第二章、数字逻辑基础

1、 数字逻辑基础数字逻辑基础 第二章第二章北京邮电大学北京邮电大学徐惠民徐惠民逻辑变量和逻辑系统逻辑变量和逻辑系统 在数字电路和数字系统中用逻辑值来表示在数字电路和数字系统中用逻辑值来表示实际的信号或电路状态。一般逻辑值的取实际的信号或电路状态。一般逻辑值的取值只有两种：值只有两种：0和和1，0表示逻辑假，表示逻辑假，1表示表示逻辑真。取值为逻辑值的变量称为逻辑真。取值为逻辑值的变量称为逻辑变逻辑变量量。 使用逻辑变量作为输入使用逻辑变量作为输入/输出的系统，就是输出的系统，就是逻辑系统逻辑系统。 一般的逻辑系统都是二值系统。一般的逻辑系统都是二值系统。正逻辑系统正逻辑系统 和负逻辑系统和负逻辑

2、系统 逻辑值只是信号或电路状态的反映，并没逻辑值只是信号或电路状态的反映，并没有规定逻辑值和信号范围的具体映射关系。有规定逻辑值和信号范围的具体映射关系。在实际应用中，既可以用高电平来表示逻在实际应用中，既可以用高电平来表示逻辑辑1，用低电平表示逻辑，用低电平表示逻辑0；也可以用低电；也可以用低电平表示逻辑平表示逻辑1，高电平表示逻辑，高电平表示逻辑0。 用高电平来表示逻辑用高电平来表示逻辑1，用低电平表示逻辑，用低电平表示逻辑0的逻辑系统称为的逻辑系统称为正逻辑系统正逻辑系统。 用低电平来表示逻辑用低电平来表示逻辑1，用高电平表示逻辑，用高电平表示逻辑0的逻辑系统是的逻辑系统是负逻辑系统负逻

3、辑系统。 基本逻辑运算基本逻辑运算 逻辑代数中的逻辑变量的基本运算只有逻辑代数中的逻辑变量的基本运算只有“与与”、“或或”、“非非”三种。三种。 对应的逻辑电路是与门、或门、非门。非对应的逻辑电路是与门、或门、非门。非门就是反相器。门就是反相器。 任何复杂的逻辑运算都可以通过这三种基任何复杂的逻辑运算都可以通过这三种基本逻辑运算来实现。本逻辑运算来实现。 基本逻辑运算基本逻辑运算 1.“与与”逻辑运算逻辑运算 与逻辑运算又叫逻辑乘。其定义是：当且仅当与逻辑运算又叫逻辑乘。其定义是：当且仅当决定事件决定事件F发生的各种条件发生的各种条件A、B、C 均具备均具备时，这件事才发生，时，这件事才发生，

4、 这种因果关系称为这种因果关系称为”与与”逻辑关系，逻辑关系， 即即”与与”逻辑运算。逻辑运算。 两个变量的两个变量的”与与”运算的逻辑关系可以用函数运算的逻辑关系可以用函数式表示为：式表示为：F = A B = A B基本逻辑运算基本逻辑运算 与门的逻辑符号与门的逻辑符号 |“与与”逻辑的真值表逻辑的真值表 基本逻辑运算基本逻辑运算 “与与”逻辑的波形表示逻辑的波形表示 “与与”逻辑运算可以进行这样的逻辑判断：逻辑运算可以进行这样的逻辑判断：”与与”门的输入信号中是否有门的输入信号中是否有“0”0”， 若输入有若输入有“0”0”，输出就是，输出就是“0”0”，只有当输入全为，只有当输入全为“

5、1”1”， 输出才是输出才是“1”1”。 基本逻辑运算基本逻辑运算 2.“或或”逻辑运算逻辑运算“或或”逻辑运算又叫逻辑加。其定义是：逻辑运算又叫逻辑加。其定义是：在决定事件在决定事件F发生的各种条件中只要有一发生的各种条件中只要有一个或一个以上条件具备时，个或一个以上条件具备时， 这件事就发这件事就发生，生， 这种因果关系称为这种因果关系称为“或或”逻辑运算逻辑运算关系。关系。两个变量的两个变量的“或或”运算可以用函数式表运算可以用函数式表示为：示为： F = AB = A + B 基本逻辑运算基本逻辑运算 或门的逻辑符号或门的逻辑符号 “或或”逻辑的真值表逻辑的真值表 基本逻辑运算基本逻辑

6、运算 或门的波形或门的波形 “或或”逻辑运算可以进行这样的逻辑判逻辑运算可以进行这样的逻辑判断：断：”或或”门的输入信号中是否有门的输入信号中是否有“1”1”，若输入有，若输入有“1”1”， 输出就是输出就是“1”1”；只有当输入全为；只有当输入全为“0”0”时，时， 输输出才是出才是“0”0”。 基本逻辑运算基本逻辑运算 3“非非”逻辑运算逻辑运算 “非非”逻辑运算又称逻辑运算又称“反相反相” 运算，或称运算，或称“求补求补”运算。其定义是：当决定事件发运算。其定义是：当决定事件发生的条件生的条件A具备时，具备时， 事件事件F不发生不发生; 条件条件A不具备时，不具备时， 事件事件F才发生。

7、这种因果关系才发生。这种因果关系叫叫“非非”逻辑运算。它的函数式为逻辑运算。它的函数式为 F = A基本逻辑运算基本逻辑运算 “非非”门的逻辑符号门的逻辑符号 |“非非”逻辑的真值表逻辑的真值表 布尔代数公理布尔代数公理 基本逻辑运算是布尔代数中最重要的运算，基本逻辑运算是布尔代数中最重要的运算，从这些运算规则中，可以归纳出布尔代数从这些运算规则中，可以归纳出布尔代数的公理。的公理。 公理公理1：若：若X=1，则，则 公理公理2：00 = 0 1 + 1 = 1 公理公理3：11 = 1 0 + 0 = 0 公理公理4：10 = 01 = 0 0 + 1 = 1 + 0 = 10X 1X 若若

8、X=0，则，则其他常用逻辑运算其他常用逻辑运算 1与非逻辑运算与非逻辑运算 实现先实现先“与与”后后“非非”的逻辑运算就是与非逻的逻辑运算就是与非逻辑运算。其逻辑函数式如下辑运算。其逻辑函数式如下: |“与非与非”门的逻辑符号门的逻辑符号 其他常用逻辑运算其他常用逻辑运算 “与非与非”逻辑的真值表逻辑的真值表 |“与非与非”逻辑运算可进行这样的逻辑判断：逻辑运算可进行这样的逻辑判断：“与非与非”门输入信号中是否有门输入信号中是否有“0 0”， 输入有输入有“0 0”， 输出就是输出就是“1 1”; ;只有当输入全为只有当输入全为“1 1”时，时， 输出才是输出才是“0 0”。 其他常用逻辑运算

9、其他常用逻辑运算 2“或非或非”逻辑运算逻辑运算实现先实现先”或或”后后“非非”的逻辑运算，的逻辑运算， 就是就是“或非或非”逻辑运算。其逻辑函数式如下：逻辑运算。其逻辑函数式如下：|“或非或非”门的逻辑符号门的逻辑符号 其他常用逻辑运算其他常用逻辑运算“或非或非”逻辑的真值表逻辑的真值表z“或非或非”逻辑运算可进行这样的逻辑判断：逻辑运算可进行这样的逻辑判断：“或非或非”门的输入信号中是否有门的输入信号中是否有“1”1”， 若输入有若输入有“1”1”， 输出就是输出就是“0”;0”;只有当只有当输入全为输入全为“0”0”时，时， 输出才是输出才是“1”1”。 其他常用逻辑运算其他常用逻辑运算

10、 3“与或非与或非”逻辑运算逻辑运算“与或非与或非”逻辑运算的逻辑函数式如下逻辑运算的逻辑函数式如下 z“与或非与或非”门的逻辑符号门的逻辑符号 其他常用逻辑运算其他常用逻辑运算 4“异或异或”逻辑运算逻辑运算 用先用先“非非”再再“与与”后后“或或”的逻辑运算，实的逻辑运算，实现如下逻辑函数式的称为现如下逻辑函数式的称为“异或异或”逻辑运算。逻辑运算。|“异或异或”门的逻辑符号门的逻辑符号 其他常用逻辑运算其他常用逻辑运算“异或异或”逻辑运算的真值表逻辑运算的真值表 z两输入两输入“异或异或”逻辑运算可以进行这样的逻逻辑运算可以进行这样的逻辑判断：辑判断：“异或异或”门的两个输入信号是否不门

11、的两个输入信号是否不相同，相同， 两个输入信号不相同时，两个输入信号不相同时， 输出为输出为“1”; 1”; 两个输入信号相同时，输出为两个输入信号相同时，输出为“0”0”。 其他常用逻辑运算其他常用逻辑运算 5“同或同或”逻辑运算逻辑运算同或逻辑的逻辑函数式为同或逻辑的逻辑函数式为: z“同或同或”门的逻辑符号门的逻辑符号 z注：原部颁标准和国外符号没有专用的同或逻注：原部颁标准和国外符号没有专用的同或逻辑符号，用异或非来代替。辑符号，用异或非来代替。 其他常用逻辑运算其他常用逻辑运算 “同或同或”逻辑的真值表逻辑的真值表 z两输入两输入“同或同或”逻辑运算可以进行这样的逻逻辑运算可以进行这

12、样的逻辑判断：辑判断：“同或同或”门的两个输入信号是否相门的两个输入信号是否相同，同， 两个输入信号相同时，两个输入信号相同时， 输出为输出为“1”; 1”; 两个输入信号不相同时，输出为两个输入信号不相同时，输出为“0”0”。 其他常用逻辑运算其他常用逻辑运算 异或异或/同或关系的一般定义同或关系的一般定义 尽管实际生产的异或门尽管实际生产的异或门/同或门只有两个输入，同或门只有两个输入，但是，可以定义多个输入情况下的异或但是，可以定义多个输入情况下的异或/同或逻同或逻辑关系。辑关系。 对于异或逻辑来说，当输入对于异或逻辑来说，当输入1的数目是奇数时，的数目是奇数时，输出为输出为1；当输入；

13、当输入1的数目是偶数时，输出为的数目是偶数时，输出为0。 对于同或逻辑来说，当输入对于同或逻辑来说，当输入0的数目是偶数时的数目是偶数时（0也算偶数），输出为也算偶数），输出为1；当输入；当输入0的数目是的数目是奇数时，输出为奇数时，输出为0。其他常用逻辑运算其他常用逻辑运算 对于对于3输入函数来说，当有奇数个输入是输入函数来说，当有奇数个输入是1时，一定也是有偶数个输入是时，一定也是有偶数个输入是0： 奇数个输入是奇数个输入是1： 偶数个输入是偶数个输入是0： 所以，对于所以，对于3变量异或函数和变量异或函数和3变量同或函变量同或函数，具有相同的表达式。数，具有相同的表达式。 此结论可以推广

14、到所有奇数个输入的异或此结论可以推广到所有奇数个输入的异或/同或函数。同或函数。CBA,CBA,CBA,ABCCBA,CBA,CBA,ABC真值表真值表 真值表是表示逻辑真值表是表示逻辑函数的一种方式。函数的一种方式。 真值表的左面，列真值表的左面，列出函数的各种输入出函数的各种输入组合，右边是和输组合，右边是和输入组合相对应的输入组合相对应的输出。出。 多数表决的真值表。多数表决的真值表。10111000 XXXXXX阿德里安阿德里安 卡特卡特 布福德布福德 阿德里安（阿德里安（A）、布）、布福德（福德（B）和卡特（）和卡特（K）三人去餐馆吃饭，他三人去餐馆吃饭，他们每人要的不是火腿们每人要

15、的不是火腿就是就是 猪排。猪排。 （1）如果阿德里安）如果阿德里安要的是火腿，那么布要的是火腿，那么布福德要的就是猪排。福德要的就是猪排。 （2）阿德里安或卡）阿德里安或卡特要的是火腿，但是特要的是火腿，但是不会两人都要火腿。不会两人都要火腿。 （3）布福德和卡特）布福德和卡特不会两人都要猪排。不会两人都要猪排。 XXXXXX阿德里安阿德里安 卡特卡特 布福德布福德 很容易将结果转换为很容易将结果转换为真值表：真值表：结论是结论是A=0，A（阿（阿德里安）选的是猪排，德里安）选的是猪排，K都等于都等于1，K（卡特）（卡特）选的是火腿，选的是火腿，B可以可以是是1或者或者0，说明，说明B（布福德

16、）可以选猪（布福德）可以选猪排或火腿，排或火腿， 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 布尔代数中的交换律、结合律、分配律和布尔代数中的交换律、结合律、分配律和普通代数中的三大定律的形式基本相同，普通代数中的三大定律的形式基本相同，但是具有普通代数中所没有的但是具有普通代数中所没有的“加对乘加对乘”的分配律：的分配律：A+BC=(A+B)(A+C)，需要特别，需要特别注意。在实际应用中，这个公式经常会用注意。在实际应用中，这个公式经常会用到。到。 布尔代数的常用公式布尔代数的常用公式 这些公式都可以用基本定律来证明：这些公式都可以用基本定律来证明：吸收律吸

17、收律1：(a) A+AB =A 证明证明 A + A B = A1 + A B （自等律）（自等律） = A (1 + B)（分配律）（分配律） = A1（0-1律）律） = A（自等律）（自等律）布尔代数的常用公式布尔代数的常用公式 布尔代数的常用公式布尔代数的常用公式 布尔代数的常用公式布尔代数的常用公式布尔代数的三个规则布尔代数的三个规则 1代入规则代入规则 在一个包含一个或多个逻辑变量的逻辑等在一个包含一个或多个逻辑变量的逻辑等式中，如果将等式两边相同的变量用相同式中，如果将等式两边相同的变量用相同的逻辑表达式替换，逻辑等式仍然成立。的逻辑表达式替换，逻辑等式仍然成立。这个规则称为代入

18、规则。这个规则称为代入规则。 因为逻辑表达式也只有因为逻辑表达式也只有0、1两种取值，和两种取值，和逻辑变量的取值是一样的。当等式两边的逻辑变量的取值是一样的。当等式两边的相同变量用相同的逻辑表达式替换后，不相同变量用相同的逻辑表达式替换后，不会改变等式的相等性。会改变等式的相等性。布尔代数的三个规则布尔代数的三个规则 对于结合律对于结合律A+BC=(A+B)(A+C)， 等式两边都用表达式等式两边都用表达式A+D代替变量代替变量A A+D+BC=(A+D+B)(A+D+C)，等式仍然成立。，等式仍然成立。 又如，对于摩根定理：又如，对于摩根定理： ， 用表达式用表达式a+b代替变量代替变量A

19、，用表达式，用表达式c+d代替变代替变量量B 则有：则有： 就是摩根定理的扩展形式。就是摩根定理的扩展形式。 BABAdcbadcba布尔代数的三个规则布尔代数的三个规则以上变换过程的最后，就是将公式以上变换过程的最后，就是将公式BABAA中的中的A用表达式用表达式CAB代换，变量代换，变量B用用ED代入的结果。代入的结果。布尔代数的三个规则布尔代数的三个规则 2反演规则反演规则 任何一个逻辑函数式任何一个逻辑函数式F，如果将，如果将F式中所有式中所有的逻辑与变为逻辑加，逻辑加变为逻辑与，的逻辑与变为逻辑加，逻辑加变为逻辑与，“1”变为变为“0”，“0”变为变为“1”，原变量变，原变量变为反变

20、量，反变量变为原变量，运算关系为反变量，反变量变为原变量，运算关系保持不变，即可得到函数保持不变，即可得到函数F的反函数的反函数 反演规则定义了如何获得函数反演规则定义了如何获得函数F的反函数的反函数 FF布尔代数的三个规则布尔代数的三个规则 在使用反演规则时，要适时的增加括号。目的是要遵守反在使用反演规则时，要适时的增加括号。目的是要遵守反演规则中规定的演规则中规定的“保持运算关系不变保持运算关系不变”。 布尔代数的三个规则布尔代数的三个规则 在以上的取反过程中，也要随时注意加上括号，保持原来在以上的取反过程中，也要随时注意加上括号，保持原来的运算关系。的运算关系。 推论：将一个逻辑等式的两

21、边都取反，等式依然成立。推论：将一个逻辑等式的两边都取反，等式依然成立。 布尔代数的三个规则布尔代数的三个规则 3. 对对偶规则偶规则 将逻辑函数式将逻辑函数式F中所有逻辑与运算变为逻辑中所有逻辑与运算变为逻辑加运算，逻辑加运算变为逻辑与运算，逻加运算，逻辑加运算变为逻辑与运算，逻辑常量辑常量“0”变为变为“1”，“1”变为变为“0”，并，并保留变量的运算关系和顺序不变，所得到保留变量的运算关系和顺序不变，所得到的新的逻辑函数式称为的新的逻辑函数式称为F的对偶函数的对偶函数 对偶规则定义了如何获得函数对偶规则定义了如何获得函数F的对偶函数的对偶函数 dFdF布尔代数的三个规则布尔代数的三个规则

22、 推论：若有两个函数式相等：推论：若有两个函数式相等：F1 = F2 ，则它们的对偶式也，则它们的对偶式也相等：相等： d2d1FF 逻辑函数的标准表达式逻辑函数的标准表达式 一个逻辑函数的多种表示形式，为实现逻辑函数提供了多一个逻辑函数的多种表示形式，为实现逻辑函数提供了多种选择。种选择。 或门实现或门实现与非门实现与非门实现逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 最小项表达式是一种与或表达式，有时也称为标最小项表达式是一种与或表达式，有时也称为标准与或式。准与或式。 最小项最小项是由逻辑函数的全部变量组成的乘积项是由逻辑函数的全部变量组成的乘积项（逻辑与项），这些变量可以是原变量或反

23、变量（逻辑与项），这些变量可以是原变量或反变量的形式出现的形式出现 ，且仅出现一次。，且仅出现一次。 一个最小项就对应逻辑函数的一种输入组合。如一个最小项就对应逻辑函数的一种输入组合。如最小项最小项ABC对应输入对应输入A=1、B=1、C=1。最小项。最小项 BCA对应输入对应输入A=0、B=1、C=1。逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 最小项通常用最小项通常用mi来表示。其下标来表示。其下标i是这样确定的：是这样确定的：把最小项中的原变量记为把最小项中的原变量记为1，反变量记为，反变量记为0，变量，变量取值按顺序排列成二进制数。那么这个二进制数取值按顺序排列成二进制数。那么这个二

24、进制数的等值十进制数就是下标的等值十进制数就是下标i。 如最小项如最小项ABC用用m7表示。表示。 最小项表达式最小项表达式是由逻辑函数值为是由逻辑函数值为1的输入组合所的输入组合所对应的最小项所组成的或式。对应的最小项所组成的或式。 F F（A A、B B、C C）= m= m0 0D D0 0+ m+ m1 1D D1 1+ m+ m2 2D D2 2+ m+ m3 3D D3 3+ m+ m4 4D D4 4+ + m m5 5D D5 5+ m+ m6 6D D6 6+ m+ m7 7D D7 7 其中其中Di就是某个最小项（输入组合）对应的函数值。就是某个最小项（输入组合）对应的函数

25、值。BCA用用m3表示。表示。逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 写出和以下真值表对应的最小项表达式：写出和以下真值表对应的最小项表达式：|对应的最小项表达式是：对应的最小项表达式是：逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 最小项具有如下三个主要性质：最小项具有如下三个主要性质： 对于任意一个最小项，只有一组变量值使最小项本身对于任意一个最小项，只有一组变量值使最小项本身取值为取值为1。 任意两个不同的最小项之积必为任意两个不同的最小项之积必为0，即：，即： mimj = 0 n个变量的所有个变量的所有2n个最小项之和必为个最小项之和必为1，即，即 式中符号式中符号“”表示最小

26、项求和。表示最小项求和。逻辑函数的最大项表达式逻辑函数的最大项表达式 最大项表达式是一种或与表达式，有时也称为标最大项表达式是一种或与表达式，有时也称为标准或与式。准或与式。 最大项最大项是由逻辑函数的全部变量组成的相加项是由逻辑函数的全部变量组成的相加项（逻辑或项），这些变量可以是原变量或反变量（逻辑或项），这些变量可以是原变量或反变量的形式出现的形式出现 ，且仅出现一次。，且仅出现一次。 一个最大项就对应逻辑函数的一种输入组合。如一个最大项就对应逻辑函数的一种输入组合。如最大项最大项A+B+C对应输入对应输入A=0、B=0、C=0。最大。最大项项 当某个输入当某个输入变量取值为变量取值为1

27、时，它在最大项中以时，它在最大项中以反变量反变量形式出现形式出现；当某个输入；当某个输入变量取值为变量取值为0时，它在最大项时，它在最大项中就以中就以原变量形式出现原变量形式出现。 CBA对应输入对应输入A=1、B=0、C=0。逻辑函数的最大项表达式逻辑函数的最大项表达式 最大项通常用最大项通常用Mi来表示。其下标来表示。其下标i是这样确定的：把是这样确定的：把最大项中的原变量记为最大项中的原变量记为0，反变量记为，反变量记为1，变量取值，变量取值按顺序排列成二进制数。那么这个二进制数的等值按顺序排列成二进制数。那么这个二进制数的等值十进制数就是下标十进制数就是下标i。 如最小项如最小项A+B

28、+C用用M0表示。表示。 最大项表达式最大项表达式是由逻辑函数值为是由逻辑函数值为0的输入组合所对应的输入组合所对应的最大项所组成的与式。的最大项所组成的与式。 =(m=(m0 0+D D0 0) )( m m1 1+D D1 1) )( m m2 2+D D2 2) )( m m3 3+D D3 3) )( m m4 4+D D4 4) )( m m5 5+D D5 5) )( m m6 6+D D6 6) )( m m7 7+D D7 7) ) 其中其中Di就是某个最大项（输入组合）对应的函数值。就是某个最大项（输入组合）对应的函数值。CBA用用M4表示。表示。F（A、B、C）逻辑函数的最

29、大项表达式逻辑函数的最大项表达式 写出和以下真值表对应的最大项表达式：写出和以下真值表对应的最大项表达式：|对应的最大项表达式是：对应的最大项表达式是：)6 , 5 , 1 , 0(MMMMM)CBA)(CBA()CBA()CBA()C,B,A(f6510逻辑函数的最大项表达式逻辑函数的最大项表达式 最大项具有下列三个主要性质：最大项具有下列三个主要性质： 对于任意一个最大项，只有一组变量取值对于任意一个最大项，只有一组变量取值可使其值为可使其值为0。 任 意 两 个 最 大 项 之 和 必 为任 意 两 个 最 大 项 之 和 必 为 1 ， 即 ：， 即 ： Mi + Mj = 1 (i

30、j ) n个变量的所有个变量的所有2n个最大项之积必为个最大项之积必为0，即：，即： 120iin0M最小项表达式和最大项表达式的关系最小项表达式和最大项表达式的关系 若已经知道函数的最小项表达式，很容易写出这若已经知道函数的最小项表达式，很容易写出这个函数的最大项表达式：个函数的最大项表达式： 若最小项表达式中最小项的数目是若最小项表达式中最小项的数目是k，最大项表达式中，最大项表达式中最大项的数目是最大项的数目是2n-k，n是函数的输入变量的数目；是函数的输入变量的数目； 若认为若认为0，1，2n-1是编号的全集，则最小项表达式是编号的全集，则最小项表达式中最小项的编号和最大项表达式中最大

31、项的编号互为补中最小项的编号和最大项表达式中最大项的编号互为补集，即两者编号之或为编号的全集。集，即两者编号之或为编号的全集。 例：如果三变量函数的最小项表达式是例：如果三变量函数的最小项表达式是Y=m (0、1、6)，这个函数的最大项表达式就是，这个函数的最大项表达式就是Y=M (2、3、4、5、7)。 非标准表达式到标准表达式的转换非标准表达式到标准表达式的转换 如果在与或表达式中，某一个与项和最小项相比，如果在与或表达式中，某一个与项和最小项相比，还缺少变量还缺少变量X，则可以利用基本定律中的，则可以利用基本定律中的A+A=1，将这个与项乘以，将这个与项乘以 (X+X)，转换为最小项。其

32、，转换为最小项。其他与项也作类似处理。最后消除表达式中的重复他与项也作类似处理。最后消除表达式中的重复项，就是最小项表达式。项，就是最小项表达式。任意项的定义及表示任意项的定义及表示 在以下两种情况下，对应函数的某一种输入组合，在以下两种情况下，对应函数的某一种输入组合，相应的输出可以是任意指定的：相应的输出可以是任意指定的： 若某些输入组合在实际上不可能出现，其相应的输出若某些输入组合在实际上不可能出现，其相应的输出是可以任意指定的；是可以任意指定的； 某些输入虽然可能出现，但是相应的输出并不被使用，某些输入虽然可能出现，但是相应的输出并不被使用，这样的输出也可以任意指定。这样的输出也可以任

33、意指定。 输出可以任意指定的输入项，称为任意项。有时输出可以任意指定的输入项，称为任意项。有时也称为无关项。也称为无关项。 带有任意项的逻辑函数也称为不完全确定的逻辑带有任意项的逻辑函数也称为不完全确定的逻辑函数。这样的函数在没有完成设计前，有些输入函数。这样的函数在没有完成设计前，有些输入组合的输出是没有确定的。组合的输出是没有确定的。任意项的定义及表示任意项的定义及表示 任意项在最小项表达式或者最大项表达式中也可任意项在最小项表达式或者最大项表达式中也可以表示。以表示。 带有任意项的函数的最小项表达式，可以写为以带有任意项的函数的最小项表达式，可以写为以下的形式：下的形式：F= m (输出

34、为输出为1 的最小项的编号的最小项的编号) + d (输出不指定输出不指定的最小项的编号的最小项的编号) 带有任意项的函数的最大项表达式，可以写为以带有任意项的函数的最大项表达式，可以写为以下的形式：下的形式：F= M (输出为输出为0 的最大项的编号的最大项的编号) d (输出不指定输出不指定的最大项的编号的最大项的编号)用约束条件表示任意项用约束条件表示任意项 任意项有时候也可以用一个恒等于任意项有时候也可以用一个恒等于0的表达的表达式来表示，如式来表示，如 将恒等于将恒等于0的约束条件左边的表达式展开为的约束条件左边的表达式展开为最小项表达式，其中所包含的最小项就是最小项表达式，其中所包

35、含的最小项就是这个函数的任意项。这个函数的任意项。 对于三变量函数，以上约束条件展开为：对于三变量函数，以上约束条件展开为： 对应于任意项：对应于任意项： 是否可以用恒等于是否可以用恒等于1的表达式表示任意项？的表达式表示任意项？0BACBACBABACBA,CBA代数法化简逻辑函数代数法化简逻辑函数 逻辑函数化简的标准逻辑函数化简的标准 对于小规模逻辑电路而言，化简的要求是使得对于小规模逻辑电路而言，化简的要求是使得逻辑表达式中的项数（逻辑表达式中的项数（“与与”项或者项或者“或或”项）项）最少，并使得每项中的变量数最少。最少，并使得每项中的变量数最少。 还可以有其他的优化标准还可以有其他的

36、优化标准 低延迟低延迟 低扇入（集成电路的输入引脚都是有限的）低扇入（集成电路的输入引脚都是有限的）代数法化简逻辑函数代数法化简逻辑函数 1. 按基本定律、公式进行化简按基本定律、公式进行化简 代数法化简逻辑函数代数法化简逻辑函数 基本定律和公式结合代入规则进行化简基本定律和公式结合代入规则进行化简 代数法化简逻辑函数代数法化简逻辑函数 通过在表达式中增项通过在表达式中增项(拆项拆项 )，以便进一步简化，以便进一步简化 增项增项拆项拆项卡诺图法化简逻辑函数卡诺图法化简逻辑函数 卡诺图是真值表的图形表示。它和真值表卡诺图是真值表的图形表示。它和真值表具有相同的信息。具有相同的信息。 卡诺图中将卡

37、诺图中将n个输入变量分为两组，将两组个输入变量分为两组，将两组变量的取值按格雷码排列于纵横坐标，每变量的取值按格雷码排列于纵横坐标，每两个相邻的变量取值都只有一位的差别。两个相邻的变量取值都只有一位的差别。 一个一个n变量的卡诺图有变量的卡诺图有2n个小方格，每一个个小方格，每一个小方格对应一个输入的组合，或者说对应小方格对应一个输入的组合，或者说对应一个最小项或最大项。小方格中所填入的一个最小项或最大项。小方格中所填入的是相应输入组合下函数的输出。是相应输入组合下函数的输出。 卡诺图法化简逻辑函数卡诺图法化简逻辑函数 卡诺图法化简逻辑函数卡诺图法化简逻辑函数 四变量卡诺图：四变量卡诺图：卡诺

38、图法化简逻辑函数卡诺图法化简逻辑函数 五变量卡诺图：五变量卡诺图：卡诺图法化简逻辑函数卡诺图法化简逻辑函数 相邻项：相邻项：直接相邻直接相邻 两端相邻两端相邻镜像相邻镜像相邻镜像相邻镜像相邻两端相邻两端相邻卡诺图法化简逻辑函数卡诺图法化简逻辑函数 卡诺图化简逻辑函数的基本原理卡诺图化简逻辑函数的基本原理 相邻项可以合并。基于公式相邻项可以合并。基于公式 输入项可以重复使用。基于公式输入项可以重复使用。基于公式A+A=A 由相邻项写合并项由相邻项写合并项 2k个相邻项也可以合并为一个与项。个相邻项也可以合并为一个与项。 合并项由这些相邻项中取值相同的变量组成：合并项由这些相邻项中取值相同的变量组

39、成：变量值为变量值为1的写为原变量，变量值为的写为原变量，变量值为0的写为反的写为反变量。变量。 ABAAB卡诺图法化简逻辑函数卡诺图法化简逻辑函数 相邻项：相邻项：A=0,B=0,D=0,E=1,合并项合并项:EDBAB=0,C=0,D=1,E=1,合并项合并项:DECBC=1,D=1,E=0,合并项合并项:ECD卡诺图法化简逻辑函数卡诺图法化简逻辑函数 为了合并的需要，输为了合并的需要，输入项可以重复使用。入项可以重复使用。11111重用重用重用重用BACCA1逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示 1）从真值表到卡诺图）从真值表到卡诺图 由逻辑函数的真值表或逻辑表达式作该逻由逻辑函数的

40、真值表或逻辑表达式作该逻辑函数卡诺图的基本方法是：辑函数卡诺图的基本方法是： 根据逻辑函数中变量的数目根据逻辑函数中变量的数目n，画出，画出n 个变个变量的卡诺图量的卡诺图 ； 在真值表中输出为在真值表中输出为1的最小项所对应的卡诺的最小项所对应的卡诺图的图的mi小方格中填入小方格中填入1，或者在真值表输出，或者在真值表输出为为0的最大项所对应的的最大项所对应的Mi的小方格填入的小方格填入0，就是该函数的卡诺图。就是该函数的卡诺图。 逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示 例：画出三人表决器所对应的逻辑函数的真值表。例：画出三人表决器所对应的逻辑函数的真值表。z相应的卡诺图是：相应的卡诺图是

41、：逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示 2）由非标准与或式填卡诺图）由非标准与或式填卡诺图 对于每个与项中不带非的变量，和卡诺图中相对于每个与项中不带非的变量，和卡诺图中相应变量取值为应变量取值为1的行或列对应，每个带非的变的行或列对应，每个带非的变量，和卡诺图中相应变量取值为量，和卡诺图中相应变量取值为0的行或列对的行或列对应。在这些行、列相交的小格内填应。在这些行、列相交的小格内填1； 对于每个与项都按以上方法填图，如果小格已对于每个与项都按以上方法填图，如果小格已经有经有1就不再重填。就不再重填。 所有没有填所有没有填1的格内填入的格内填入0。逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示

42、 例例: 填写函数填写函数z解：先画出解：先画出3 3变量的卡诺图。变量的卡诺图。 的卡诺图的卡诺图11111对于对于AB，应在，应在A=B=1的各小方格内填的各小方格内填1。对 于对 于，应在，应在B=0,C=1的小方格内填的小方格内填1。对 于对 于，应在，应在A=1,C=0的小方格内填的小方格内填1。逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示 3）由非标准或与式填卡诺图）由非标准或与式填卡诺图 对于每个或项中不带非的变量，和卡诺图对于每个或项中不带非的变量，和卡诺图中相应变量取值为中相应变量取值为0的行或列对应，每个带的行或列对应，每个带非的变量，和卡诺图中相应变量取值为非的变量，和卡诺图

43、中相应变量取值为1的的行或列对应。在这些行、列相交的小格内行或列对应。在这些行、列相交的小格内填填0； 对于每个与项都按以上方法填图，如果小对于每个与项都按以上方法填图，如果小格已经有格已经有0就不再重填。就不再重填。 所有没有填所有没有填0的格内填入的格内填入1。逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示 例例: 填写函数填写函数F=z解：先画出解：先画出3 3变量的卡诺图。变量的卡诺图。 的卡诺图的卡诺图00000对 于对 于对 于对 于，应在，应在A=0,B=1的小方格内填的小方格内填0。对 于对 于，应在，应在B=1,C=0的小方格内填的小方格内填0。)CB)(BA)(CA（)CA（)B

44、A()CB(，应在，应在A=1,C=0的小方格内填的小方格内填0。卡诺图化简的步骤卡诺图化简的步骤 卡诺图化简逻辑函数为最简与或式的步骤：卡诺图化简逻辑函数为最简与或式的步骤： 1）根据给定的函数表达式填画卡诺图；）根据给定的函数表达式填画卡诺图； 2）寻找只有一个合并方向的最小项，并圈出）寻找只有一个合并方向的最小项，并圈出尽可能大的合并项，写出相应的尽可能大的合并项，写出相应的“与与”项；项； 3）如果还有没有圈入的）如果还有没有圈入的“1”格，继续进行合格，继续进行合并，要求用尽可能少的合并项，来覆盖这些最并，要求用尽可能少的合并项，来覆盖这些最小项，写出相应的小项，写出相应的“与与”项

45、。项。 4）将合并时写出的）将合并时写出的“与与”项，组成与或式，项，组成与或式，就是化简的结果。就是化简的结果。卡诺图化简的举例卡诺图化简的举例 化简函数化简函数F = m (0, 4, 5, 7, 9, 12, 13, 14)为最简与或为最简与或式。式。 作卡诺图；作卡诺图； 从只有一个合并方向的从只有一个合并方向的小格小格m0、m7、m9、m14出发选取合并项；出发选取合并项； 所有的所有的1已经被圈入，组已经被圈入，组成与或式就是结果成与或式就是结果: 11111111DCABDADABDCA卡诺图化简的举例卡诺图化简的举例 如果从选取最大合并项如果从选取最大合并项出发，就会是如图的结

46、出发，就会是如图的结果；果； 还要再选取还要再选取4个合并项；个合并项； 结果就出现冗余；结果就出现冗余； 所以一定要从只有一个所以一定要从只有一个合并方向的小格开始。合并方向的小格开始。卡诺图化简的举例卡诺图化简的举例 化简化简 F= DCBCAABDDCBBA为最简与或式。为最简与或式。1ADDB1111111111BC 作卡诺图；作卡诺图； 从只有一个合并方向的从只有一个合并方向的小格小格m13、m7、m0出出发选取合并项；发选取合并项； 所有的所有的1已经被圈入，组已经被圈入，组成与或式就是结果成与或式就是结果: 卡诺图化简的举例卡诺图化简的举例 如果不是从只有一如果不是从只有一个合并

47、方向的格开个合并方向的格开始化简，也可能得始化简，也可能得到冗余的结果。到冗余的结果。 先圈出先圈出AC，最后就，最后就得到了得到了4项：有一项项：有一项是多余的。是多余的。ADDB11111111111BCAC卡诺图化简的举例卡诺图化简的举例 2单输出最简或与式单输出最简或与式 从卡诺图上获得最简或与式的过程和获得从卡诺图上获得最简或与式的过程和获得最简与或式基本相似，但是有两点不同：最简与或式基本相似，但是有两点不同： 1）选取合并项时要从卡诺图上的）选取合并项时要从卡诺图上的0格出发。格出发。合并项是这些圈入的合并项是这些圈入的0格中取值相同的变量格中取值相同的变量的逻辑或。但是要注意：

48、的逻辑或。但是要注意：变量值为变量值为0的写为原的写为原变量，变量值为变量，变量值为1的写为反变量的写为反变量。 2）由合并项相与构成最简）由合并项相与构成最简或与式或与式。 卡诺图化简的举例卡诺图化简的举例 例例2.26 试求函数试求函数F(A、B、C、D)=m (1, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15)的最简表达式。的最简表达式。 解：当题目中没有明确指出是求哪一种最简式时，需要解：当题目中没有明确指出是求哪一种最简式时，需要求两种简化结果，选取最简化的一个。求两种简化结果，选取最简化的一个。1111111DCAACBDABA11最简与或式是：最简与或式是：BDADCA

49、BAACF卡诺图化简的举例卡诺图化简的举例 例例2.26 试求函数试求函数F(A、B、C、D)=m (1, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15)的最简表达式。的最简表达式。 解：当题目中没有明确指出是求哪一种最简式解：当题目中没有明确指出是求哪一种最简式时，需要求两种简化结果，选取最简化的一个。时，需要求两种简化结果，选取最简化的一个。000000DACBACBA0最简或与式是：最简或与式是：)CBA)(CBA)(DA(F这也是本例题的最简表达这也是本例题的最简表达式。式。卡诺图化简的举例卡诺图化简的举例 3带有任意项的逻辑函数化简带有任意项的逻辑函数化简 用卡诺图化简带有任

50、意项的逻辑函数时，用卡诺图化简带有任意项的逻辑函数时，可以根据化简的需要，可以根据化简的需要，将某些任意项的输将某些任意项的输出指定为出指定为1，或者指定为，或者指定为0。目的是使。目的是使得合并项可以更加简单，从而得到更加简得合并项可以更加简单，从而得到更加简单的化简结果。单的化简结果。卡诺图化简的举例卡诺图化简的举例 例例2.27 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数F = m(2, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15) + (1, 3, 11)为最简与或式为最简与或式 。 解：题目中有三个任意项，可以根据需要指定其输出是解：题目中有三个任意项，可以根据需要指定其输出是0或者是或者是1。111111BDCBDA11最简