对面积的曲面积分(2)ppt课件

1、上页 下页 返回 结束 第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念一、对面积的曲面积分的概念二、对面积的曲面积分的性质二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的计算三、对面积的曲面积分的计算第十一章第十一章上页 下页 返回 结束 一、对面积的曲面积分的概念一、对面积的曲面积分的概念实例实例 所谓曲面光滑即曲面所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面上各点处都有切平面, ,且且当点在曲面上延续挪动时当点在曲面上延续挪动时, ,切平面也延续转动切平面也延续转动. . . , ),( , 求其质量求其质量函数函数它的面密度为连续它的面密度为连续是光滑的是光滑的若曲面

2、若曲面zyx 上页 下页 返回 结束 类似于第一类曲线积分中曲线形构件质量的讨论类似于第一类曲线积分中曲线形构件质量的讨论, , ),( ),(，改改成成面面密密度度把把线线密密度度zyxyx , iiSs 改改为为小小块块曲曲面面的的面面积积小小曲曲线线弧弧的的长长度度, ),(),(iiiiiii 块曲面上的任一点块曲面上的任一点小小改为第改为第小段曲线弧上的任一点小段曲线弧上的任一点并把第并把第假设把曲线改成曲面假设把曲线改成曲面, , ,),( 连续时连续时当当zyx .),(lim 10 niiiiiSM 曲面的质量曲面的质量上页 下页 返回 结束 1.1.定义定义 记为记为上的曲面

3、积分上的曲面积分在曲面在曲面数数则称此极限为数量值函则称此极限为数量值函极限总存在极限总存在这和的这和的时时最大值最大值如果当各个小块直径的如果当各个小块直径的作和作和点点上任取一上任取一又在又在的面积为的面积为个小块个小块记第记第划分成有限多个小块划分成有限多个小块将将有定义有定义上上在在函数函数是一片光滑曲面是一片光滑曲面设设 , ),( , , 0 ,),( , ),( , , , , . ),( , 21 zyxfSfSizyxfniiiiiiiiiiin Szyxfd),(上页 下页 返回 结束 iiiniiSf ),(lim10 Szyxfd),( 即即积分曲面积分曲面dS 面积元

4、素面积元素积分和式积分和式被积函数被积函数 以上积分也称为第一类曲面积分或对面积以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的曲面积分的曲面积分. .d),(, ),(一定存在一定存在曲面积分曲面积分第一类第一类上连续时上连续时在光滑曲面在光滑曲面当当 Szyxfzyxf上页 下页 返回 结束 二、对面积的曲面积分的性质二、对面积的曲面积分的性质 .d),( d),( , SzyxfSzyxf可可写写成成为为闭闭曲曲面面时时当当 . d , 1),( 的的面面积积是是曲曲面面时时当当 Szyxf则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 .d),(d),(d),(21 SzyxfSzy

5、xfSzyxf对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似上页 下页 返回 结束 三、对面积的曲面积分的计算;dd),(),(1),(,22yxyxzyxzyxzyxfxyDyx Szyxfd),(那么那么按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：, 面面上上的的投投影影在在为为xoyDxy “一投影、二代入、三变换一投影、二代入、三变换dSdS ),(:. 1yxzz 若若曲曲面面化成二重积分化成二重积分上页 下页 返回 结束 ;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(那么那么.1,),(22dydzx

6、xzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若若曲曲面面那那么么),(:.2zxyy 若若曲曲面面“一投影、二代入、三变换一投影、二代入、三变换dSdS 上页 下页 返回 结束 iSyxyxzyxzyxiyxdd),(),(1)(22 yxiiiykkxzz)( ),(),(122 0lim ni 1yxiiiyiixzz)( ),(),(122 0lim ni1yxiiiyiixzz)( ),(),(122 yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22 ),(,(iiiizf ),(,(iiiizf Szyxfd),(而而( 光滑光滑),( yxz0l

7、im 0lim 证明证明: : 由定义知由定义知iiiiSf ),( ni 10lim 上页 下页 返回 结束 截截出出的的顶顶部部被被平平面面是是球球面面其其中中计计算算曲曲面面积积分分)0(,d 2222ahhzazyxzS 解解的方程为的方程为 .222yxaz 例例1 1:xyDxOy面上的投影区域面上的投影区域在在 .| ),(2222hayxyx 圆圆形形区区域域，因为因为dxdyyxaadxdyzzyx222221 dS oxzyhayxD上页 下页 返回 结束 xyDyxayxazS222ddd 所以所以利用极坐标利用极坐标, ,得得22022)ln(212haraa 2002

8、222ddhararra .ln2haa xyDrarar22dd xyO22ha xyD上页 下页 返回 结束 思索思索: :假设假设 是球是球面面2222azyx 被平行平面被平行平面 z =h 截截出的上下两部分出的上下两部分,) (d zS) (d zS0hln4aa那么那么hhoxzy上页 下页 返回 结束 例例2 2 边边界界曲曲面面所所围围成成的的四四面面体体的的整整个个及及是是由由平平面面其其中中计计算算10, 0, 0,d zyxzyxSxyz解解,10, 0, 04321 及及上上的的部部分分依依次次记记为为在在平平面面整整个个边边界界曲曲面面zyxzyx Sxyzd.dd43 SxyzSxyz于是于是 21ddSxyzSxyz如图如图ozyx111上页 下页 返回 结束 ,),(,321均均为为零零被被积积函函数数上上由由于于在在xyzzyxf , 0ddd321 SxyzSxyzSxyz,1,4yxz 上上在在221yxzz 从而从而 Sxyzd,4面上的投影区域面上的投影区域在在是是其中其中xOyDxy 所以所以 4dSxyz,dd)1(3yxyxxyxyD , 3)1()1