高等华师高代考研试题(前)

1、华南师范大学1998年高代试题一 计算行列式二 设， ，其中为非负整数,则充要条件是具有相同的奇偶性三 解线性方程组，找出基础解系，写出一般解四设矩阵的最高阶非零子式为,证明这个子式所在的A的前t个行向量是A的行向量组的极大无关组五求多项式和的最大公因式六已知两向量组与有相同的秩，证明与等价七设A，B是n阶对称方阵，证明乘积AB对称的充要条件是A与B可交换华南师范大学1999年高代试题一 计算行列式二（1）设,证明的充要条件是(2)设是数域F上的多项式，证明的充要条件是且三设A，B，C都是n阶矩阵，满足AC=CA，AD=CB和，令证明四设T为有限维欧氏空间V的对称变换,证明TV是的中正交补五用

2、正交变换化二次型为标准型六设是是向量空间V的子空间，证明和空间是直和的充要条件是各子空间的基底合起来是和空间的基底华南师范大学2000年高代试题一 计算行列式二 （1）设是两个不同时为0的实系数多项式，证明：对于任意正整数n，（2）设a是一个实数，证明：多项式最多只有一个实根（不计重数）三 设n阶矩阵满足，证明：（1）相似于形为的矩阵，其中表示阶单位矩阵；（2）对于任何正整数，都有四 设为数域的多项式，且有，是上的一方阵，设，的解空间分别是，证明五设实数域上的全体阶方阵构成的欧氏空间为，取固定的矩阵在上定义变换， （1）证明是线性变换；（2）求出关于的标准正交基下的矩阵；（3）证明存在一个的标

3、准正交基，在此基下矩阵为对角阵；并求出其最小多项式六.设实二次型（1） 求此二次型的正惯性指标和符号差；（2） 问方程对应空间中的什么曲面华南师范大学2002年高代试题一 计算行列式二 设是数域上的多项式，证明：是的最大公因式当且仅当三 设是复数，并且是有理数域上的一个非零多项式的根，令，证明：中存在唯一的首项系数为的多项式，使得对于任意四 设是矩阵，是矩阵，证明存在矩阵满足的充分必要条件是五 设是数域上的线性性空间。中一组向量生成的子空间是。证明（1）是所有包含的子空间中的最小者；（2） ；（3）若是中两组线性无关的向量，则是直和当且仅当线性无关；六 设是实数域上阶对称矩阵，对于 ，定义，证

4、明在此定义下构成欧氏空间的充分必要条件是为正定矩阵七 设实数域维线性空间上的线性变换定义为。分别是其特征值的特征子空间。（1） 求（2） 能否对角化；（3） 证明可以对角化，求出的一个基，使在此基下的矩阵为对角形，并写出此对角形矩阵 八 已知二次型 通过正交替换化为标准形。求出参数和相应的正交矩阵。华南师范大学2003年高代试题七证明行列式等式其中是在中的代数余子式八设是数域上的多项式，是一个正整数，证明：九（1）设是矩阵，是矩阵，证明：线性方程组与同解的充分必要条件是； （2）设是实数矩阵，证明：十设是实数域，为所有阶实方阵构成的线性空间，对于固定的实数，定义上线性变换， （1）求在基下的矩

5、阵 （2）若，将线性变换对角化，并给出变换的矩阵十一。设实对称矩阵的特征值全大于，与同阶的实对称矩阵的特征值全大于证明：（1）和都是正定矩阵；（2）特征值全大于华南师范大学2004年高代试题七。设是数域上的多项式，是其标准分解式，其中，是首项系数为的不可约多项式，是的导数，证明：（1）（2）无重因式当且仅当八 设是矩阵，是线性方程组，的基础解系是，而为的一个解，证明：向量组是的所有解向量的极大无关组九（1）设都是方阵，已知存在，求；（2）设，求，十 设，（其中是的复数根），是实数域（1） 证关于矩阵加法和数乘是上线性空间，且是它的基；2）对于，设作的变换，证明：是上的线性变换；a) 证可对角化

6、，并将对角化十一。（1）判定实二次型 是否正定，并证明；（2）设为实对称阵，为单位阵，证明存在正实数，使为正定矩阵2004年复试试题七 设齐次线性方程组和，其中和分别是和矩阵，证明：（1）若的解都是的解，则秩秩；（2）若与同解，则秩秩；（3）若的解都是的解且秩秩，则这个方程组同解另外三题分别是99年第六题，99年第三题，98年第四题华南师范大学2005年高代试题一 令与是数域上的多项式，且，证明 二 设非零实矩阵（1） 求及秩；（2） 求的特征值；（3） 求的特征值对应的特征向量。三 设是数域，定义向量空间上的线 性变换如下： （1） 求子空间， ；（2） 证明四 设是正定矩阵，证明： （1）

7、 （是正整数），都是正定矩阵；（2）有一个为正，则正定五 设是维欧氏空间，是的标准正交基，是中一组向量且 ，为阶实方阵，证明： 是的标准正交基当且仅当是正交矩阵华南师范大学2006年复试高代试题一设是数域上的维向量空间，证明上的线性变换全体构成的向量空间维数是，并给出它的一个基。二设是一个阶实对称矩阵，证明：如果是的重特征值，则矩阵的秩是，其中是阶单位阵三已知有理系数多项式与的最大公因式是一个次多项式，求的值和四设是向量空间的两个子空间，证明是子空间的充分必要条件是或，举例说明两个子空间并集不一定是子空间。高代题(未知年份)一（1）设,证明的充要条件是(2)设是数域F上的多项式，证明的充要条件

8、是且二 设是复数，并且是有理数域上的一个非零多项式的根，令，证明：中存在唯一的首项系数为的多项式，使得对于任意三 设是数域，是上的三维线性空间，是其一组基。是的线性变换：，（1） 试求的逆变换在基下的矩阵；（2） 求在基下的矩阵。四 设是数域上的线性性空间。中一组向量生成的子空间是。证明（1）是所有包含的子空间中的最小者；（2） ；（3）若是中两组线性无关的向量，则是直和当且仅当线性无关；设是实数域，为所有阶实方阵构成的线性空间，对于固定的实数，定义上线性变换， （1）求在基下的矩阵 （2）若，将线性变换对角化，并给出变换的矩阵六 设是实数域上的维欧氏空间，是两个正交的向量。变换定义为，对于，

9、证明：（1）是上正交变换；（2），是上恒等变换；（3）存在的标准正交基，使在此标准正交基下的矩阵是。华南师范大学2007年招收硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数适用专业：基础数学，计算数学，应用数学，概率论与数理统计，运筹学与控制论一、（30）分 回答问题（1）设是数域上多项式，在什么条件下，由可推出；（2）下列变换哪些保持矩阵的秩不变：初等变换，相似变换，转置变换，右乘变换，正交变换；（3）写出阶方阵可逆的五个等价条件；（4）在欧氏空间中，写出将向量组，正交化后得到的正交向量组；（5）写出实二次型的规范形，并对此规范形写出符号差和秩。二、（20分） 设线性方程组 取何值时，方程组无解，

10、有唯一解，有无穷多解：在有解时写出它的通解。三、（15分）设阶方阵， .关于，讨论的秩。四、（20分）设多项式 证明：（1）无有理数的根； （2）在有理数域上不可约。五、（15分） 设是有限维向量空间上的线性变换，证明：（1）若是由生成的子空间，则（2）若，且是可逆的，则六、（20分）设向量空间（是数域）的基，.线性变换关于基的矩阵是 .又有基（1） 求的像关于基的坐标；（2） 求基到的过渡矩阵。七、（15分） 设是有限维的欧氏空间，证明：（1）；（2）对于的子空间由可得；（3）八、（15分） 已知二次型的秩是2，求参数，并指出方程表示什么曲面.华南师范大学2008年招收硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数适用专业：基础数学，计算数学，应用数学，概率论与数理统计，运筹学与控制论一、（30分） 回答问题（1）在阶行列式的定义展开式中，项所代的符号是什么？（2）写出数域上的多项式唯一分解因式分解定理，并写出多项式的标准分解式.（3）写出矩阵秩的定义，并给出矩阵秩与向量空间维数的关系。（4）所有阶实矩阵的集合在矩阵的加法和数乘矩阵的运算下成为向量，在法则（是的转置）下是欧氏空间吗？为什么？（5）列出四个判定实二次型是正定的充分必要条件.二、（20分） 设多项式的首项是1，证明：三、（20分）设数域F上的次多项式若对于个不同的都有.证明：.四、（20分）设是实数集，是全体