2022年“任意”和“存在”在不等式含参问题中的差异

1、学习必备欢迎下载“任意”和“存在”在不等式含参问题中的差异在高三一轮复习中，我们经常接触到一些含有“任意”或“存在”字眼的不等式含参问题，这是复习中的难点，确是高考的热点，20xx年新课标全国高考文科21 题第二问就是一道涉及“任意”字眼的不等式含参问题。结合高三一轮复习，我发现这两个字眼在不等式含参问题中存在着戏剧性的差异，现做些简单分析。一、 “任意”在不等式含参问题中的解法。王员外家有四个千金，想招一个年龄比四个女儿都 大的女婿， 那么王员外在年龄上应遵循什么呢？答案很显然，这个女婿只需比他的大女儿的岁数大即可。从这个浅显的例子我们可以抽象出这样一个常识： “比最大值大， 则比其它值均大

2、， 比最小值小， 则比其它值均小。 ”现实生活中，这样的逻辑常识比较常见，如，要比213 班全班学生都高，只需比全班最高的那个高； 要比全班学生都矮，只需比最矮的那个矮。我在个人的教学实践中发现这个常识在解含 “任意”字眼的不等式含参问题中有着比较重要的作用，现举例说明它的重要性，同时也鼓励广大同学留意类似的生活常识，学着将其应用于数学难题的思考中，有时可以做到事半功倍。例 1：求使不等式axx34对任意rx恒成立的a的取值范围？解析：令43yxx=-要使axx34对一切rx只需maxya法 1：由43yxx=-的图像可求得max1y=1a法 2：由不等式的重要性质bababa知1)3()4(

3、34xxxxmax1y=1a注：要使一个参数要比一个式子大恒成立，只须比这个式子的最大值还要大即可。例 2： 设实数,x y满足1) 1(22yx， 当0dyx恒成立时，求d的取值范围？解析：当0dyx恒成立，即)(yxd恒成立，只须)(yxd的最小值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载即可，故而将问题转化为求()xy-+的最

4、值。解：设1sin,cos,sin1,cosyxyx（三角换元，也可以认为是将圆的方程改写为参数方程）则：1)4sin(21)cos(sin21)cos(sin)(yxd而2)4sin(222)4sin(22121)4sin(212121)4sin(2的最小值为，即)(yx的最小值为12。要使)(yxd恒成立，只须d12注：要使一个参数要比一个式子小恒成立，只须比这个式子的最小值还要小。二、 “存在”字眼在不等式含参问题中的解法。若王员外的择婿条件变成找一个比其中一个女儿的年龄大的女婿的话，那年龄的要求只需比最小女儿的年龄大。这一常识可以应用于解含“存在”字眼的不等式含参问题。例 1（引） ：

5、求存在rx使不等式axx34成立时的a的取值范围？解析：令43yxx=-存在rx使axx34只需minya由43yxx=-的图像可求得-7miny-7a注：字眼从“任意”变到“存在”，结果就从maxya变为minya，真是戏剧性的转变呀。例 2（引）、设存在实数, x y满足1)1(22yx，使0dyx成立，求d的取值范围？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - -

6、- - - - -学习必备欢迎下载解析：存在实数, x y使0dyx成立，即)(yxd成立，只须)(yxd的最大值即可，故而将问题转化为求()xy-+的最值。解：设1sin,cos,sin1,cosyxyx（三角换元，也可以认为是将圆的方程改写为参数方程）则：1)4sin(21)cos(sin21)cos(sin)(yxd而2)4sin(222)4sin(22121)4sin(212121)4sin(2的最大值为，即)(yx的最大值为12。存在实数,x y使0dyx成立，只须d12注：字眼从“任意”变到“存在”，结果就从mindy变为m axyd，真是戏剧性的转变呀。三、典例分析通过以上的例子

7、大家对含“任意” 或“存在” 字眼的不等式含参问题的解法已有了认识，下面一起来解决20xx年新课标全国卷（文）21 题例 3、2012课标全国卷21 设函数f(x)exax 2. (1) 求f(x) 的单调区间；(2) 若a1，k为整数，且当x0时， (xk)f(x) x10，求k的最大值解： (1)f(x) 的定义域为 ( ， ) ，f(x) exa. 若a0，则f(x)0 ，所以f(x)在 ( ， ) 单调递增若a0，则当x( ， lna) 时，f(x)0 ，所以，f(x) 在 (， lna) 单调递减，在(lna， ) 单调递增(2) 由于a 1，所以 (xk)f(x)x1(xk)(ex

8、1) x1. 故当x0 时， (xk)f(x) x10 等价于精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载k0)（注： k 小于一个式子对任意大于0 的 x 恒成立只需比它的最小值小）令g(x) x1ex 1x，所以ming(x)k而g(x) xex1x21exxxx2. 由(1) 知，函数h(x) exx 2在(0 ， ) 单调递增

9、而h(1)0 ，所以h(x)在(0 ， ) 存在唯一的零点故g(x) 在(0 ， ) 存在唯一的零点设此零点为，则(1,2) 当x(0 ，) 时，g(x)0. 所以g(x) 在 (0 ，)的最小值为g( ) 又由g() 0，可得 e2，所以g( ) 1 (2,3) 由于式等价于kg( ) ，2k故整数k的最大值为2. 例 4、已知3-xg(x)2xlnx,f(x)2ax（1）求函数)(xf的最小值；（2）若存在), 0(x，使)()(xgxf成立，求实数a的取值范围。解析： （ 1）)(xf的定义域为),0(，)1(ln2)(fxx令0)(fx得e1xx)e1(0,e1),e1()(fx_ 0

10、 + f(x) 极小值e2-只有一个极小值点，也就是最小值点，所以，)1(f(x)minefe2-（ 2 ） 存 在),0(x， 使)()(xgxf成 立 ， 即 存 在), 0(x使3-x2xlnx2ax成立。也就是存在),0(x使x3x2lnxa成立，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载只需min)x3x2lnx(a记),

11、0(,x3x2lnxh(x)x0)1)(3(31x2(x)22xxxxh得舍）(3, 1 xxx)(0,11 ),(1)(hx_ 0 + h(x) 极小值4所以，4)1(h(x)minf，所以4a例 5、设f(x) axxln x，g(x) x3x23. (1) 当a 2 时，求曲线yf(x) 在x1 处的切线方程；(2) 如果存在x1，x20,2 使得g(x1) g(x2) m成立， 求满足上述条件的最大整数m；(3) 如果对任意的s，t12，2 都有f(s) g(t) 成立，求实数a的取值范围 . 解： （1）当a2 时，f(x) x2xln x，, 1lnx2(x)f2x1) 1(,2f

12、(1)f故)1(2xy所以曲线在1x处的切线方程为03-yx（ 2 ） 存 在x1，x20,2使 得g(x1)g(x2) m成 立 ， 等 价 于minmaxmax21)()()()g(xmxgxgxgg(x) x3x23，)32(323(x)g2xxxxx0 )32(0,32)2,32(2 )(gx_ 0 + g(x) -3 极( 最) 小值2785-1 所以，minmaxmax21)()()()g(xmxgxgxg=1- （2785-）=27112所以满足条件的最大整数m=4 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 -

13、 - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（3）对 任 意 的,2,21ts,都 有f(s) g(t) 成 立 ， 等 价 于 在 区 间2,21上maxmin)()(fxgx，由（ 2）知，在区间2,21上，1)2()(maxgxg所以，1)(fminx，又因为1,)1 (faa下证明1a时，在区间2,21上1)(f x当1a且 2,21x时，f(x) axxln xxx lnx1记0)1 (, 1ln1)(,x1xlnxh(x)2hxxxh当1 ,21x时，01ln1)(2xxxh，当2,1x时，01ln1)(2xxxh所以x1xlnxh(x)在)1 ,21上递减，在2,(1上递增1)1()(hminhx，1)(h x，所以1)(f x，1)(fminx所以1a从以上几个例子，大家发现灵活的处理好“任意”和“存在”在不等式含参问题中的戏剧性作用， 大家可从生活中留意类似的常识，尝试将他们用于数学问题的思考与解决中，有时难题可以迎刃而解，知识点的参悟也可