三角形的五心及其应用

1、 BACHELOR S THESIS摘要摘要本文对三角形五心的性质，特征以及其在几何中的应用等与三角形五心有关的重要内容进行了研究。三角形五心是新颁发的初中数学大纲特别加强的内容。与之相关的几何问题通常涉及的知识面广，难度大，要求的技巧性强，故三角形五心问题考察学生逻辑思维能力的较佳题型，近年来，已成为开学考试以及数学竟赛中的热点。关键词：关键词： 三角形的五心，角平分线，高线，中线等目目录录摘要摘要.1引言引言.21.1.外心外心.21.1 定义.21.2 重要性质.21.3 隐含特征.22.2.内心内心.42.1 定义.42.2 重要性质.42.3 隐含特征.43.3.重心重心.63.1

2、定义.63.2 重要性质.63.3 隐含特征.64.4.垂心垂心.74.1 定义 .74.2 重要性质 .74.3 隐含特征 .75.5.旁心旁心.95.1 定义.95.2 重要性质.95.3 隐含特征.9总结总结.11致谢致谢.13引言引言三角形的五心指的是外心，内心，重心，垂心，旁心。它们各自是三角形的某三条特殊直线的巧合点。三角形五心各有特点。掌握了它们的定义性质及特征，对熟练应用其来证明某些题是很有帮助的。1.1.外心外心1.11.1 定义定义三角形三条边的垂直平分线的交点（即三角形外接圆的圆心） ，称为三角形的的外心。1.21.2 重要性质重要性质外心与三角形三个顶点的距离相等。1.

3、31.3 隐含特征隐含特征（1）三角形的三条边就是外接圆的弦；（2）外心与个顶点连线将三角形分成三个等腰三角形；（3）由外心向个边作垂线，平分个边且平分个边所对的弧；（4）外心与个边中点连线必垂直与个边；（5）三角形任意边的垂直平分线必过其外心；CBAO（6）三角形的外心可能在三角形内部，外部或边上（如下图） 。(直角三角形) （锐角三角形） （钝角三角形）例 1：若 P 点到三角形 ABC 的三个顶点的距离相等，证明 P 点是的外心。ABC证明：由已知可以知道 P 点到三角形 ABC 的三个顶点的距离相等，即 PA=PB=PC 所以 A,B,C 三点到都在以 O 为圆心，PA 为半径的圆上，

4、这个圆就是三角形ABC 的外接圆从而可知：P 点是三角形 ABC 的外心。例 2：证明：若 O 是的外心，则ABC3602BOCA ()A 为钝角证： （图 1.1）A 为钝角 OOABC是ABC 的外心是外接圆的圆心。在此圆的 BC 弧的与点 A 异侧上任取一点则有，A 2BOCA *, , A B A C又是共圆点. A+ A=180 A=180A 有OOOCBAPAOBCA（图 1.2）图 1.1代入中有 *3602BOCA 2.2.内心内心2.12.1 定义定义三角形三个内角平分线的交点（即三角形内切圆的圆心） ，称为三角形的内心。2.22.2 重要性质重要性质内心到三边距离相等（即内

5、切圆半径） ；2.32.3 隐含特征隐含特征（1）三角形内心与个顶点连线必平分个内角；（2）三角形各内角平分线必过内心；（3）三角形各角的顶点到内心所连的线段，在此角的两边的射影的长相等（即圆外一点向圆引的两条切线长相等） ；（4）（r 为内切圆的半径） ； , ,ABCAADBC过点作垂直于（5）设 I 为三角形 ABC 的内心，则 ，1902BICA1902AICB。1902AIBC例 3：证明：等边三角形的内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的 2 倍。证：设等边,ABCAADBC过点作垂直于垂点为 D,过 B 点做 BE 垂直于 AC,垂点为 E,AD 与 BE 相交于 F 连接

6、 CF，并延长 CF 交 AB 于 G （图 2.1） 。BACO BE ADABC与为高，而是等边三角形。1 2=30BEA=90 BDF AEF BF=AF BC=ACCF=CF , BFC AFC BCG= ACG CGABBDAEACCBEDACBDA ,ABBCAC F ABCBF=FCBD=DCDF=DF BDFCDF BF=FCFD FE FG 分别垂直于，。就是的内心，同理可得 ： CF=AFF 为的外心且 DF 为内接圆半径,BF 为外接圆半径ABC ADBC BDF 1FBD=ABC=3021 FD=BF ,2 直角三角形，又得证.CFEDBGA（图 2.1）3.3.重心重

7、心3.13.1 定义定义三角形的三条中线交点称为三角形的重心 。3.23.2 重要性质重要性质重心到个边中的距离等于这边中线的1 2 13（即重心将每条中线分成：两段）。3.33.3 隐含特征隐含特征（1）三角形的中线必过中心；（2）三角形的顶点与重心的连线的延长线必过对边的中点；（3）三角形的顶点与重心的连线将三角形分成等积三角形， （即每个三角形的面积等于原三角形的三分之一） 。例 4：证明：重心到顶点的距离是它到对边重点中点距离的二倍。证明：如图 3.1： 中 D 为 BC 中点，E 为 AC 中点，F 为 AB 中点，G 为ABC的重心，做 BG 中点 H，GC 中点ABCI，的中位线

8、， HI GBC为 2HI = BCHIBC，且同理：FE 是的中位线，ABC EF BC 2EF=BC EF HI EF=HI，且，且， 四边形 FHIE 是平行四边形 。OCBA 3.1IHGEFCBAHG = GE，又 H 为 BG 的中点 ，GH = BH， HG=BH=GE ， 2GE=BG 三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍 。4.4.垂心垂心4.14.1 定义定义三角形三条高线的交点称为三角形的垂心 。4.24.2 重要性质重要性质垂心与三角形顶点的连线使三角形中出现 。4.34.3 隐含特征隐含特征（1）三角形各边高线必过垂心；（2）三角形个顶点与垂心的连线垂直于

9、对边；（3）三角形的三条高将三角形所分的三角形，可找到若干对相似三角形；（4）垂心：三角形两边高线的垂足与这两边夹角的顶点，四点共圆；（5）三角形的垂心可以在三角形的内部，外部或直角顶点 如下图。BAHDCBAEFHCBDEFAHCBAO例 5：中，AD，BE 是两条高，AD，BE 交ABC于点 O ，连接 OC 并延长交 AB 与 F ，求 证 ： 。CF AB证：连接 DE ， ADB= AEB=90 A B D E ADE= ABE EAO= DAC , AEO= DAC AEO ADC ，四点共圆AEAD = EAD OACAOAC ACF= ADE= ABE ABE+ BAC=90

10、ACF+ BAC=90 CF AB 又；例 6：已知 H ，O 分别是的垂心及外接圆的圆心 。ABCL AH=2OLOLBC于，求证：HABC4.2OOLBCL假设是的垂心（图）是外心，于。证：以 P，Q 分别表示 HA，HB 的中点 。M 表 AC 的中点 ，由于 L 是 BC 的中点，可得，1 / ABABC2LM（由得出）,故1QP /ABABH2（由得出）LM / PQ OL/ PHBC，且（同垂直于）可见 ，OM/ QHAC（同垂直于）三双对应边平行 ， 从而各角对应相等且 LM=QP OLMHPQ 与4.2OHQPLMCBA 4.1OFEDCBA所以 OLM HPQAH=2PH=2

11、OL AH=2OL . 5.5.旁心旁心5.15.1 定义定义 三角形的每一内角平分线和其余两角的外交平分线的交点（即三角形的旁切圆的圆心） ，称为三角形的旁心 。 5.25.2 重要性质重要性质旁心与三角形一边及其它二边的延长线的距离相等 。5.35.3 隐含特征隐含特征（1）三角形的一个内角平分线必过旁心 ；（2）一个三角形有三各旁心 ，均在三角形外 。例 7：的顶角 A 的平分线交外接圆于 M，求证：ABCM 点与 B 点，C 点，内心及内的旁心等远。A证：设内心是 O 点，内的旁心是 E 点，A AMA BAM= CAM BM=CM 平分，又 1CBM= 2CAMA，11 OBM=A+

12、B 22 ，CBAMEMDOCBA（图 5.1） 11BOM= OAB+ OBA =A+B22 BOM= OBM OM=BM BOBEB BOE=90 BOM+ E= EBM+ OBM=90E BM=MC=MO=ME ，但，分别为内，外角的平分线。于是= EBM . BM =M E ,则。注：三角形的一个内角平分线必过旁心这个特征在证明该题的过程中起到了重要作用。至于三角形的中心这个概念：当三角形为正三角形是五心合一，就叫做三角形的中心。当三角形为等腰三角形时，等要三角形的底边的中线，高线及等角的角平分线，这个三线交点合一，就是三角形的中心了，当三角形为等边三角形时，四心合一（即重心，内心，外心，垂心）称为三角形的中心。总结总结三角形的五心具有的许多性质、特征是其可以广泛用于解决现实问题的依据。近年来，三角形五心问题作为中考的热点，其相关题型往往建立在知识的交汇点上，具有涉及面广，综合性强等特点。故而要想解决此类问题，必须对三角形五心的性质及特征进行比较深入的研究。此外，对三角形五心的性质及特征的熟练掌握也含给现实生活中的问题解决带来很大的方便。参考文献1 朱德祥，朱维宗.初等几何研究