实对称矩阵课件

1、第三节实对称矩阵 对称矩阵对称矩阵如果如果方阵方阵A满足满足,AAT就称就称A为为对称矩阵对称矩阵111100330574702423例例如如方阵方阵A为对称矩阵为对称矩阵矩阵矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等中关于主对角线对称的每一对元素相等定理定理2 实实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。设设A是对称矩阵是对称矩阵 11 12221212,0,0,AA 1121 1212 ,A 12A12A122 122, 212, 1212,0 实对称矩阵的性质实对称矩阵的性质定理定理1 实实对称矩阵的特征值必为实数。对称矩阵的特征值必为实数。证明

2、证明 定理定理3 设设A是是n阶阶对称矩阵，对称矩阵， 是是A的特征方程的的特征方程的 重根，重根，则对应特征值则对应特征值 恰有恰有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。rr定理定理设设A是是n阶阶对称矩阵，则必有对称矩阵，则必有正交矩阵正交矩阵P P, ,使得使得,P AP 其中其中是以是以A的的n个个特征值为特征值为对角元素对角元素的对角矩阵，的对角矩阵，正交矩阵正交矩阵P P的列向量的列向量是是A A的特征值所顺次对应的单位正交特征向的特征值所顺次对应的单位正交特征向量量。实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化例例用正交变换把下列对称矩阵对角化用正交变换把下列对称矩阵对角化222

3、254245解解（）求方阵的特征值（）求方阵的特征值由由0AE得特征值得特征值1231,10（）求特征向量（）求特征向量310,对于对于121,对于对于0AE X解方程组解方程组122,1,0,2,0,1TT 得一个基础解系得一个基础解系解方程组解方程组100AE X得一个基础解系得一个基础解系31,2, 2T（）将特征向量组正交化、单位化（）将特征向量组正交化、单位化令令112,1,0T 2122111,12,4,5,5T 331,2, 2T111112,1,05Te222112,4,53 5Te333111,2, 23Te正交化正交化单位化单位化（）构造矩阵，写出相应的对角形矩阵（）构造矩

4、阵，写出相应的对角形矩阵令令1232 52 51515354 52,515352033Pe e e则有则有11110TP APP AP求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤：求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤： 1、求矩阵、求矩阵A的特征值的特征值 2、求特征向量、求特征向量3、将特征向量正交化、单位化、将特征向量正交化、单位化4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵 练习练习 设实对称矩阵设实对称矩阵324202423A解解A的特征多项式为的特征多项式为AE324202423326158 218 （） （）=0A的特征值为的特征值为12318 ，求正交矩

5、阵求正交矩阵P,使使1P AP为对角矩阵为对角矩阵.121 ，当当解方程组解方程组 10AEx （） ）即即123424021204240 xxx 得到两个线性无关的特征向量得到两个线性无关的特征向量1210112 0（， ， ） ，（， ， ）对于对于38得到特征向量得到特征向量3212 （ ， ， ）11，2122111，110.512022010.5 取取33则 ， ，是矩阵是矩阵A的正交特征向量组的正交特征向量组 单单 位位 化化11111(1,0, 1)2e22211(1, 4,1)3 2e33311(2,1,2)3e123( ,)112323 241 =033 2112323 2P

6、e e e1100010008P AP令令 则有则有 定义定义设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵, 若若TAA 则称则称 A 为为反对称矩阵反对称矩阵性质性质(1) 实反对称矩阵的特征值为实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数或纯虚数.(2) 奇数阶反对称阵对应的行列式为奇数阶反对称阵对应的行列式为0.(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.反对称矩阵反对称矩阵定义定义设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵, 若满足若满足2AA则称则称 A 为为幂等矩阵幂等矩阵.性质性质(1) 幂等矩阵的特征值为幂等矩阵的特征值为0或或1.(2) 幂等矩阵一定相似于形如幂等矩阵一定相似于形如000rE的对称阵的对称阵.幂等矩阵幂等矩阵幂零矩阵幂零矩阵定义定义设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵, 若满足若满足0mA (为正整数），则称为正整数），则称为为幂零矩阵幂零矩阵性质性质(1) 幂零矩阵的特征值为幂零矩阵的