高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理课件4 新人教B版选修2-2

1、 微积分基本定理微积分基本定理公元公元3 3世纪诞生的刘徽著名的世纪诞生的刘徽著名的“割圆术割圆术”： 定积分的定义定积分的定义：1、定义法、定义法100)(lim)(niiibaxfdxxf复习回顾ox yab yf (x) 由连续曲线由连续曲线y=f(x) ( (f(x) 0) 0) ，直线，直线x=a、x=b及及x轴轴 所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积. .()bafx dxs2、几何意义、几何意义复习回顾0:sin_xdx思考有没有更好有没有更好的方法求定的方法求定积分？积分？ 如果总是用定义来求定积分，那将非常麻烦，有如果总是用定义来求定积分，那将非常麻烦，有时甚至无法计

2、算。而求导数比求定积分容易得多。时甚至无法计算。而求导数比求定积分容易得多。17世纪，牛顿和莱布尼茨找到两者之间的关系。世纪，牛顿和莱布尼茨找到两者之间的关系。我们还是从爬山说起。我们还是从爬山说起。如图，把地平面取如图，把地平面取作横坐标轴，作横坐标轴，y=f(x)是爬山路线，并假是爬山路线，并假定曲线定曲线y=f(x)与与x轴轴在同一平面内，在同一平面内，a是是出发点出发点,点点b为山顶。为山顶。y=f(x)hxk+1xkoyxhebaba课堂探究 在爬山路线的每一点在爬山路线的每一点(x，f(x)，山坡的斜率为，山坡的斜率为f (x)。将区间将区间a，bn等分，记等分，记x=ban 我们

3、来分析每一小段所爬高度与这一小段所在直线我们来分析每一小段所爬高度与这一小段所在直线的斜率的关系。的斜率的关系。 x h k x k +1 x k h f g e不妨以不妨以xk，xk+1为例，为例，ef是曲线过点是曲线过点e的切线，其斜的切线，其斜率为率为f (xi),于是于是gf=f (xk)x。在此段所爬。在此段所爬高度高度hk为为gh，gh=f(xk+1)f(xk)。当。当x很小时很小时(即即n很很大大)hk=ghgf. 课堂探究即即f(xk+1)f(xk)f (xk)x. 这样，我们得到了一系列近似等式：这样，我们得到了一系列近似等式：h1=f(a+x)f(a) f (a)x，h2=

4、f(a+2x)f(a+x)f(a+x)x,h3=f(a+3x)f(a+2x)f(a+2x)x,hn1=fa+(n1)x(a+(n2)x) f a+(n2)xx，hn=f(b)fa+(n1)x) f a+(n1)xx，课堂探究 将上列将上列n个近似等式相加，得到从个近似等式相加，得到从a到到b所爬的总高度所爬的总高度 h=h1+h2+hn=f(b)f(a)10()nif ai xx 由定积分定义可知：当由定积分定义可知：当x0时，时， 10()( )nbaif ai xxf x dx 这一公式告诉我们：这一公式告诉我们：f (x)从从a到到b的积的积分等于分等于f(x)在两端点的取值之差在两端点

5、的取值之差 课堂探究微积分基本定理微积分基本定理 如果如果f (x)=f(x)，且，且f(x)在在a，b上可积，则上可积，则 ( )( )( )baf x dxf bf a其中其中f(x)叫做叫做f(x)的一个的一个原函数原函数。 一般地，原函数在一般地，原函数在a，b上的改变量上的改变量f(b)f(a)简记简记作作f(x) ，因此，因此微积分基本定理微积分基本定理可以写成形式：可以写成形式：ba( )( )( )( )bbaaf x dxf xf bf a牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式解题的关健是解题的关健是什么什么?求导数与定积分是互为逆运算求导数与定积分是互为逆运算课堂新知课堂新知1n

6、nx 1x1lnxacos xsin x lnxaaxe0函数f(x) 导函数 f(x) 回顾：基本初等函数的导数公式回顾：基本初等函数的导数公式nxsin xcos xxexaclogaxln x被积函数f(x)一个原函数f(x)新知：基本初等函数的原函数公式新知：基本初等函数的原函数公式cx111nxn cos x sin xlnxaaxecnxsin xcos xxaxe1xln|x例例1 计算：（计算：（1） ； （2）411dxx220(1)xdx解：（解：（1）因为）因为1(2)xx所以所以 411dxx2 42 12（2）因为）因为 32()13xxx所以所以 220(1)xdx

7、320142()4333xx 2022sin5dxx 0sin4xdx211)3(dxx24)6(dxex课堂练习课堂练习例例2.求曲边图形面积求曲边图形面积 (1)求求y=sinx在在0,上阴影部分的面积上阴影部分的面积s.(2)求曲线求曲线y=sinx与与x轴在区间轴在区间0，2上所上所围成阴影部分的面积围成阴影部分的面积s。定积分和曲边图形面积的关系定积分和曲边图形面积的关系课堂互动课堂互动 1.1.微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效办法供了计算定积分的一种有效办法. . 2.2.寻找满足寻找满足 f (x)=f(x) 的函数的函数f f( (x) )，一般运用基本，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出求出f f( (x) ). .课堂收获课堂收获 3.求曲边图形面积是将积分区间进行细化区间段，求曲边图形