1(4 .2715327500baba97258.080115661.7791878532753277277699553275.36932172776994.271a；05004. 080115667.40085953275327727769954 .27

19、153275 .3693215b；即：205004.097258.0 xy。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载2.1 机械求积和插值求积1、 （p.94 ，习题 3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：hhhfafahfadxxf)()0()()()1 (210；1021

20、0)43()21()41()()2(fafafadxxf；1000)()0(41)()3(xfafdxxf。【解 】（1）令2, 1)(xxxf时等式精确成立，可列出如下方程组：)3(32)2(0)1(22020210haaaahaaa解得：hahaa34,3120，即：hhhffhfhdxxf)()0(4)(3)(，可以验证，对3)(xxf公式亦成立，而对4)(xxf不成立，故公式（1）具有 3 次代数精度。（2）令2, 1)(xxxf时等式精确成立，可列出如下方程组：)3(1627123)2(232)1 (1210210210aaaaaaaaa解得：31,32120aaa，即： )43(2

21、)21()41(231)(10fffdxxf，可以验证，对3)(xxf公式亦成立，而对4)(xxf不成立，故公式（2）具有 3 次代数精度。（3）令xxf, 1)(时等式精确成立，可解得：324300 xa即：10)32(43)0(41)(ffdxxf，可以验证，对2)(xxf公式亦成立，而对3)(xxf不成立，故公式（3） 具有 2 次代数精度。2、 （p.95 ，习题 6）给定求积节点,43,4110 xx试构造计算积分10)(dxxfi的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。【解 】依题意，先求插值求积系数：21)4321(243414310210101010 xxdxxdxxxx

22、xa；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载21)4121(241434110210100101xxdxxdxxxxxa；插值求积公式：100)43(21)41(21)()(ffxfadxxfnkkk当1)(xf，左边 =101)(dxxf；右边 =1121121；左 =右；当xxf)(，左边 =101022121)(x

23、dxxf；右边 =2143214121；左 =右；当2)(xxf，左边 =101033131)(xdxxf；右边=1651692116121；左右；故该插值求积公式具有一次代数精度。2.2 梯形公式和 simpson公式1、 （ p.95 ，习题 9）设已给出xexfx4sin1)(的数据表，x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 f(x) 1.000 00 1.655 34 1.551 52 1.066 66 0.721 59 分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分dxxfi10)(的近似值。【解 】（1）用 复化梯形法 ：28358.172159.0)06666.155152.

24、165534.1 (200000.1125.0)00.1()75.0()50.0()25.0(2)00.0(225.0)()(2)(2)()(225.041,5, 1,0555111105ttffffftbfxfafhxfxfhtnabhnbankkkknk（2）用 复化辛普生法 ：30939. 172159. 010304.3888.1000000.1121)00. 1()50. 0(2)75.0()25. 0(4)00.0(65. 0)()(2)(4)(6)()(4)(65. 021,2, 1, 022111021121102sfffffsbfxfxfafhxfxfxfhsnabhnban

25、kknkkkkknk精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载2、 （p.95 ，习题 10）设用复化梯形法计算积分10dxeix，为使截断误差不超过51021，问应当划分区间【0,1 】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？【解 】 （1）用 复化梯形法 ，xexfxfxfba)( )( )(, 1,0，设需划分n 等分，则

26、其截断误差表达式为：enfnabtirnt332312)01 ()( max12)(|；依题意，要求51021|tr，即849.2126101021125252enne，可取213n。（2）用 复化辛普生法，xexfxfxfba)( )( )(, 1,0，截断误差表达式为：4454528802880)01()( max)2(180)(|neenfnabsirns；依题意，要求51021|sr，即70666. 3144010102128805454enne，可取4n，划分 8 等分。2.3 数值微分1、 （ p.96 ，习题 24）导出三点公式(51) 、(52) 和(53) 的余项表达式)53

27、()(3)(4)(21)( )52()()(21)( )51()()(4)(321)( 21022012100 xfxfxfhxfxfxfhxfxfxfxfhxf【解 】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为nkjjjkknkkkxxnfxpxfxr0)1()()!1()()( )( )(由三点公式 (51) 、(52) 和(53) 可知，1201,2xxxxhn，则20201002100)12(03)( )(! 3)( )()!12()()(hfxxxxfxxfxrjj精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，

28、共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载202101121011)12(16)( )(! 3)( )()!12()()(hfxxxxfxxfxrjjj221202222022)12(23)( )(! 3)( )()!12()()(hfxxxxfxxfxrjjj2、 （ p.96 ，习题 25）设已给出2)1 (1)(xxf的数据表，x 1.0 1.1 1.2 f(x) 0.2500 0.2268 0.2066 试用三点

29、公式计算)2 .1( ),1 .1( ),0.1 ( fff的值，并估计误差。【解 】已知1.0,2.1, 1.1, 0.11201210 xxxxhxxx， 用三点公式计算微商：1870.02066.032268.042500.01.021)2.1 (3)1.1 (4)0.1 (21)2.1 ( 2170.02066.02500.01 .021)2.1 ()0.1(21)1.1 ( 2470.02066.02268.042500.031.021)2.1 () 1.1(4)0 .1(321)0.1 ( fffhfffhffffhf5432)1(24)( ;)1(6)( ;)1 (2)( ;)1

30、(1)(xxfxxfxxfxxf，用余项表达式计算误差0025.0)0 .11(31 .0243)( )0. 1(5220hfr00125.0)0 .11( ! 31 .024! 3)( )1. 1(5221hfr04967.0)1.11(31.0243)( )2. 1(5222hfr3、 （ p.96 ，习题26）设xxfsin)(，分别取步长001.0 ,01.0, 1 .0h，用中点公式（52）计算)8 .0( f的值，令中间数据保留小数点后第6 位。【解 】中心差商公式：hhafhafaf2)()()( ，截断误差：2! 3)( )(hafhr。可见步长 h 越小，截断误差亦越小。(1

31、) 9.08 .0,7.08.0, 1.020hxhxh, 则695545.0644218.0783327.01 .021)7 .0sin()9 .0sin(21)8.0( hf；(2) 81.08.0,79.08 .0,01.020hxhxh, 则6967.0710353.0724287.001.021)79.0sin()81.0sin(21)8.0( hf(3) 801.08.0,799.08.0,001.020hxhxh, 则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料

32、可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载6965.0716659.0718052.001. 021)799. 0sin()801.0sin(21)8.0( hf而精确值6967067.0)8 .0cos()8 .0( f，可见当01. 0h时得到的误差最小。在001. 0h时反而误差增大的原因是)8.0(hf与)8.0(hf很接近， 直接相减会造成有效数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。3.1 euler格式1、 （ p.124 ，题 1）列出求解下列初值问题

33、的欧拉格式)4 .00() 1(22xyxy，1)0(y，取2. 0h；)2 .11 ()2(2xxyxyy，1)0(y，取2. 0h；【解 】（1）)(2.0)(22221nnnnnnnnnyxyyxhyhyyy；（2）)(2.0)(22221nnnnnnnnnnnxyxyyxyxyhyy。2、 （p.124 ，题2） 取2.0h，用欧拉方法求解初值问题)6 .00(2xxyyy，1)0(y。【解 】欧拉格式：)(2.0)(221nnnnnnnnnnnyxyyyxyhyhyyy；化简后，212.08.0nnnnyxyy，计算结果见下表。n 0 1 2 3 xn0.0 0.2 0.4 0.6

34、yn1.0 0.8 0.6144 0.4613 3、 （ p.124 ，题3）取1. 0h，用欧拉方法求解初值问题)40(21122xyxy，0)0(y。并与精确解2112xxy比较计算结果。【解 】欧拉格式：)211(2.0)211(22221nnnnnnnnnyxyyxhyhyyy；化简后，22112.04.0nnnnxyyy，计算结果见下表。1、 （ p.124 ，题 7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p

35、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载【解 】因为)6.00(),(2xxyyyxfy，2.0h，且1)0(y，则改进的欧拉公式：2)()(2 .0)(),(2. 08. 0)(),(12222cpnpnpnpnpnpnncnnnnnnnnnnpyyyyxyyyxyhyyxhfyyyxyyxyhyyxhfyy。计算结果见下表。n 0 1 2 3 xn0.0 0.2 0.4 0.6 yp1.0 0.67300.51470.3941yc0.76 0.7092 0.5564 0.4319 y

36、n0.88 0.6911 0.5356 0.413 与原结果比较见下表n 0 1 2 3 xn0.0 0.2 0.4 0.6 yn1.0 0.8 0.6144 0.4613 yn(改进) 0.88 0.6911 0.5356 0.413 3.3 龙格-库塔方法1、 （ p.124 ，题11） 用四阶经典的龙格- 库塔方法求解初值问题yy38，2)0(y，试取步长2 .0h计算)4 .0(y的近似值，要求小数点后保留4 位数字。【解 】四阶经典的龙格- 库塔方法公式：),()2,()2,(),()22(631422131212143211hkyxfkkhyxfkkhyxfkyxfkkkkkhyy

37、nnnnnnnnnn；列表求得)4.0(y如下：n xnyn0 0.0 2.000 1 0.2 2.3004 2 0.4 2.4654 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载4.1 迭代法及收敛定理1、 （ p.153 ，题1）试取10 x，用迭代公式),2 , 1 , 0(1022021kxxxkkk，求方程020

38、10223xxx的根，要求准确到310。【解 】迭代计算结果列于下表k xk|xk-xk-1| 0.001 k xk|xk-xk-1|0.001 1 1.53846 0.53846 n 6 1.36593 0.00937 n 2 1.29502 0.24344 n 7 1.37009 0.00416 n 3 1.40182 0.10680 n 8 1.36824 0.00185 n 4 1.35421 0.04761 n 9 1.36906 0.00082 y 5 1.37530 0.02109 n 因为3891000082.0|xx，所以36906.19xx。2、 （p.153 ，题2）证明

39、方程xxcos21有且仅有一实根。试确定这样的区间,ba，使迭代过程kkxxcos211对,0bax均收敛。【证明 】 设：xxgcos21)(，则当rx时，21,21c os21)(xxg，且一阶导数xxgsin21)( 连续，121|sin21| )( |xxg，所以迭代过程kkxxcos211对rx0均收敛。（压缩映像定理） ，方程xxcos21有且仅有一实根。 3、 （ p.153 ，题 4）证明迭代过程kkkxxx121对任意初值10 x均收敛于2。【证明 】 设：xxxg12)(， 对于任意1x， 因为212212xxxx， 所以2)(xg。一阶导数121121)( 2xxg， 根

40、据压缩映像定理，迭代公式kkkxxx121对任意初 值10 x均 收 敛 。 假 设xxkklim， 对 迭 代 式kkkxxx121两 边 取 极 限 ， 则 有xxx12，则22x，解得2x，因2x不在1x范围内，须舍去。故2x。 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载4.2 牛顿迭代法1、 （ p.154 ，题

41、 17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4 位有效数字：（1）0133xx，20 x（2）0232xexx，10 x【解 】（1）设13)(3xxxf，则33)( 2xxf，牛顿迭代公式：), 2, 1 ,0() 1(3123313)( )(23231kxxxxxxxfxfxxkkkkkkkkkk，迭代计算过程见下列表。k xk|xk-xk-1| 0.0001 k xk|xk-xk-1|0.0001 1 1.88889 0.11111 n 3 1.87939 0.00006 y 2 1.87945 0.00944 n 因为4231000006.0|xx，所以879.13xx。（2）

42、设23)(2xexxxf，则xexxf32)( ，牛顿迭代公式：), 2, 1 , 0(322)1(3223)( )(221kexxexexexxxxfxfxxkkkkxkkxkxkxkkkkkkk，迭代计算过程见下列表。k xk|xk-xk-1| 0.0001 k xk|xk-xk-1|0.001 1 0.26894 0.73106 n 3 0.25753 0.00014 n 2 0.25739 0.01155 n 4 0.25753 0.00000 y 因为4231000000.0|xx，所以2575.04xx。2、 （ p.154 ，题 18）应用牛顿法于方程03ax，导出求立方根)0(

43、3aa的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。【证明 】 （1）设：axxf3)(，则23)( xxf，对任意0 x，牛顿迭代公式23231323)( )(kkkkkkkkkxaxxaxxxfxfxx,2,1 ,0k（2）由以上迭代公式，有：3limaxxkk。设)0(32)(23xxaxxgxxg)(；0)1 (32)( 33axxaxg；3422)( 3axaxgax。21)(! 2)( )( )()(xxgxxxgxgxgxxkkkk3211! 2)( )(limaxgxxxxkkk，可见该迭代公式具有二阶收敛性。 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

44、- - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载5.1 线性方程组迭代公式1、 （p.170 ，题1）用雅可比迭代与高斯- 赛德尔迭代求解方程组：12232121xxxx，要求结果有 3 位有效数字。【解 】雅可比迭代公式：)1(212121)2(313231)(1)(1)1(2)(2)(2)1(1kkkkkkxxxxxx，迭代计算结果列于下表。k)(1kx)(2kx|)1(1)(1kkxx|

45、)1(2)(2kkxx0005.0? 0 0 0 - - 1 2/3 1/2 2/3 1/2 n 2 1/2 1/6 1/6 1/3 n 3 11/18 1/4 1/9 1/12 n 4 7/12 7/36 1/36 1/18 n 5 0.60185 0.20833 0.01852 0.01389 n 6 0.59722 0.19908 0.00463 0.00925 n 7 0.60031 0.20139 0.00309 0.00231 n 8 0.59954 0.19985 0.00077 0.00154 n 9 0.60005 0.20023 0.00051 0.00038 n 10 0

46、.59992 0.19998 0.00003 0.00025 y 200.0;600.0)10(22)10(11xxxx；由上表可见，所求根皆为小数点后第1 位不为零的小数，要取3 位有效数，则误差限为31021。高斯 - 赛德尔迭代公式：)1(612121)2(313231)(2)1(1)1(2)(2)(2)1(1kkkkkkxxxxxx，迭代计算结果列于下表。k)(1kx)(2kx|)1(1)(1kkxx|)1(2)(2kkxx0005.0? 0 0 0 - - 1 2/3 1/6 2/3 1/6 n 2 0.6111 0.1944 n 3 0.6019 0.1991 0.0092 0.0

47、047 n 4 0.6003 0.1999 0.0016 0.0008 n 5 0.6000 0.1999 0.0003 0.0000 y 200.0;600.0)5(22)5(11xxxx；2、 （ p.171 ，题 7）取25.1，用松弛法求解下列方程组，要求精度为41021。124204316343232121xxxxxxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 -

48、 - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载【解 】欧先写出高斯 - 赛德尔迭代：) 1(2516164934124116954143443)(3)(2)(2)1()(3)(2)(3)(1)1()(2)1(321kkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxx引入松弛因子，得)2(4541)1(4541)1(4541)1()1()(3)1()(3)1(3)1()(2)1()(2)1(2)1()(1)1()(1)1(1332211kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx将方程组（ 1）代入（ 2） ，并化简)3(8256411256452516564295161541)(

49、3)(2)1(3)(3)(2)1(2)(2)(1)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx计算结果见下表。k)(1kx)(2kx)(3kx|)1(1)(1kkxx|)1(2)(2kkxx|) 1(3)(3kkxxe? 0 0 0 0 - - - - 1 5 2.5 -3.125 5 2.5 3.125 n 2 1.40625 2.65625 -2.14844 n 3 2.15820 3.03223 -2.28882 n 4 1.61173 3.15872 -2.19860 n 5 1.63577 3.24423 -2.19187 n 6 1.54959 3.28508 -2.17800 n

50、7 1.53284 3.30793 -2.17320 n 8 1.51561 3.31978 -2.17001 n 9 1.50880 3.32615 -2.16847 n 0 1.50453 3.32951 -2.16762 n 1 1.50245 3.33130 -2.16717 n 2 1.50129 3.33225 -2.16694 n 3 1.50069 3.33276 -2.16672 n 4 1.50037 3.33306 -2.16676 n 5 1.50016 3.33318 -2.16670 n 6 1.50010 3.33325 -2.16668 n 7 1.50005

51、3.33329 -2.16668 0.00005 0.00004 0.00000 y 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载迭代解：.1667.2,3333.3,5001.1)17(33)17(22)17(11xxxxxx精确解：.1667.2613,3333.3310,5.123321xxx5.1 线性方程组迭代公

52、式1、 （p.170 ，题 2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯- 赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。17722238231138751043214321321431xxxxxxxxxxxxxx【解 】 （1）雅可比迭代公式：717727271823814183811838110721101)(3)(2)(1)1(4)(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(4)(3)1(1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx (1) jg072727181041840830812110100，187jg，迭代收敛。（2）高斯 - 赛德尔迭代公式：7177272718

53、23814183811838110721101)1(3)1(2)1(1)1(4)(4)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx (2) 将方程组（ 1）带入（ 2） ，经化简后，得：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载112039912

54、2439112012132078764193201980117161803110721101)(4)(3)1(4)(4)(3)1(3)(4)(3)1(2)(4)(3)1(1kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxx (3) sgg224391120890064193201900161803102110100，153sgg，迭代收敛。2、 （ p.171 ，题 5）分别用雅可比迭代与高斯- 赛德尔迭代求解下列方程组：（1）23122121xxxx（2）1152425235321321321xxxxxxxxx【解 】 （1）雅可比迭代：2312)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx，1

55、3g, 不收敛。高斯 - 赛德尔迭代：2312)1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx或5612)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx，16g, 不收敛。（2）雅可比迭代：511515222125235)(2)(1)1(3)(3)(1)(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx，18g, 不收敛。高斯 - 赛德尔迭代：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页

56、，共 23 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载511515222125235)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx或5185142138225235)(3)(2)1(3)(3)(2)(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx18g, 不收敛。3、 （ p.171 ，题 6）加工上述题5 的方程组，比如调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程的收敛性。【解 】加工后结果如下：（1）12232121xxxx（2）1152235425321321321xxxxxxxxx方程组（ 1）的雅可比迭代：212132313)(1)1(2)(2)1(1