近五年高考数学数列压轴题解题方法研究

1、中文摘要本文对近五年高考理科数学数列压轴题的解题方法进行了研究，在数列通项公式方面 和数列不等式方面分别总结了几点解题方法。为了让读者能够更好地理解每一种方法，木 文在每一种方法后面都进行了说明，并且也给出了相应的例子。关键词 :数列压轴题，数列通项公式，数列不等式abstractkeywordsthis entrance examination for the past five years mathematical science series finale the theme of problem-solving methods have been studied, term formu

2、la in a few aspects of the column and several columns the respective inequality problem-solving method of summing up the following points. in order to give readers a better understending of each method, in this paper, each method are described later in both. and also gives the corresponding examples

3、: series finale title sequence by the formula, series inequality绪论数列作为中学数学的传统内容，无论是原教学大纲还是新课程标准中都是中学数学的 主干知识之一，在高考中占有非常重要的位置，是历年高考必考内容之一。数列题的题目 往往比较简洁，条件比较少，所以需要比较强的综合运用所学知识解决问题的能力。正因 为数列的这一特点，使得它越来越受到出题者的青睐，从而把它作为高考压轴题，用以拉 开考牛的成绩。这一点，我们可以从下表得到说明：数列压轴题的分布表2005 年福建卷湖北 卷山东 卷天津 卷浙江卷重庆卷江苏卷2006 年北京 理福建理江

4、苏 理江西 理全国1全国2山东理浙江 理2007 年广东 理重庆 理湖南 理江西 理全国1陕西 理安徽 理2008 年北京理福建理广东 理湖北 理全国1理陕西 理上海 理天津 理浙江 理重庆 理2009 年江苏安徽理北京理广东理湖南理江西理陕西理上海理四川理天津理重庆理从上表我们可以看到，数列作为压轴题在全国各省市的高考题中出现的比例越来越大, 因此，对高考数列压轴题的解题方法研究就显得很有必要的，既可以帮助学牛进行有针对 性的学习，少走弯路，也可以帮助教师进行有针对性的教学，提高教学效率。纵观近几年的关于高考数列的论文，不少人对高考数学数列压轴题的解题进行了研究, 也总结了不少的精妙的解题方

5、法。但大多数人都是针对某一道题、某一种解题方法或者某 一年高考题的研究，还没有人对近几年高考题进行过一次比较系统的方法总结，下面是笔 者结合近年各省理科高考题数列压轴题，在数列通项公式，数列不等式方面总结了一些解 题方法，希望对大家有所帮助。1.数列的通项公式近几年高考题虽然题目变来变去的，但涉及到求通项公式的问题，总是有一点方法可 以遵循的。1.1定义法此种方法是直接根据等差数列和等比数列的定义来求数列的通项公式，一般用来求比 较简单的题目。譬如，在压轴题第一问出现求数列通项公式时，次种方法往往适用。根据定义法来证明数列是等比数列时，一般是证明纽 =q工0或也=亘 h 0d必q加5-1例1

6、（2006年高考理科数学山东卷）已知q=2,点（a”,）在函数/（x） = %2 + 2%的图象上,其中斤=1,2,3,(1) 证明数列lg(l + e)是等比数列；(2) 设7； =(1 + 4)(1 + °2”(1 +色)，求7；及数列色的通项；1 1 ?(3) 记ba = 4,求数列仇的前项s”，并证明= icln an +23人 - 1证明:(1)本题要证明lg(l + g)是等比数列 根据定义，只要证明舉电= q,lg(l +爲)工0即可lg(l + q“)要证明学节)= q, lg(l + 色)h 0,即要证明 ig(l + %) = ig(l + any ,lg(l +

7、 讣 0 lg(l + q“)即要证明1 + g曲=(1 + %)",1 +色hl 由已知 an+l = a： + 2alt 得 an+x +1 = (an +1)2 又因为®=2,所以绚+1 = 3工1 所以lgd + 色)是等比数列(2) 略(3) 略根据定义法来证明数列是等差数列时，一般是证明仏u=d,d为常数或am+ clm = clm _ a,n-例2 ( 2005年高考数学江苏卷22 )设数列%的前项和为s”，已知cz| 1,= 6, cz3 =11, 一(5n - 8)s”+| (5 + 2)sn =+= 1,2,3,，其中 a. b 为常数.求a与b的值;证

8、明：数列绻为等差数列；证明：不等式应血兀1对任何正整数加曲都成立. 解：(l)a = -20,b = -8 (过程略)由(i）得（5“ 一 8）s曲一 （5 + 2）s = -20n 一 8所以（5“ 一 3）s* -（5h + 7）st = -20n 一 28-得（5n- 3）s“+2 （10“ - 1）s 曲 + （5/2 + 2）s =-20 所以（5n + 2）s“+3 一（10m + 9）s“+2 + （5n + 7）sn+i= -20 -得(5h + 2)s“+3 (15n + 6)s”+2 +(15n + 6)s 曲(5h + 2)s” =0.因为 昭产s-s所以（5 + 2）g

9、“+3 -（10/? + 4）g“+2 + （5h + 7）d“+ = 0因为（5 + 2）工0所以 d“+3 一 2d“+2 + g“+i = 0所以 色+3 一 +2 =色+2 一色+1 ，心1又a3-a2 = a2-a =5所以数列s”为等差数列.答案略这道题在解题过程稍微复杂，但思路是根据等差数列的定义勺+3 -昭2 =粘2 -昭斤21证得是等差数列。由于定义法比较简单，07年之后便少有出现在压轴题里面，但在非压轴题里这种方法 还是常常被用到。1. 2数学归纳法有时候，我们无法根据定义来证明一个数列是等差或等比数列也无法根据义把数列通 项公式求出来，这时，利用数学归纳法，能起到化难为简

10、的功效。数学归纳法的解题步骤 分为以下两步：第一步：证明n取最小正整数时，等式成立，第二步：假设n二k（k大于能取得的最小正整数）时等式成立，然后证明n=k+l时等式也 成立。第三步：由第一、第二步的结论我们就可以下结论说，等号对一切满足条件的n都成例3 （2005年高考理科数学浙江卷20）设点a”（兀，0）,巳（益,2心）和抛物线cj y= /+m+4,（77wn*）,其中為=24/7士, £由以下方法得到：力=1,点2（禺，2）在抛物线g：尸上，点川（不，0）到2的距离是川到g 上点的最短距离，点即（£+“2"）在抛物线cj y=/+為x+玄上，点九（

11、3;, 0）到£屮的距离是a”到c”上点的最短距离.（i）求禺及6；的方程（ii）证明%是等差数列.解：（i ） y = f7兀+ 14 （过程略）（ii）设点p（兀,y）是c”上任意一点,则i af 1= j（兀b = j（兀一£+（兀2+陽兀+亿）22 / o °令g （兀） = （ £）+（厂+陽兀+仇）则&©） = 2（兀一兀“）+ 2（兀2 +色兀+亿）（2兀+色）由题意得g+j = o即 2（兀曲-兀）+ 2（£+； + 陽兀+bn）（2xn+i + aj = 0又丁 2"=亡+色杠+妇（兀曲一 e） +

12、 2" （2兀曲 +） = o（h>1）,即（1 + 丹）和-£+2 乜=0（*）通过观察，我们发现=2h-1时，上式等号成立，于是，下面用数学归纳法证明=2h-1确实所要求的等差数列第一步：证明n取最小正整数时等号成立，在此题中，n可以取一切正整数，因此先证明n二1时等号是否成立。当刃=1时，西=1,等式成立;第二步：假设当n = k （k>l）时，等式成立，即xk=2k-lf下证明n二k+1时等式也成当= £ +1时，由c)知(1 + 2宀)母+厂无+ 2* % = 0 ,又畋=-2-4£-y，即72二£ + 1时，等式成立.第

13、三步：由第一、第二步知，等式对nen"成立,故石是等差数列.例4 (2007年高考理科数学江西卷22)设正整数数列色满足：色=4,且对于任有2 +n z? +1<2 +丄(1) 求 a】,a3 ；(2) 求数列a”的通项an解：(1) a】=1, a3 =9 (过程略)(2) 由a】=1, a, =4,他=9,猜想：cin n2.下面用数学归纳法证明.1°当/? = 1 , 2时,由(1)知an = n2均成立;2"假设 n = kk 2)成立，则 ak = k2,贝ijn = k + l 时由得2 + ak+<£伙 + 1)1ak+<

14、2 +1(k +1)£伙“ + £ 1)=k2-k + l <% v 口伙+<% <伙 + 1尸因为山2时，伙2+1)伙+ )伙+ 1)伙 2)20,2所以罕lw(o,i£iai,所以丄w(o,i又芒丨，£ 1 +1k 1所以伙 +1) w cik+x w (p +1)2 故 c+=伙 +1)2,即斤=r +1 时，cin =力成由 1°, 2° 知，对任意 mg n*, an = n2.数学归纳法虽然比较好用，但我们要先观察分析题目给出的条件，根据条件进行合理 的猜测，然后再用数学归纳法来证明自己的猜测。数学归纳法

15、在08, 09年也得到了广泛 的应用，有兴趣的东西可以去看看。13等比差数列法等比差数列在高中课木里没专门介绍，但在高考压轴题中常常会遇到，等比差数列有两 个特点：1、如果把非数列项去掉的话，数列就变成了等比数列；2、如果把式子中所有数 列项的系数都改成1的话，数列就变成了等差数列。我们可以根据这两个特点来判断一个 数列是不是等比差数列。常见的等比差数列有以下两种类型：1.3.1(p、q为常数)的形式。求此种等比差数列的通项公式时，我们可以按照以下的方法来求解： an+i = pan + q设存在一个数k,使得an+ + k = p(an + k),下求k和p、q的关系由 an+l +上=p(

16、an + k)得 an+i = pan + pk k ,所以 p 二卩-1因此。曲+ 丄二(色+ 丄)，这是以p为公比，山+丄为通项的等比数列，p-1p-1p-1根据等比数列的相关知识，可以求出色+丄的通项公式，进而求出的通项公p_1式。因此求此种等比差数列的通项公式时，通常是把等比差数列转化成 弘p = p的形式, an + m然后根据等比数列的相关知识，把数列的通项公式求解出来。例5 (06年高考理科数学福建卷22)已知数列匕满足f/,=l,+1=2 + l(/7g n、.(i)求数列色的通项公式；(ii)证明：2 丄 鱼+ + +竺2 3 a? 色a 卄i 2解：(i).匕+严2色+1(

17、心m),数列为等比差数列设 an+i + k = 2(% + k) 9 解得 k=lan+i +1 = 2(a “ +1),曲+1是以坷+1 = 2为首项，2为公比的等比数列。% +1 = 2".即 an=22-kne n、(ii)略有时候，题fi不是直接给出= pan + q的形式，而是给出了别的能够转化成 %严pan + q形式的题口，这是我们就先转化成严pan +q的形式，然后再利用上述的方法来求解。例6 (2008年高考理科数学陕西卷22题)已知数列%的首项6/1=-, 0曲=丄 52an +1n = l2r .(i)求色的通项公式;ii ( ?n = 12 ；(ii) 证明

18、：对任意的兀>0, a&-%"1 + 兀(l + x)3n一h2(iii) 证明： 绚+。2 >解:h + 1 °曲12 1=i a 曲3 31色+1又丄-1是以討首项,+为公比的等比数列.an =”3" + 23"(ii) 略(iii) 略同种类型的题目也见于2007年的高考理科数学全国1卷中。132陥严“+/何(p是常数)的形式。此种类型的等比差数列比第一种类型复杂了点，但解题方法没变，仍是想方设法把=皿+/何转化成岳+/(小)* (p是勺 + /(«)常数)的形式，再利用等比数列的相关知识来求解例7(2006年高考理科

19、数学诠国1卷)设数列&的前n项的和s?i=-67?-x2n+14-,n=l, 2, 3(i) 求首项坷与通项;(ii) 设t严一,n=l,2,3证明：£刁2s”/=!2412412解：(i )由 stl=an-x2n，1+, n=l,2, 3, -, 得 &二-a-x4+-所以弘二2.412再由有 sn-i=an_i-x2n-, n=2, 3, 4,41将和相减得：an=snsn-l= (anan-i) x (2,+1 2'), n=2, 3,整理得：a;1+2m(an-1+2n_l),n=2, 3,因而数列务+丫是首项为al+2二4,公比为4的等比数列,即：

20、an+2mx4n-,= 4n, n二 1,2, 3,，因而色二4"2", n=l, 2, 3,，(ii)略1. 4由递推公式求出数列通项公式很多时候，试题为了增加难度，只是给出一个看似毫无规律的递推公式，让我们从递 推公式屮找出数列的通项公式。遇到这种题目，我们一般的解题方法是：或者利用 色=»7心把问题转化，或者是把问题转化成色与d心的关系，又或者把问题转化成 丄与丄的关系an an-例8 （2007年高考理科数学陕西卷22）已知各项全不为零的数列加的前斤项和为 且 s k= cik ak+l （k g n*）,其屮日i=l.（i）求数列切的通项公式；（1【）对

21、任意给定的正整数/7（/72）,数列切满足如1=匕（扫1,2,，s 色+zrl），方|二1.求厶+仅+加解：（i ）当 k = i 9 由 q = s =aa2 及马=1,得 a2 = 2 ,当 k22 时，由 ak = sk - sk_ = + akam - ak_ak,得 ak （%】一 ak_） = 2ak 因为a严0,所以如一 =2从而 °2川-1 = 1 +（m 一 1）=2 = 2m-1 a2m =2 + （m 一 1）d2 = 2m , m g n故兔=k（k w n j（ii）略在这道题当屮，题fl只是给出了 £=斗°4如伙wn*）这个递推关系式，

22、于是，我们可以 利用 = sk - sk_把问题转化成ak（ak+i -ak_） = 2ak,最后得到答案ak =k（k n*）这样，我 们就吧一个看似陌牛的问题转化成我们熟悉的问题来解答。例9 （2009年高考理科数学江西卷）各项均为正数的数列，听叫",且对5 +色 二 伤+勺满足m + n = p + q的正整数m,n, p,q都有（1 + %）（1 +色）（1 +勺）（1 +勺）14（1）当a = /? = h寸，求通项。25（2）证明：对任意。，存在与。有关的常数乂，使得对于每个正整数，都有/t解：（1）由一如丈也一=勺旦一得（1+0加）（1+勺）（1+竹）（1+岛）e +色

23、 二 色+色-1（1 + ）（1 + © ）（1 + 勺）（1 + an-）将a =丄，h =代入化简得an -125an_x + 2所以匕二丄上仏1 + ©3 1 + 仏1 n1 n12" 1故数列4为等比数列，从而l二丄即严 一-1 + g”1 + an 3"” 3"+13" -1可验证，陽=满足题设条件.3" +1在这道当中，题目只是给出了 一如上也一=勺旦一这个递推公式，通过变换, （1 +）（1 + ）（1 + ）（1 + a,我们可以把问题转化成色二竺4,这时候，再用上面的递推结构法便能很好的得到了答% + 2利

24、用递推公式来求解通项公式的方法要求考生要有比较强的推理能力，因此近两年也 比较受出题者的喜爱。当然，处理上述几种方法可求得数列通项公式外，还有一个不常用 的方法偶尔也在试卷中出现，这里不一一介绍了。2. 数列不等式从这五年的高考题来看，凡是涉及到数列不等式的问题，大部分是以证明题的形式出 现。要验证这些证明题，高考中往往用到了下面几种方法：2.1数学归纳法这种方法在高考中出现的频率很高，从2006年到2009年，很多涉及到不等式的证明 题都可以用数学归纳法来证明。考生只要严格按照数学归纳法的三个步骤，进行严谨地运 算，便能很好地得到了答案。例10（ 2005年高考数学重庆卷22数列）&

25、满足终=1且色汁】=（1 + -n +黑1）” + n 2（i）用数学归纳法证明：> 2（h > 2）；（ii ）已知不等式ln（l + x） < xx > 0成立，证明:an < e2（n > 1）,其中无理数e=2. 71828-.解：(i )证明：(1)当n二2时，=2>2,不等式成立.(2)假设当n = k伙2)时不等式成立，即 心 2(2 2),那么严(1+-也+厶2这就是说，当n = k + l时不等式成立k(k + 1)2根据(1)、(2)可知：>2对所有n>2成立.(ii)略2. 2分析法所谓分析法，就是先假设结论成立，由此

26、出发，利用不等式的有关性质，推出已知条件或绝对不等式，然后再倒推回去得出结论。例11 ( 2005年高考数学江苏卷23)设数列的前n项和为s”，已知% =1,色=6,色=11，且(5n-8)5rt+1-(5n + 2)5n 二 an + by = 1,2,3,，其中 a. b 为常数.求a与b的值；证明：数列%为等差数列；证明：不等式伍打-虫瓦>1对任何正整数加曲都成立.解：(l)a = 2o,b = -8略要证明应佝瓦>1对任何正整数叭n都成立，由分析法知，要证辰打一佝瓦>1只要证 5% > 1 + amatl + 2血玄7，由(2)可知,an = 14- 5(h -

27、1) = 5/2 - 4 ,所以amn = 5 m/? - 4 ,amatl = (5/72 - 4)(5/? -4) = 25mn - 20(加 + 斤)+16 ,故只要证5(5mn - 4) > 1 + 25沏- 20(加+ )+16 + 2 ja禺“,即要证明20m + 20/? -37 > 2aman2yamafl < am + a fl = 5m + 5n - 8 < 5ah 4- 5n - 8 4- (15m +15n - 29) = 20m + 20a? - 37 所以结论 成立。用分析法证明不等式时，一定要注意推理过程必须是可逆的。否则推理过程不一定成2

28、. 3反证法反证法也是证明数列不等式的重要方法，它是在假设结论不成立的条件下，通过正确 的逻辑推理，推出与已知条件或与已知的正确结论相矛盾的结果，从而说明假设不对，故 应肯定原结论成立。例12 (2009年高考理科数学重庆卷21)设加个不全相等的正数5s,(心)依 次围成一个圆圈.(i )若772 = 2009,且 吗卫2,，°1005是公差为的等差数列，而 坷，“2009,02008,，°1006是公比为q = d的等比数列；数列,°2，。3,，佥的前项和sn(n< m)满足：s3 = 15,520()9 = *s2(m)7 +12q ,求通项 <m

29、)；(ii )若每个数atj(n<m)是其左右相邻两数平方的等比屮项，求证：a】+ + + a： > nici2dm解:3/?-1,/?<1005ci n 2*32(k)9-1006<a?<2009(过程略)?92 /ix09922(ii)由题意二血，；+1(1 v 川 vwl = uma2 得色=色_心“+1(1<川<加)，“ =仏 4a ama2、由待=，勺二 '% ®1a.a5 一' a6 -a2a2由,得加2色二勺。),故= l又匕+3 =仏=纽丄=丄（15厂5加一3）,故有色+icir ar+l ara+6= = a

30、r（ < r < m - 6）. ®£+3下面反证法证明：m = 6k 若不然，设加= 6k + ”，其中1 < /? <5若取p = l即m = 6z: +1 ,则由得。皿=%+1=。1，而由得=，故aa= ,a2a2得 62 = 1 由得，从而。6 =。6火+1 =而。6 二 '故。=d°=lgia2由及可推得匕=1 （1ss加）与题设矛盾，同理若p二2, 3, 4, 5均可得鑫=1 （1g圧加）与题设矛盾，因此m = 6k为6的倍数由均值不等式得6f| + 禺 + 如 + + 心（ ） + （禺 ） + （-h）n 6一q 一

31、 a2 a a2由上面三组数内必有一组不相等（否则a=a2=a3=,从而偽二他=仏=1与题设矛盾），故等号不成立，从而 +冬+。3 +。6 > 6乂 m = 6k ,由和得+ =（cz72 + + 如2） + （gq_5 + + £） =伙 一1）（0； + + &） =伙l）（6f| h + a： + a； ） 2 6（ 1）叭a2a3因此由得2 24 +a? +。6 + +。 6 + 6（r -1） = 6/c = m = maa2a3 -am2. 4放缩法在不等式的证明中，常常用舍掉一些正（负）项，或在分式中放大（或缩小）分母或分子，最终达到证明不等式的目的，这种

32、证明方法，通常成为放缩法。常用的放缩法关系式有（n为自然数）：/72 < n(n +1) v (川 +1)，或丄1>1； 2眉 <+ 1 + 4n. < 2+1 或n2 /?(/? +1) (n + l)2r= >/r= > /； h < j+ 1) < (刃+1)或一> j= > ； 2yln vh +1 + vn+1斤 j/7(/7 + l) " + 12n-* < nl< nn 或丄 n-!-。2心,2! nn例13 (2009年高考理科数学广东卷21)已知曲线cn:x2-2/u+y2=0(n = l,2,

33、.)从点p(-1,o)向曲线c“引斜率为心(心0)的切线/，切点为(1)求数列暫与儿的通项公式;(2)证明:解：(1)兀二厶，儿*(兀+1)="如71 (过程略)+1n+1(2)证明:2:_,2 42n v3 52/2 + 1 v 2/7 + 1由于玉=匚匸=上玉，可令函数/(x) = x-v2sinx, 儿2/7+1屮+心则 f m = 1-v2cosx,令 f (x) = 0 ,得cos兀二返给定区间(0,),则有 f (x) < 024则函数/(力在(0,兰)上单调递减，4/. /(x) < /(0) = 0 ,即x v佢sin兀在(0,兰)恒成立，又。<£户書v一般地说，证明 bn时如果从色出发，就用缩小法，如果从仇岀发，则用放大法， 不论用放大法还是用缩小法，其目的一是把数列放大或缩小成等比数列或等差数列，二是 放大或缩小后通过合并化成简单的式子。木例利用放大法把式子合并化成简单式子同种类 型的题目在2006年高考数学福建卷和江西卷也有出现，有兴趣的朋友也可以去看看。小结木文对近五年高考理科数学数列压轴题的解题方法进行了研究。在数列通项公式方面, 得到了以下四点常见的解题方法：1. 1