数模竞赛论文

1、一、问题的背景与重述现在不同地区的人交流频繁，对飞机的容量提出了更大的要求，而国外在这方面处于垄断地位，将其高尖技术封锁，因此发展具有自主知识产权的大飞机是时代和国情的需要。为了使我国的大飞机具有较好的市场潜力，必须对C919大飞机的市场和价格进行评估和预测进而才与一些措施提高大飞机的竞争力。根据题意，本文要解决的问题有： （1）参照同类飞机B737-800，从航空公司的角度，结合飞机运营成本，评估一下国产大飞机C919未来的市场潜力。 （2）建立一个合理的数学模型，为将新开发的商用飞机预测一个较合理的价格，并结合你的模型对C919的价格进行预测； （3）在第二问已经建立的模型基础上，结合相关

2、数据计算当前A380-800和B737-800两种商用飞机的价格，对模型进行检验并说明所建价格预测模型的优缺点；二、问题假设1、假设本题以经济寿命代表飞机的性能；2、假设以飞机的耗油量代表航空公司的运营成本；3、假设其他因素影响很小（比如物价），用一个修正项可以对其进行修正。三、符号说明 表A-1 符号说明（万小时）客机的经济寿命（百万美元）客机的销售价格（Kg/h/座）每座每小时的耗油量（座）表示每架客机的客座数（百万美元/座）研发费用（百万美元/座）飞机的制造成本容价比 = /（架）C919飞机的市场潜力（百万美元）每架飞机的售价(吨)最大起飞重量（米）机身长（米）机高（米）满油航程（米/

3、秒）最大巡航速度（立方米）最大载油量四、问题的分析 （一）飞机的市场潜力是由多个指标来进行衡量的，为了使得建立的模型能够客观、准确地对飞机价格作出全面的预测，要求： （1）准确找出影响市场潜力的关键因素，暂时略去非关键因素； （2）除了要定性的比较C919的市场潜力之外，还需量化市场潜力的概念，建立一个数学模型，预测市场潜力。（二）一个新开发的商用飞机在预测价格时，我们要考虑到在研制该飞机使得研发经费和该飞机的制造成本，以及由该飞机性能所决定的一些参数，利用这些参数以及最小二乘法可以拟合出一个函数，用这个函数模型去预测一个新飞机的售价。然后用一些已知的数据代入，验证模型的好坏。五、模型的建立与

4、求解问题一：（一）定性比较法：表A-2列出了波音B737-800和C919的一些重要参数，以供比较。 表A-2 B737-800和C919的相关参数参数B737-800C919客座数(两级/单级)162/189156/168价格（百万美元）72.581.0< 50耗油量（Kg/Hour/座）15.113.3最大起飞重量（Kg）7050072500 注：C919的直接使用成本（DOC）比B 737-800降低10%.很明显，波音公司系列产品取得的成功是全世界人民有目共睹的，特别是波音公司与空客公司对现在民航飞机产业形成了垄断。国家发展大飞机项目就是要发展具有自主知识产权的飞机，打破这种技术

5、封锁。表A-2给出了两种飞机的重要参数，从表A-2中可以看出：1、 二者的座位数相差不大，但是二者的销售价格确实相差很大。B737-800在价格上比C919多出了将近3000万美元。基于这一点，C919在价格上存在很大的优势。2、 在石油资源日益短缺的现在工业社会，飞机的耗油量成了飞机运行成本很直接的影响因素。可以从表中的数据看出，C919每座每小时耗油量只是B737-800的88%，这一点也是很有利的因素。3、 从表中的注释部分可以看出，C919的直接使用成本（DOC）比其竞争机B737-800降低了10%，这也是增强C919竞争力的一个很重要方面。4、 一般飞机的经济寿命在6万小时左右，性

6、能好的飞机一般也只有8万小时。而C919的设计寿命达到了9万小时，这对航空公司来说有很大的吸引力。从以上的直接分析中，可以看出C919的运营成本比同类型的竞争机B737-800要少得多。不仅如此，C919在设计方面采用了最新的复合材料，减轻了飞机重量，降低了机舱的噪音（小于60分贝），飞机的碳排放量较同类飞机降低50%，符合现在的环保理念，设计上也采用了更加人性化的设计。综合这些因素，C919的市场潜力是相当大的，对相关的产业带动作用也是相当巨大的。（二）模型量化法1、本模型主要采用了多元线性回归模型，以及最小二乘法处理数据。 2、飞机的市场潜力是有很多标准来衡量的，而在这些标准中飞机的市场占

7、有率是最具代表性的。对于每一种的在研制中的飞机来说，我们用别人的首次订购量可以看出它潜在的市场。这是因为：一种飞机未交付使用之前，知道的只是它在设计时的性能参数，以及预测的价格。当这种飞机经过实践以后，它的市场占有率会随人们对该款飞机的评价而改变。因此在该模型中，我们以该飞机的首次预定量来代表它的未来市场潜力。表A-3为一些飞机的相关参数。 表A-3部分飞机的相关参数机型(万h）(百万美元）(Kg/h/座)(座)(架）B737-800676.7515.10175.5400.4373B737-900ER781.5014.48183.0400.4453B747-4006253.0020.10524

8、.0200.4828B767-300ER6153.0018.59269.0210.5688B767-400ER6165.5021.43245.0150.6755B777-200ER6218.2522.43301.0100.7251C9199<5013.29162.0<0.309注：以上的符号表示请参阅表A-1符号说明这里对容价比作出解释。飞机的客座数不同，其研发和制造成本就会不同，一般是客座数越多，价格越多。所以定义容价比=/，这样更能客观的反映飞机的价格。这也是模型的的创新之处。3、模型的建立与求解多元线性回归的一般模型为 =+ （1）其中，, ,，,是未知参数，是随机误差。假定

9、 0, 设对以及, , 同时做了n次观察，得到n组数据（,），（,），（,），它们满足方程组 =+，=1,2,n （2）记 = = = =则式（1）可以写成=+ （3） 利用最小二乘法可以求得 = （4）从而得到线性回归方程 =+ （5）在本题中 =+ （6）带入表中的数据，利用Matlab软件可以计算得到 = = （7）得到该题的线性回归方程 =98.9300-0.4529-8.5283-3.5885 （8）利用该方程，将C919的参数带入，可以计算得到 =45（架）注：该模型中C919的价格以50百万美元来算。将与表A-3中的相比较，可以看出C919的市场潜力在同类型的竞争机中有较大的优势

10、，也就是说，C919的市场潜力很大。4、模型的检验1）、将式（7）中的与表A-3中的相比较，利用该模型拟合出的结果与实际的误差都在允许的范围内，说明利用式（8）计算出的结果大部分都能很好的反映现实情况，从而说明该模型是有价值的。下图A-1给出了以上型号飞机的首次销售量与模型预测的首次销售量之间的关系。从图中也可以看出该模型在预测市场潜力时有一定的实用性。 表A-1 飞机的首次销售量2）、标准偏差 （9）代入数据可以计算得到 =2.48该值较小，同时也说明了该模型是有实际参考价值的。3）、判定系数 （10）越接近于1，拟合程度越好。代入数据得 =0.9772该数据更加验证了该模型的合理性。5、两

11、种方法的比较定性比较法只能是从人的感性角度去评判这种产品的好坏，并不能很好的反映该产品的的实际性能。当选择某种代表性数据，同时建立数学模型来对该产品的好坏进行量化比较时，结果很直观，也很具有说服力。本题的创新点正是基于这一点，用数字量化市场潜力，得到更加直观，更加可信的结果。问题二:（一）多元线性回归模型1、在第一问的基础上，我们可以将问题简化，也采取多元线性回归模型来预测C919的市场价格。2、在价格预测方面，要考虑的因素很多。比如说，市场潜力、飞机的制造成本、研制该飞机投入的科研经费、以及航空公司的运营成本等方面。本模型中着重考虑飞机的制造成本、研制该飞机投入的科研经费、以及航空公司的运营

12、成本三个方面。为了使不同型号的飞机更具比较性，我们将制造成本和科研经费的单位化为百万美元/座，运营成本仍然定为耗油量。假设其他因素（比如物价的变化等）影响很小，可以用一个修正项对其修正。表A-4给出了某些机型的相关数据。表A-4 部分波音客机和空客客机的费用机型Kg/h/座百万美元/座百万美元/座百万美元B747-40020.1013.170.39253.00B767-300ER18.5922.300.45153.00B777-400ER22.4321.590.71165.50B787-318.6027.680.44152.75A38022.1416.610.42327.40A350-8001

13、8.7016.210.60208.70C91913.2929.760.25注：以上的符号表示请参阅表A-1符号说明3、模型的建立与求解预测价格时仍然用多元线性回归模型，利用式（1）-（6）可以得到该题的线性回归方程 =+ + （11）带入表中的数据，利用Matlab软件可以计算得到 = = （12）将的值带入式（11）可以得到该题的线性回归方程是=-11.9359+ 27.0365-7.0158-351.3869 （13）将C919的数据代入式（12），可得 =50.7（百万美元）在该题假设的条件下，可以算得C919的大致售价在5000万美元左右。4、模型的检验由于问题三是对该模型的检验，所以

14、具体的讨论过程详见问题三。(二)RBF神经网络预测模型1、表征飞机性能的参数有很多，这里取6个参数进行分析，他们是：最大起飞重量，机身长，机高，满油航程，最大巡航速度，最大载油量。部分波音客机和空客客机的参数下表A-5所示。表A-5 部分波音与空客客机的性能参数机型）747-400396.0070.60 19.40 13.57274.0 216.84253.00 767-300ER187.0054.94 16.90 11.39272.0 90.916153.00 777-200ER297.5563.73 18.50 14.00285.6 171.16218.25 787-3163.0055.5

15、0 16.50 15.70289.0 120.00152.75 A350-800245.0059.00 17.02 13.60292.4 139.10208.70 A380560.0073.00 24.10 15.00302.6 310.00327.40 C91972.5038.0012.005.55288.221.6下面将建立基于RBF的神经网络模型，预测C919的售价。2、RBF模型的建立与求解（1）、RBF神经网络原理 RBF神经网络由三层组成，结构图如图A-2所示。图A-2 RBF神经网络结构RBF网络隐节点激励函数(=1,2,n)定义为具有径向对称性质的基函数，通常采用如下形式的高斯

16、函数 （14）式中为输入向量；是个隐节点的中心（称中心向量），与具有相同的维数，是向量的范数，它通常表示与之间的距离；是第个感知变量，它决定了该基向量围绕中心点的宽度。网络的输出为 （15）式中是网络的输出权值，n是感知单元的个数（隐含层节点数）。（2）、RBF神经网络改进算法由于原始的RBF模型中，各层所完成的任务是不尽相同的，因此下面将对RBF神经网络算法进行改进。1）用均值聚类法确定初值中心,、方差 a）初始化聚类中心。从输入样本,中选择个样本作为聚类中心。 b)将输入样本按最近规则分组，即将,分配给中心为,的输入样本聚类集合，亦即，且满足。式中：表示最小欧氏距离。 c）计算中样本的平均

17、值（即）： （16）式中，为中的输入样本数。 d)其方差为 （17）式中，为所选中心之间的最大距离。2）利用最小二乘法确定初始权值已知RBF的中心、方差，由最小二乘法可得的解为 （18）式中， ， （19）由表A-5数据以及式（16）、式（17）、式（18）、式（19），利用Matlab软件可以算出 （20） （21） （22）（23）由式（15）可知 可以算出 （24）代入C919和式（23）的数据可以得到 （百万美元）由RBF神经网络模型可以计算出C919的售价为4300万美元。 3、模型的检验由于问题三也是对该模型的检验，所以具体的讨论过程详见问题三。（三）价格预测综合以上两个模型的预测

18、结果，我们给出C919的价格区间为4300-5000万美元。问题三：1、 多元线性回归模型的检验与评价（1）当前A380-800和B737-800两种商用飞机的价格分别是（以均值计）：327.4百万美元和76.75百万美元。利用多元线性回归模型，根据式（13） =-11.9359+ 27.0365-7.0158-351.3869可以算得A380-800和B737-800两种商用飞机的价格分别是：322.5百万美元和87.7百万美元，误差分别是：1.5%和14.3%。这两个数据中一个符合的很好，另一个却有较大的误差，由此可以看出该模型在预测价格方面还是存在一定缺陷的。下面给出了该模型的具体检验与

19、评价。（2）该模型的具体检验与评价1）、总体评价将式（12）中的数据与表A-4中的数据相比较，可以得到， 用线性回归方程算得的都要比实际数据要大，由此可以进一步预见C919的价格将低于5000万美元。另外，的数据比最多高了20%，由此粗略的估计C919的价格下限在4000万美元左右。最终利用该模型预测C919的价格在4000-5000万美元左右，而这之间的价格变动会由市场竞争引起，在实际的市场竞争中每种飞机的价格都是有一个价格区间的，市场的其他因素会调节飞机的价格，这也是符合市场规律的。下图A-3反映了当前飞机的价格和预测价格之间的差别。表A-2 但前飞机的价格和预测价格2）、标准偏差（参见式

20、（9） 代入数据算得 =52.103）、判定系数（参见式（10） 越接近于1，拟合程度越好。代入数据得 =0.81084）、根据标准偏差和判定系数的的结果可以看见，该模型预测的结果与实际结果还有一定的偏差。原因是我们在建立模型时假设忽略了很多因素，而在这些因素中，某些变量有可能是是影响客机价格的重要原因。所以综合以上因素，这个模型在价格预测方面还是一定误差的。2、 RBF神经网络模型的检验与评价 （1）当前A380-800和B737-800两种商用飞机的价格分别是（以均值计）：327.4百万美元和76.75百万美元。利用RBF神经网络模型，根据式（15）和式（23）以及两种飞机参数 可以计算得到A380-800和B737-800两种商用飞机的价格分别是：324.40百万美元和71.56百万美元,误差分别是:1%和6%。可以看出该模型得到的结果有较好的预期性，也反映了该模型的可行性。下面给出该模型的进一步检验与评价。 （2）该模型的进一步检验与分析将式（24）中的数据与表A-5中的数据相比较可以看出：用RBF神经网络模型算得的数据与实际结果之间的误差都是在可控的误差范围内，说明该模型是一个很好的价格预测模型。但是，客机的性能参数并不是决定价格的唯一因素。市场的反馈作用在很大程度上也能影响飞机的价格，而在该题的RBF神经网络模型中，我们并没有考虑这么多因素。下表A-4