周期信号的傅里叶变换ppt课件

1、3.9 3.9 周期信号的傅里叶周期信号的傅里叶变换变换l 正弦正弦/ /余弦信号的傅里叶变换余弦信号的傅里叶变换l 普通周期信号的傅里叶变换普通周期信号的傅里叶变换正弦正弦/ /余弦信号的傅里叶变换余弦信号的傅里叶变换)()()sin()()()cos()(21111111jtt普通周期信号的傅里叶变换普通周期信号的傅里叶变换ntjnneFtfT1)(.,11其傅里叶级数为角频率为令周期信号周期为dtetfTFnFeFTFtfFTtjnTTnnntjnnn11112211)(1)(2)(小结小结:1.由一些冲激组成离散频谱由一些冲激组成离散频谱.2.位于信号的谐频处位于信号的谐频处.3.大小

2、不是有限值大小不是有限值,而是无穷小频而是无穷小频带内有无穷大的频谱值带内有无穷大的频谱值.周期信号的傅立叶变换存在条件周期信号的傅立叶变换存在条件 1.1.周期信号不满足绝对可积条件周期信号不满足绝对可积条件. .2.2.引入冲激信号后引入冲激信号后, ,冲激的积分是有意冲激的积分是有意义的义的. .3.3.在以上意义下在以上意义下, ,周期信号的傅立叶变周期信号的傅立叶变换是存在的换是存在的. .4.4.周期信号的频谱是离散的周期信号的频谱是离散的, ,其频谱密其频谱密度度, ,即傅立叶变换是一系列冲激即傅立叶变换是一系列冲激. .dtetfFtGtftfdtetfTFeFtfFTtGtf

3、FStftjTTTtjnTTnntjnnT220022111111111)()()()()()(1)(:)()()(令之间的关系形成的非周期信号的与取其一个周期的周期信号1111)(1)(1:)(221010ntjTTnnndtetfTFTFFF之间关系为与则103147)()()(1111例变换：周期单位序列的傅里叶pnnTttnnT3.10 3.10 抽样信号的傅里抽样信号的傅里叶变换叶变换l 时域抽样时域抽样l 频域抽样频域抽样抽样量化编码延续信号f(t)抽样信号fs(t)数字信号抽样脉冲p(t)问题：问题：1 1抽样后离散信号的频谱是什么样的？它与未抽样后离散信号的频谱是什么样的？它与

4、未被抽样的延续信号的频谱有什么关系？被抽样的延续信号的频谱有什么关系？2 2延续信号被抽样后，能否保管了原信号的一延续信号被抽样后，能否保管了原信号的一切信息？即在什么条件下，可以从抽样的信号切信息？即在什么条件下，可以从抽样的信号无失真的复原原始信号？无失真的复原原始信号？)(2)(snnnPP22)(1sssTTtjnsndtetpTP*时域抽样时域抽样)(*)(21)(PFFs)()(snnsnFPF)()()(tptftfs2)(122ssTTtjnsnnSaTEdtetpTPsss矩形脉冲抽样矩形脉冲抽样-自然抽样自然抽样)(2)(snsssnFnSaTEF上式阐明上式阐明: :信号

5、在时域被抽样后信号在时域被抽样后, ,它的频谱它的频谱Fs()Fs()是延是延续信号的频谱续信号的频谱F()F()以抽样频率以抽样频率ss为间隔为间隔周期地反复而得到的周期地反复而得到的. .在反复过程中在反复过程中, ,幅度幅度被抽样脉冲被抽样脉冲p(t)p(t)的傅立叶系数所加权的傅立叶系数所加权, ,加权加权系数取决于抽样脉冲序列的外形系数取决于抽样脉冲序列的外形. .-mmF()1抽样前抽样前E sFs()ms抽样后抽样后sTTtjnsnTdtetpTPsss1)(122nsssnFTF)(1)(冲激抽样冲激抽样-理想抽样理想抽样上式阐明上式阐明: :由于冲激序列的傅里叶系数由于冲激序

6、列的傅里叶系数PnPn为为常数常数, ,所以所以F()F()是以是以ss为周期等为周期等幅地反复幅地反复, ,如以下图所示：如以下图所示：F()- mm抽样前抽样前Fs()1/Tss- s抽样后抽样后nsssnFTF)(1)(nnFFFtf)()()()()()()(11其其中中*频域抽样频域抽样nnTtftf)(1)(111上式阐明：上式阐明： 假设假设f(t)f(t)的频谱的频谱F()F()被间隔被间隔为为11的冲激序列在频域中抽样，的冲激序列在频域中抽样，那么在时域中等效于那么在时域中等效于f(t)f(t)以抽样间以抽样间隔为周期而平移。从而也就阐明了隔为周期而平移。从而也就阐明了“周期

7、信号的频谱是离散的这一周期信号的频谱是离散的这一规律。规律。nnTtftf)(1)(1113.11 3.11 抽样定理抽样定理l 时域抽样定理时域抽样定理l 频域抽样定理频域抽样定理一个带限信号一个带限信号f(t),f(t),假设频谱假设频谱|m,|m,那那么信号么信号f(t)f(t)可以独一地由其均匀时间间隔可以独一地由其均匀时间间隔Ts1/(2fm)Ts1/(2fm)上的抽样值上的抽样值f(nTs)f(nTs)确定确定. .且抽样频率且抽样频率fs2fm(s2m). fs2fm(s2m). 而而fs=2fmfs=2fm称为奈奎斯特称为奈奎斯特(Nyquist)(Nyquist)频率频率;

8、;Ts=1/(2fm)Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔称为奈奎斯特间隔. .时域抽样定理时域抽样定理Tsfs(t)tTsh(t)Tsf(t)卷积卷积Fs()m s1cH()相相乘乘F()m一个时限信号一个时限信号f(t),f(t),假设集中于假设集中于|t|tm,|t|tm,那么其频谱那么其频谱F()F()可以独可以独一由其均匀频率间隔一由其均匀频率间隔fs fs (fs1/(2tm)(fs1/(2tm)上的抽样值上的抽样值F(ns)F(ns)确定确定. .频域抽样定理频域抽样定理时域抽样与频域抽样的对称性时域抽样与频域抽样的对称性f(t)f(t)F() F() 以以ss为周期反复为周期反

9、复TsTsF()F()f(t) f(t) 以以TsTs为周期反为周期反复复ss假设假设f(t)f(t)被等间隔被等间隔T T取样取样, ,将等效于将等效于F()F()以以s=2s=2 /T/T为周期反复为周期反复; ;而而F()F()被等间隔被等间隔ss取样取样, ,那么等效于那么等效于f(t)f(t)以以T T为周期反复为周期反复. .因此因此, ,在时域中进展抽样的过程在时域中进展抽样的过程, ,必然导必然导致频域中的周期函数致频域中的周期函数; ;在频域中进展抽样的在频域中进展抽样的过程过程, ,必然导致时域中的周期函数。必然导致时域中的周期函数。作业作业: : 3-41 3-41 改改

10、)1000()(2tSatf下次课包括下次课包括4.1-4.54.1-4.5节的内容，节的内容，请预先做好听课预备。请预先做好听课预备。第三章总结 及习题课知识点回想知识点回想: :周期信号傅里叶级数分析周期信号傅里叶级数分析非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 典型周期信号的典型周期信号的FSFS 典型非周期信号的典型非周期信号的FTFT 傅里叶变换根本性质傅里叶变换根本性质 抽样信号的抽样信号的FTFT 抽样定理抽样定理,.)2, 1(sin)(2:,.)1 ,0(cos)(2:)sincos(2)(:10010011111110ntdtnt

11、fTbntdtntfTatnbtnaatfTttnTttnnnn正弦分量幅度余弦分量幅度三角形式傅里叶级数傅里叶级数(FS)为所有的整数其中指数形式ndtetfTFnFenFtfTtttjnnntjn10011)(1)()()(:111函数函数f(t)的对称性与的对称性与FS系数关系系数关系20111101cos)(4cos2)(:)(1)TnnntdtntfTatnaatftf为偶函数2011111)sin()(4)sin()(:)(2)TnnndttntfTbtnbtftf为奇函数为所有的奇数且公式同上和为奇谐函数nbatnbtnatftfnnnnn,)sincos()(:)(3)111傅

12、里叶变换的定义傅里叶变换的定义deFtfdtetfFtjtj)(21)(:)()(:反变换正变换典型信号的典型信号的FTjatueat1)(22|2aaeta)2()(SatGjt2)sgn(1)(t)(21jtu1)()()()(cos000t)()(sin000 jtnTnt)()(111非周期信号的非周期信号的FT的性质的性质)(2)(:ftF对称性)()(Ftf已知)()(:11niiiniiiFatfa线性)(|1)(:aFaatf尺度变换偶函数奇函数虚函数奇函数偶函数实函数奇函数偶函数奇偶虚实性)(,)(:)(,)(:)(,| )(:|XRXRF)()()( :)()()(:)()

13、(nnnnFtfjtFjtf频域微分时域微分dFtfjttfFjFdft)()()0()(:)()0()()(:频域积分时域积分0)()(:0tjeFttf时移)()(:00 Fetftj频移dFdffFdttfParseval222| )(|21| )(|)(:定理)()()()(:2121FFtftf时域卷积)()(21)()(:2121FFtftf频域卷积普通周期信号的普通周期信号的FTdtetfTFnFeFTFtfFTtjnTTnnntjnnn11112211)(1)(2)(周期信号的周期信号的FS与其单周期信号的与其单周期信号的FT之间的关系之间的关系1)(101nnFTF)()(s

14、nnsnFPF时域抽样信号的时域抽样信号的FT)(2)(:snsssnFnSaTEF自然抽样nsssnFTF)(1)(:理想抽样nnTtftf)(1)(111频域抽样信号的频域抽样信号的FT频域抽样定理频域抽样定理时域抽样定理时域抽样定理msmsmfTff212|或msmsmtftTtt212|或.)sin()cos()()sin()cos()()sin()cos()(,)()(:111100111021110121的波形画出且如图和已知周期信号例题nnnnnnnnntndtnacatftndtncctftnbtnaatftftf)(1tft0T1)(2tft0T11)(tftT21)()()

15、(:21tftftf由函数对称性可知解%.95),/(,)(00总能量的分量的能量贡献为信号以下所有频谱使得在秒弧度频率并确定的能量试求信号例题tueat:2ajFadtedttfEat1)(,21)(,:022因为该信号有从频域计算从时域中计算由定义解)/(706.12)(1295.0%95,021)(111|)(|1000002220sradaarctgaaaaarctgadadFEParseval则有的能量包含当定理根据?0,:).()(),(,)(,6100|0100|1)(:,:3nnantftytytfaTHS才保证值对于什么样的问且的输出为滤波器输入到滤波器时的信号为其傅里叶级数

16、系数当基波周期为其频率响应是波器一连续时间理想低通滤例题. 0,8|8|100|12|100|.12,)(.)(,)(12)(1将恒为值的即对于因此有其高次谐波可表示为是周期信号在低通滤波器的通带内所有频率分量都这意味着是其本身输出的通过理想低通滤波器后的基波频率解nannnnntftftftf2:).(),()(:4Ftf求如图为周期信号已知例题)(tft01441.2)() 1(24sin4)() 1(24sin2)1(2)(4212)(11)( :21232121nnnFnndtetGtGTdtetfTFFSnnntjnTtjnn求解利用周期信号的方法解)() 1(24sin4)(2)(

17、)(2)()()()24(4sin2)1(2)(4)()(.)(2)( :1211nnnFTtTttftfetttGtftnnTTjT的卷积求解与号将信号转换为主周期信方法解tdfttfbatfdtdFTFtf)1(2)3(sin)()2()() 1 (:),()(:502求下列信号的已知例题abjabjeaFajbatfdtdeaFabatfaFaatf)(|)()(|1)()(|1)() 1 ( :解)() 0(2)2(21)1( 2)2(21)1( 2)() 1() 3 ()()()(4sin)()()(21)() 2( :00022FeFjdfeFtfeFtfFFFjttfFFtfjt

18、jj解dxxxdxxxFT20)sin()2(2sin) 1 (:6及其性质证明下式利用例题002sin2)()0(2)()(21)0()(21)(21)()()(221)()(21)()1(:dxxxdSafdSadSafdeSadeFtfSaSatftGtftjtj即义根据傅里叶反变换的定则设证dxxxdSadSadtdFdttfParsevalSatftGtf22211222)sin()()(4211|)(|21)()(2)()()()2(:即定理根据则设证.),()().()(),()(),3()3()()()()(:7的值和并求出性质证明的利用是的是的且和已知例题BABtAytgFT

19、HFTthFFTtfthtftgthtfty3,31)3(31)()3(3131)3(91)()(91)()(91)3()3()3(91)()()()(:BAtytgYYGYHFGHFGHFY即由时域卷积和尺度性质解)()()()()()()( )()(:8ffjFtfFtf试证明若例题)()()()( )()(2)(| )()( )()(2)()()( )()2(1)( )( )()()( )()()( )()()()()()()(:ffjfjffdejfdeffdejfdtefdtdetufdtefdtufdtefdfFtffdftfjjjtjtjtjtjtt证明kHzfkHzfkHzfkHzfkHzfFFKFFtytfccccc2 . 0)5(5 . 0)4(1)3(2)2(2) 1 (?.),(,5.1.,)(),(,:92121低通滤波器低通滤波器低通滤波器低通滤波器高通滤波器理由该如何选择出端尽量恢复原信号使输每种滤波器只能用一次及作为分别种滤波器中