大学高等数学第五章1多元函数微积分ppt课件

1、多 元 函 数 微 积 分 空间解析几何简介空间解析几何简介 二元函数的概念二元函数的概念偏导数和全微分偏导数和全微分 第五章第五章多元复合函数与隐函数的微分法多元复合函数与隐函数的微分法 多元函数的极值多元函数的极值 二重积分二重积分 二元函数的概念二元函数的概念几个概念：邻域、内点、边境点、边境。几个概念：邻域、内点、边境点、边境。 邻域：平面点集邻域：平面点集 称为点称为点P0 (x0 , y0) 的的邻域，记做邻域，记做 U(P0 ，)。2200( , )()()x yxxyy内点：设点内点：设点P是平面点集是平面点集E上的点，假设存在点上的点，假设存在点P的某一邻域的某一邻域U(P)

2、 使得使得U(P) E,那么称那么称P为为E的内点。的内点。边境点：设有平面点集边境点：设有平面点集E，假设点，假设点P的恣意邻域的恣意邻域U(P)，都有属于，都有属于 E中的点，也有不属于中的点，也有不属于E的点，那么称的点，那么称P为为E的边境点。的边境点。边境：点集边境：点集E的边境点构成的集合，称为点集的边境点构成的集合，称为点集E的边境。的边境。边境点边境点U(P0 ，)边境边境 P0内点内点 E 开集：假设点集开集：假设点集E中的点都是内点，那么称点集中的点都是内点，那么称点集E为开集。为开集。 连通集：假设点集连通集：假设点集E中的恣意两点，中的恣意两点， 都可以用完全属于都可以

3、用完全属于E中的折中的折 线段将它们衔接起来，那么线段将它们衔接起来，那么 称称E为连通集。为连通集。区域：连通的开集称为开区域，简称区域。区域：连通的开集称为开区域，简称区域。闭区域：区域连同它的边境，称为闭区域。闭区域：区域连同它的边境，称为闭区域。 二元函数的概念二元函数的概念 几个概念：开集、连通集、区域、闭区域。几个概念：开集、连通集、区域、闭区域。 例如：点集例如：点集 即为一开集。即为一开集。 22( , )1Ex y xy例如：点集例如：点集 即为区域。即为区域。 22( , )1Ex y xy例如：点集例如：点集 即为闭区域。即为闭区域。 22( , )1Ex y xy连通连

4、通 不连通不连通 二元函数的概念二元函数的概念定义：设定义：设D是平面上的非空点集，假设存在一个对应法那么是平面上的非空点集，假设存在一个对应法那么 f，使，使得对集合得对集合D中的每一个点中的每一个点(x , y)，按法那么，按法那么 f，都有独一确定的实数，都有独一确定的实数值值 z 与之对应，那么称此对应法那么与之对应，那么称此对应法那么 f 为集合为集合D上的二元函数，记上的二元函数，记为：为： f ：(x, y) z 或或 z=f (x , y)，(x , y) D称称 x , y 为函数为函数 f 的自变量，的自变量，z 为函数为函数 f 的因变量；集合的因变量；集合D为函数为函数

5、f 的定义域，记作的定义域，记作 D ( f ) 或或 Df。( , ) ( , )zf x yx yD称实数集称实数集 为函数为函数 f 的值域。的值域。商定：函数商定：函数 z=f (x , y) 的定义域商定为使得式子有意义的一切的定义域商定为使得式子有意义的一切的实数对的实数对x , y。例如：函数例如：函数 的定义域为的定义域为lnzxy,0Dx y xy它表示如右图所示的无界区域。它表示如右图所示的无界区域。 二元函数的图像二元函数的图像 空间点集空间点集 称为函数称为函数 的图像。的图像。( , , )( , ) , ( , )x y z zf x yx yD( , )zf x

6、y它表示空间曲面。它表示空间曲面。 :, ,0F x y zzxy一元函数与二元函数的比较一元函数与二元函数的比较一元函数一元函数 二元函数二元函数 定义域定义域 数轴上的区间数轴上的区间 平面中的区域平面中的区域 图像图像 平面中的曲线平面中的曲线 空间中的曲面空间中的曲面 极限极限 单极限单极限 二重极限二重极限 微分学微分学 导数与微分导数与微分 偏导数与全微分偏导数与全微分 积分学积分学 定积分定积分 二重积分二重积分 二元函数的极限二元函数的极限 定义：设二元函数定义：设二元函数 z=f (x , y)在点在点 P0(x0 ,y0)的邻域内有定义的邻域内有定义点点P0可以除外，假设当

7、点可以除外，假设当点 P (x , y)无论以何种方式趋向于点无论以何种方式趋向于点P0(x0,y0)时，函数值时，函数值 f (x , y)可以无限逼近常数可以无限逼近常数A，那么称，那么称A为函数为函数 f (x ,y) 在在PP0时的极限，记作时的极限，记作00lim( , )xxyyf x yA( , )(,)lim( , )oox yxyf x yA或或 或或 0( , ) ()f x yAPP当时二重极限二重极限 00,P xyxyz 二元函数的极限计算二元函数的极限计算计算以下极限计算以下极限 sin2limxyyxy0 24323lim 12xyxyy12232lim12xyy

8、xyy34e 222200ln 14limxyxyx y222200limxyxyx y220011limxyyx 220221lim2xyx yxxyx2021lim12xyxxyx0ln 1lim1uuu等价无穷等价无穷小的交换小的交换计算以下极限计算以下极限 223600sin5limxyxyxyx y230sinlimzzzzxyz201 coslim3zzz0sin1lim66zzz00,P xy换元时换元时 与与 不能相互制约不能相互制约xy由于二重极限值不受由于二重极限值不受动点趋向于定点的方式动点趋向于定点的方式的影响！的影响！ 二元函数的极限计算二元函数的极限计算 006li

9、mxyxyxy00,P xy换元时换元时 与与 不能相互制约不能相互制约xy2xy现实上，设现实上，设1xkyk011lim11yy kky kk00limxyxyxy那么那么结果与结果与 有关，故原极限不存在。有关，故原极限不存在。k03lim3yyy假设假设0000lim,xxyyf x yf xy那么称函数那么称函数,f x y在点在点00,P xy处延续。处延续。假设函数在某区域上点点延续，那么称函数在该区域上延续。假设函数在某区域上点点延续，那么称函数在该区域上延续。 直观上来看，假设函数在区域直观上来看，假设函数在区域 D 上延续，那么其对应的上延续，那么其对应的空间曲面没有裂痕，没有洞，是一个延续曲面。空间曲面没有裂痕，没有洞，是一个延续曲面。初等二元函数在其定义区域上都是延续的。初等二元函数在其定义区域上都是延续的。例如：例如：lnzxy在在:,0Dx y xy上延续。上延续。 二元函数的延续性二元函数的延续性闭区域上延续函数的性质闭区域