正项级数判别法

1、编辑课件1第二节第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数的判别法正项级数的判别法 第十二章 编辑课件2如果级数 1nnunuuu21满足条件：,),2, 1(0nun称为正项级数。,011us212uus1u3213uuus21uu ,1s2snnsssss13210一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法数列极限存在准则：单调有界数列必有极限定理定理 1. 正项级数1nnu收敛部分和序列nS),2, 1(n有界 .部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. .ns编辑课件3. 211211211211 121收敛证明级数例nnn证明:这是一个正项级数，其部分和

2、为:nns2112112112故sn有界，所以原级数收敛.n21212121211 n编辑课件4定理定理2 (比较审敛法) 设 和 都是正项级数， 且), 2 , 1( nvunn1nnv1nnu(1) 级数 收敛，则级数 收敛；(2) 级数 发散，则级数 发散.1nnv1nnu1nnu1nnvnnnnnuuussnu211 ,即：项和是的前证明：设nnnnnvvvnv211,即：项和是的前设(1,2,)nnnnuvsn即即: 大的收敛, 小的一定收敛; 小的发散, 大的一定发散. 编辑课件5（1）若 1nnv则由定理1知,n有界因此ns所以级数 1nnu（2）若则由定理1知, ,ns无界因此

3、所以级数 1nnu 1nnvn收敛，也有界，收敛；发散，也无界，发散；(1,2,)nnnnuvsn推论：推论： 如果正项级数1nnu1nnv(0,)nnukvknN,则定理2中的结论仍和从某项N之后满足关系式:成立。编辑课件6例例2. 讨论 p 级数pppn131211(常数 p 0)的敛散性. 解解: 1) 若, 1p因调和级数11nn所以p 级数11npnn1发散 .发散 ,pn1由比较审敛法可知：, 1p因为当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp时,2) 若编辑课件7考虑级数1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11p

4、pnkkkn故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn1nnppxnn1d11111) 1(111ppnnpnnpxx1d1 结论：结论：p 级数当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散。编辑课件81 p（2） 时，时， ppppn14131211 )15181()71615141()3121(1pppppppp )8181()41414141()2121(1pppppppp 1118141211ppp几何级数，几何级数，收敛。收敛。 设收敛于设收敛于S。S 由定理由定理1知，此时知，此时P-级数收敛。级数收敛。S 121

5、1 pq公比公比 ，法二编辑课件9调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu. 是发散的证明级数如1) 1(1nnn2 (1)(1)n nn证明：11) 1(1nnn113121111nnn而级数是发散的；比较审敛法的不便比较审敛法的不便: : 须有参考级数须有参考级数. . 由比较判别法可知，所给级数也发散.编辑课件10解：解：,1时时当当 n, 03sin n ,sinxx sin,33nn例例3. 判别级数 13sin2nnn 的收敛性。所以所以原级数为正项级数。,20时又当 x取2 sin3nnnu23nn

6、2( )3nnv而 1nnv 1)32(nn 是收敛的几何级数，所以， 1nnu 13sin2nnn 是收敛的。编辑课件11例例4 判定级数判定级数 的敛散性。的敛散性。 11nnn解解 11nnn nnn1121 n n212121211432即即而级数而级数 收敛，收敛， 1121nn故级数故级数 收敛。收敛。 11nnn编辑课件12limnnnuv0,收敛和 有相同的敛散性。(0),ll 收敛; ,发散发散; 注意：若lim0,nnnuv1nnv且发散，1nnu则不一定发散。定理定理3. .(比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv设两正项级数1nnu1nnu1

7、nnv1nnv1nnv1nnu本质：本质：比较两正项级数一般项作为无穷小量的阶编辑课件130lim) 1 (nnnvu由, 0对于,N ,时当Nn nnvu)(Nnvunn即由比较审敛法由比较审敛法, , 得证得证. .证明证明lvunnnlim)2(由, 02l对于,N,时当Nn 22llvullnn)(232Nnvluvlnnn即由比较审敛法由比较审敛法, 得证得证.nnnvulim)3(由0limnnnuv则有假设假设 收敛，收敛， 1nnu由（由（2 2）知）知 收敛，收敛， 1nnv与与 发散矛盾。发散矛盾。 1nnv故故 发散。发散。 1nnu编辑课件14的敛散性. 1limsin

8、nnn例例5. 判别级数11sinnn的敛散性 .解解: 1sinlim1nnn sin1nn11根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例例6. 判别级数1211lnnn解解:limn221ln1lim1nnn1由比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nn)1ln(21n21n2n211lnn,11sinnn 11nn且发散，发散，发散11sinnn正确吗？ 编辑课件15解：解：23lnnnun取例例7：判别级数判别级数 123lnnnn的收敛性。的收敛性。,145nvn又取收敛收敛且且nnnvu lim4541lnnnn 45411lnnnn 11451nnnnv则41lnlimn

9、nn 41lnlimxxx 414limxx 0 由比较判别法的极限形式知，由比较判别法的极限形式知， 1123lnnnnnnu收敛。收敛。编辑课件16limnnnuv0,收敛和 有相同的敛散性。(0),ll 收敛; ,发散发散; 1nnu1nnu1nnv1nnv1nnv1nnu(1)特别取,1pl0收敛nu则收敛，若limlim,nnnpnnn uulvlimlim0nnnnnnuulv (2)取1,nnv 则发散，若（或为+ ）发散1nnv11nnnu,1pnnv 1nnv11pnn编辑课件17 推论推论(极限审敛法) 设 为正项级数,(1)若 ，则级数 发散;1nnu1nnu)lim(0

10、limnnnnnulnu或1nnu)0(limllunnpn(2)如果p1，而 ，则级数 收敛.例如例如. 级数11(1cos) ,nnn1(1cos)nunn211()2nunn 当n 时，2212nn32limnnn u32221lim2nnnn2,2故所给级数收敛编辑课件18（1 1）使用比较审敛法（包括推论或极限形式），需选取一个适当的、收敛性为已知的级数作为比较对象。（2 2）常用的比较对象有：等比级数、P - 级数和调和级数。（3 3）比较对象的选取有时比较困难。说明：说明：编辑课件19nnnuu1lim由定理定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法)设 nu为正项级

11、数, 且,lim1nnnuu则(1) 当1(2) 当1证证: (1),1时当11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收敛 ,.收敛nu时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .,ZN知存在,时当Nn k)(由比较审敛法可知（3）当）当 = 1 时，时，不能用此法判定级数的敛散性。编辑课件20,1时或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此所以级数发散.Nn 当时nnuu11nuNu1lim1nnnuu说明说明: 当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如, , p 级数:11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但, 1p级数收敛 ;, 1p

12、级数发散 .从而(2) 当编辑课件21,232) 1(2nnnnnvu例,2) 1(211收敛级数nnnnnu,) 1(2(2) 1(211nnnnnauu但,61lim2nna,23lim12nna.limlim1不存在nnnnnauu注意注意:编辑课件22 比较判别法与比值判别法常结合使用例例8. 判定级数21cos32nnnn解：解：因为2cos32nnnnunn2 nv 1limnnnvv112lim2nnnnn1lim2nnn121 所以1nnv故211cos32nnnnnnu的收敛性收敛，收敛。 比值审敛法的优点：比值审敛法的优点：无须寻找比较对象，直接利用级数自身的一般项，因此使

13、用直观方便。编辑课件23例例9. 判定级数12)12(1nnn解：解： nnuu1)1(2)12(2)12( nnnn)11()12()12(nnn nnnuu1lim )11()12()12(limnnnn 1122 比值判别法失效，需改用其它方法来判别。比值判别法失效，需改用其它方法来判别。的收敛性。1(21) 2nunn编辑课件24例例9. 判定级数 12)12(1nnn,122nnn 由由于于212)12(1nnn 有有所所以以的收敛性。1,(21)2nunn解：解： 121nn而级数由比较判别法知 12)12(1nnn也是收敛的。是 p = 2 的 p 级数，是收敛的， 注意：当某个

14、判别法失效时，不要盲目下结论，此时要改用其它方法进一步判别。编辑课件25 limn例例10. 讨论级数)0(11xxnnn的敛散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理4可知:,10时当 x级数收敛 ;,1时当 x级数发散 ;.1发散级数nn,1时当 x编辑课件26 1nnu(2)当 1 (或为 ) 时，级数发散；(3)当 = 1 时,不能用此法判定级数的收敛性。 同比值审敛法一样，根值审敛法也有使用直观方便 的优点； 比值审敛法与根值审敛法均要求所用到的极限存在， 且不等于1。定理定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 1nnu为正项级,limnnnu则

15、;,1) 1(级数收敛时当 数, 且 根值审敛法适用于通项含有n次幂；编辑课件27例例11. 判定下列级数的收敛性。 12)1(2)1(nnn解：解：因为,2)1(2nnnu nnnu lim2) 1(2limnnn 所以由根值判别法知，级数收敛nnn13) 1(21 133lim01 nn由两边夹法则1) 1(2lim nnn21 12)1(2nnn编辑课件28 1)1(3)2(nnnnn解：解：因为,)1(3nnnnnu nnnu lim)1 (3limnnnn 所以根值判别法失效1 nnu limnnnnn)1 (3lim nnn)11 (1lim3 e3 0 所以所给级数发散。例例11

16、. 判定下列级数的收敛性。编辑课件29比值判别法与根值判别法的比较：比值判别法与根值判别法的比较：（1）适用对象）适用对象若一般项若一般项nu中含有因子中含有因子, !n则一般考虑用比值法，则一般考虑用比值法，若一般项若一般项nu中含有因子中含有因子,nn则一般考虑用根值法，则一般考虑用根值法，（2）适用范围）适用范围若用根值法失效，即若用根值法失效，即, 1lim nnnu则用比值法也则用比值法也一定失效，即此时必有一定失效，即此时必有, 1lim1 nnnuu反之不成立。反之不成立。（3）一般来说，比值法运算简单，根值法适用范围大。）一般来说，比值法运算简单，根值法适用范围大。编辑课件30

17、例例12：判定级数判定级数)0(!1 annannn解：因为解：因为, 0! nnnnnaunnnuu1lim 11) 1(! ) 1(lim nnnnna且含有因子且含有因子, !n!nannn 1) 1() 1(lim nnnnnnannnna)1(lim nnna)11 (1lim ea （1）当）当 0 a e ，时，时， 所给级数发散；所给级数发散；编辑课件31例例12：判定级数判定级数)0(!1 annannn解：因为解：因为, 0! nnnnnau且含有因子且含有因子, !nnnnuu1lim nnna)11 (1lim ea 的收敛性。的收敛性。（3）当）当 a = e ，时，时，nnuu1 nne)11 ( ,1 ,1nnuu , 0lim nnu所以所给级数发散。所以所给级数发散。)11 ( (enn 编辑课件32例例13. 证明0!lim nnnn证明：证明：nnnuu1lim 1) 1(! ) 1(lim nnnn考察级数!nnn 1) 1() 1(lim nnnnnnnnnn)1(lim nnn)11 (1lim 11 e所以所考察级数收敛；,!1 nnnn,!nnnnu 因此，nnu lim0