第7章 应力状态和强度理论

1、第7章 应力状态和强度理论 构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面上的应力表示。上的应力表示。7.1 概 述1、一点处的应力状态目的：目的：通过应力状态分析求出该点处的通过应力状态分析求出该点处的 max、 max及及其作用面，从而更好地进行强度分析。其作用面，从而更好地进行强度分析。湖南文理学院土木建筑工程系结构教研室湖南文理学院土木建筑工程系结构教研室 单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可

2、用截面法求任一截面上性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。的应力。单元体如何取？单元体如何取？ 在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx、dy和和dz，如下图所示。，如下图所示。dydzdxzxy 对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。2、强度理论 而当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的而当一点处的应力状态较为复杂

3、时，因应力的组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确来确定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起材料破坏的共同因素。定引起材料破坏的共同因素。 关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说，关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说，即称为即称为强度理论强度理论。可根据强度理论来建立强度条件。可根据强度理论来建立强度条件。7.2 平面应力状态应力分析主应力 对图对图a所示悬臂梁上所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分点处单元体上的应力分布（图布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而）可见：有一对平面

4、上的应力等于零，而不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。AF(a) adcbAabdc(b) adcbA 该应力状态则称为平面该应力状态则称为平面应力状态，其单元体可简化应力状态，其单元体可简化为左图所示情形。为左图所示情形。1、斜截面上的应力已知如下图已知如下图a（或图（或图b）所示的一平面应力状态：）所示的一平面应力状态：efanaxyzabcdxy(a) xyyyxxdabcxyxx(b) xxyyyy 可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应力。如图应力。如图b所示，斜截面所示，斜截面ef的外法线与的外

5、法线与x轴间的夹角轴间的夹角为为a a，称为，称为a a截面。截面。应力的正负和斜截面夹角的正负规定：应力的正负和斜截面夹角的正负规定：1）正应力）正应力 拉为正，压为负；拉为正，压为负；2）切应力）切应力 使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负；之为负；3）对）对a a角，角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。线重合时，其值为正；反之为负。 取图取图c所示分离体进行分析。图所示分离体进行分析。图c中所示斜截面中所示斜截面上应力和斜截面夹角均为正。上应力和斜截面夹角均为正。efbyxaaa(c

6、) xy 0n0cossindsinsindsincosdcoscosddaaaaaaaaaAAAAAyyxx 由图由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法所示体元上各面上的力的平衡，参考法线线n和切线和切线t方向可得：方向可得：ntydAsina(d) bfydAsinaadAxdAcosaeadAxdAcosaaaa2sin2cos22xyxyx由此可得，任一斜截面上的应力分量为：由此可得，任一斜截面上的应力分量为： 0t0sinsindcossindcoscosdsincosddaaaaaaaaaAAAAAyyxx其中其中dA为斜截面为斜截面ef的面积。的面积。aaa2cos2sin2x

7、yxMPa7 .6310041050023AFx例：图示圆轴中，已知：圆轴直径例：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉，轴向拉 力力F=500kN，外力矩，外力矩Me=7kNm。求。求C点点a a = 30截面截面上的应力。上的应力。解：解：C点应力状态如图点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：所示，其拉应力和切应力为：(b)Cxxxxxyyy(a)xTFTCFMPa9 .1660sin60cos202030 xxx MPa4 .452cos2sin2030aaxx图示斜截面上应力分量为：图示斜截面上应力分量为：MPa7 .351001610736PeWMxCxxxxxyyy3

8、0n-30-302、应力圆由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：由任一斜截面上应力分量的计算公式可得： aaa2sin2cos22xyxyxaaa2cos2sin2xyx两式两边平方后求和可得：两式两边平方后求和可得：222222xyxyxaa而圆方程为：而圆方程为： 222Rbyax 可见前式实际上表示了在可见前式实际上表示了在 为水平轴、为水平轴、 为垂直为垂直轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：0,2yx半径为：半径为：222xyxR如下图。如下图。 单元体斜截面上应力（单元体斜截面上应力（ a a， a a）和应力圆上点的）和应力圆上点的坐标（坐标（

9、 a a， a a）一一对应，因此可通过确定应力圆上）一一对应，因此可通过确定应力圆上相应点的坐标来求斜截面上应力（相应点的坐标来求斜截面上应力（ a a， a a）。）。 因为圆心一定在因为圆心一定在 轴上，只要知道应力圆上的两轴上，只要知道应力圆上的两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。OC222xyx2yx) ,(aa1）应力图的画法）应力图的画法xxD,1yyD,2已知已知 x、 y、 x、 y，如右图，假定如右图，假定 x y。 在在 、 坐标系内按比例尺确定两点：坐标系内按比例尺确定两点：xxD,1yyD,2dabcefaxy

10、xxnaxxyyyy 以以C为圆心，线段为圆心，线段CD1或或CD2为半径作圆，即为应为半径作圆，即为应 力圆。力圆。 连接连接D1、D2两点，线段两点，线段D1D2与与 轴交于轴交于C点。点。xxD,1yyD,2CxxD,1yyD,2C2）证明）证明对下图所示应力圆可见对下图所示应力圆可见C点的点的横坐标为：横坐标为： 从从D1点按斜截面角点按斜截面角a a的转向转的转向转动动2a a得到得到E点，该点的坐标值点，该点的坐标值即为斜截面上的应力分量值。即为斜截面上的应力分量值。xxD,1yyD,2C2aEOC2FA1B1B2A2D1D2Exyyx12a02aCBOBOC22由于由于CBDCB

11、D1122可得：可得：CBCB12222/212yxyxyBBOBOC因此，因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且点坐标为应力圆圆心坐标，并且22211221122xyxDBBBCD 该线段长度等于应力圆半径。该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆从而证明上述圆确为应力圆。确为应力圆。则：则：另外，另外，E点横坐标为：点横坐标为： aaa2cos2sin2xyxEEFaaaaaa2sin2sin2cos2cos22cos000CECEOCCEOCCFOCOFE可见，可见，E点坐标值即为点坐标值即为a a斜截面上的应力分量值。斜截面上的应力分量值。aaa2sin2cos22xyxyxE即：即：同

12、理可得同理可得E点的纵坐标为：点的纵坐标为： 由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为图解法。图解法。解：按一定比例画出应力圆。解：按一定比例画出应力圆。 0MPa7 .63x 0y MPa7 .35yx例例：用图解法求图示用图解法求图示a a = 30斜截面上的应力值。斜截面上的应力值。因为图示应力状态有：因为图示应力状态有：x30 x=35.7MPax=63.7MP

13、ayn 按一定比例，作出应按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得：的点，量取其坐标可得： MPa1730MPa46307 .357 .63，xD7 .35 0，yD则则x、y截面在应力圆上两点为：截面在应力圆上两点为：EDy(0, 35.7)Dx(63.7,-35.7)60-30-30， )20MPa3、主平面和主应力对图对图a所示应力状态，作出应力圆（图所示应力状态，作出应力圆（图b）。）。0,max1A 0,min2A主平面：剪应力主平面：剪应力 =0的平面；的平面；主应力：主平面上的正应力。主应力：主平面上的正应力。321321可证明：可证明：

14、并规定：并规定：可见：可见：221a01xy(a)ODyDxCA2A12a0(b)；2211OAOA03具体值可在应力圆上量取，即：具体值可在应力圆上量取，即：主平面位置：主平面位置：图图a中中 1主平面的方位角主平面的方位角a a0对应于应力对应于应力 圆（图圆（图b）上的圆心角）上的圆心角2a a0。 主应力值和主应力平面的计算：主应力值和主应力平面的计算： 由图由图b可见，可见，A1、A2两点的横坐标为：两点的横坐标为：11CAOCOA22CAOCOAyxxCBBDa22tan111022122xyxyx22222xyxyx由此可得两个主应力值为：由此可得两个主应力值为：因为因为 1主平

15、面方位角的两倍对应于应力圆上主平面方位角的两倍对应于应力圆上2a a0，而，而 02tanaIV象限。象限。02tana02tana02tana注意：注意：2a a0的值与其所在的象限有关，而其所在象限的值与其所在的象限有关，而其所在象限与计算式中分子、分母的正负有关，即：与计算式中分子、分母的正负有关，即：I象限；象限；II象限；象限；III象限；象限；所以，所以， 1主平面方位角主平面方位角a a0为：为： yxxa2arctan210例例 求图求图a所示应力状态的主应力及方向。所示应力状态的主应力及方向。MPa100 xMPa40 xMPa30yMPa40y40,100 xD 40,30

16、yD解：解：1、应力圆图解法：、应力圆图解法：因为：因为：所以：所以：按一定比例作出应力圆（图按一定比例作出应力圆（图b）。）。yx30MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A12a0(b)MPa403MPa110102163020a 8150a 由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：小关系可得：由此可得：由此可得：主应力单元体以及主平面的方位如图主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：所示： y1a01x(c)2、解析法、解析法 ：MPa11022221xyxyx MPa4022223xyxyx 1383010040222tan0

17、yxxa 163020a02 8150a所以：所以：例：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图例：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和和b所所示，梁的尺寸见图示，梁的尺寸见图c。试通过应力圆求截面。试通过应力圆求截面C上上a、b两点处的主应力。两点处的主应力。解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图d和和e所示：所示： (a) B5 m10 mA250 kNC(b)fza(c) b12015270159(d) FS图M图(e) M(kNm)80 x200 kN50 kNFSx由此可得由此可得C截面处的弯矩和截面左侧的剪力为：截面处的弯矩和截面左侧的剪力为：mkN80CMk

18、N200SCF 又因为横截面的惯性矩和计算又因为横截面的惯性矩和计算a点切应力所点切应力所需的静矩为：需的静矩为：4633m10881227. 0111. 0123 . 012. 0zI36*m102560075. 015. 0015. 012. 0zaS且：且：m135. 0ay由此可得由此可得C截面上截面上a点处正应力和切应力分别为：点处正应力和切应力分别为：MPa7 .122135. 01088108063azCayIMMPa6 .64109108810256102003663*SdISFzzaCa 该点的应力状态如图该点的应力状态如图f所示，选定适当的比例，所示，选定适当的比例，即可绘

19、出相应的应力圆，如图即可绘出相应的应力圆，如图g所示。所示。y(f) yyxxxxxx=122.7MPax=64.6MPay=-64.6MPa/MPa/MPaOA1A2CD1(122.7,64.6)D2(0,-64.6)3max2a0(g) 由应力圆可得由应力圆可得a点处的主应力为：点处的主应力为：MPa150111CAOCOA02且：且：4 .467 .1226 .642arctan20a则则 1主平面的方位角主平面的方位角a a0为：为：2 .230a显然，显然， 3主平面应垂直与主平面应垂直与 1主平面，示意图如下：主平面，示意图如下：MPa27223CAOCOAy31yyxxxxx2

20、.230a对对C截面上的截面上的b点，因点，因yb=0.15m可得：可得：MPa4 .13615. 01088108063bzCbyIM0b 该点的应力状态如图该点的应力状态如图h所示，选定适当的比例，所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图即可绘出相应的应力圆，如图i所示。所示。x=136.5 MPa(h) xyx(i) maxD2(0,0)/MPa/MPaD1(136.4,0)b点处的主应力为：点处的主应力为：MPa4 .1361032 1主平面就是主平面就是x平面，即梁的横截面平面，即梁的横截面C。7.3 空间应力状态的概念 下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况，下图所示单元体

21、的应力状态是最普遍的情况，称为一般的称为一般的空间应力状态空间应力状态。图中图中x平面有：平面有：xzxyx,图中图中y平面有：平面有：yzyxy,图中图中z平面有：平面有：zyzxz, 在切应力的下标中，第一个表示所在平面，第在切应力的下标中，第一个表示所在平面，第二个表示应力的方向。二个表示应力的方向。xyzOdxdydzxyxzxyxyyzzyzzxxyxxzzyzzxyxyyzzxyzxyzyx,一定可找到一个单元体，一定可找到一个单元体，其三对相互垂直的面都其三对相互垂直的面都是主平面。是主平面。321, 空间应力状态共有空间应力状态共有9个分量。个分量。该单元体称为主单元该单元体称

22、为主单元体，主应力分别为：体，主应力分别为： 321xyzOdxdydzxyxzxyxyyzzyzzxxyxxzzyzzxyxyyz 根据切应力互等定理，独立的分量只有根据切应力互等定理，独立的分量只有6个，即：个，即：空间应力状态：空间应力状态：三个主应力都不等于零；三个主应力都不等于零；平面应力状态：平面应力状态：两个主应力不等于零；两个主应力不等于零；单向应力状态：单向应力状态：只有一个主应力不等于零。只有一个主应力不等于零。321xyzOdxdydzxyxzxyxyyzzyzzxxyxxzzyzzxyxyyz考虑图考虑图a所示主单元体中所示主单元体中斜截面斜截面上的应力。上的应力。对与

23、对与 3平行的斜截面：平行的斜截面：下面分析空间应力状态下的下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力最大正应力和切应力。该面上应力该面上应力 a a、 a a与与 3无关，由无关，由 1、 2的应力圆来确定。的应力圆来确定。O321maxBDAmax(c)121332(a)133(b)2aa 同理：同理：和和 2平行的斜截面上应平行的斜截面上应力与力与 2无关，由无关，由 1、 3的应力圆的应力圆确定；确定； 和和 1平行的斜截面上应平行的斜截面上应力与力与 1无关无关，由由 2、 3的应力圆的应力圆确定。确定。O321maxBDAmax(c)121332(a)133(b)2aacab121

24、332(a) 进一步研究表明，一般进一步研究表明，一般斜截面斜截面abc面上应力位于图面上应力位于图c所示的阴影部分内。所示的阴影部分内。O321maxBDAmax(c)1max3min231max max作用面为与作用面为与 2平行，平行，与与 1或或 3成成45角的斜截面。角的斜截面。所以，由所以，由 1、 3构成的应构成的应力圆最大，力圆最大， max出现于该出现于该圆上，且有：圆上，且有：因为：因为：O321maxBDAmax(c)121332(a)解：解： z=20MPa为一主应力，则与该应力平行的斜为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。截面上的应力与其无关。由图由图b

25、所示的平面应力状态来确定另两个主应力。所示的平面应力状态来确定另两个主应力。202040(b)例：用应力圆求图例：用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力最大切应力 max及作用面。及作用面。(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyzO 3 2 1 maxBDAmax(c) 图图b所示平面应力状态对应的应力圆如图所示平面应力状态对应的应力圆如图c。MPa461MPa202MPa263最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。O31ACDyDx(c)Omax321BACDyDx2a0(d)MPa3

26、6max BC最大切应力对应于最大切应力对应于B点的纵坐标，即点的纵坐标，即 作用面与作用面与 2平行而与平行而与 1成成45角，如图角，如图e所示。所示。x(e)321max4517Omax321BACDyDx2a0(d)02231max601402403MPa50231max可求得：可求得：例：对下列图示应力状态，求切应力最大值。例：对下列图示应力状态，求切应力最大值。 =60 =407.4 应力与应变之间的关系1、各向同性材料的广义胡克定律 p时，时，ExEyEzGxxy p1）单向应力状态：）单向应力状态：横向线应变：横向线应变：时，时，2）纯剪应力状态：纯剪应力状态： xxy3）空间

27、应力状态：空间应力状态：; , ,zyx 正负号规定：正负号规定：正应力分量正应力分量同前同前，拉为正、压为负；，拉为正、压为负；切应力分量切应力分量重新规定重新规定，正面正面（外法线与坐标轴指向（外法线与坐标轴指向一致）上切应力分量与坐标轴正向一致，为正。一致）上切应力分量与坐标轴正向一致，为正。 负面负面上切应力分量与坐标上切应力分量与坐标轴负向一致时，切应力为正，反之为负。轴负向一致时，切应力为正，反之为负。六个独立应力分量，六个独立应力分量，zxyzxy , ,xyzOdxdydzxyxzxyxyyzzyzzxxyxxzzyzzxyxyyz正负号规定：正负号规定：正应变分量正应变分量同

28、前同前，拉为正、压为负；，拉为正、压为负；切应变分量以使切应变分量以使直角减小为正直角减小为正，反之为负。，反之为负。对应的六个应变分量，对应的六个应变分量，zxyzxyzyx,zOxyOzxOy,xyzOdxdydzxyxzxyxyyzzyzzxxyxxzzyzzxyxyyz空间主应力状态空间主应力状态叠加原理叠加原理 2方向线应变方向线应变E/ 12 3方向线应变方向线应变E/ 1332111E 1方向线应变方向线应变E/11 2方向线应变方向线应变E/22 3方向线应变方向线应变E/23 1方向线应变方向线应变E/21 2方向线应变方向线应变E/32 3方向线应变方向线应变E/33 1方

29、向线应变方向线应变E/ 31用主应力和主应变来表示用主应力和主应变来表示广义胡克定律广义胡克定律，有：，有：213331223211111EEE21312221111EEE二向应力状态：二向应力状态：, 03设设有有可见，即可见，即使使 3 =0，但但 3 0。与主应力相对应的与主应力相对应的线应变线应变主应变主应变 对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，正应力只引起线应变正应力只引起线应变，切应力只引起切应变切应力只引起切应变，应力，应力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：三个正应力分量单独作用时，三个正应力分

30、量单独作用时，x方向的线应变为：方向的线应变为：ExxEyx Ezx xyzOdxdydzxyxzxyxyyzzyzzxxyxxzzyzzxyxyyzyxzzE1zyxxxxxE 1zxyyE1同理可得：同理可得：则可得：则可得：对切应力分量与切应变的关系，有：对切应力分量与切应变的关系，有：GxyxyGyzyzGzxzx 上述六个关系式即为空间应力状态下，上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性线弹性和小变形条件下各向同性材料和小变形条件下各向同性材料的的广义胡克定律广义胡克定律。对平面应力状态：设对平面应力状态：设 z=0， xz=0， yz=0，有：，有：yxzEyxxE1xyyE1xy

31、xyG112EG而且各向同性材料有而且各向同性材料有例：已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变例：已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为值为 1=24010-6， 3=16010-6。材料的弹性模量。材料的弹性模量E =210GPa，泊松比，泊松比 =0.3。求该点处的主应力值数，。求该点处的主应力值数，并求另一应变并求另一应变 2的数值和方向。的数值和方向。解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：02即为平面应力状态，有即为平面应力状态，有3111E1331E联立两式可解得：联立两式可解得：MPa3 .44101603 . 02403 .

32、011021016293121EMPa3 .20102403 . 01603 . 011021016291323E669312103 .34103 .203 .44102103 . 0E主应变主应变 2为：为：其方向必与其方向必与 1和和 3垂直，沿构件表面的法线方向。垂直，沿构件表面的法线方向。VV每单位体积的体积改变，称为每单位体积的体积改变，称为体积应变体积应变，即：，即：zyxVddd zyxzyxVddd1d1d1d1321321所以：所以：32132121E2、各向同性材料的体应变对图示主单元体，有：对图示主单元体，有：而变形后单元体体积为：而变形后单元体体积为：321dxdzdy

33、可见，任一点处的体积应变与三主应力之和成正比。可见，任一点处的体积应变与三主应力之和成正比。对平面纯剪应力状态：对平面纯剪应力状态：0231；xy因此：因此：021321E 即在小变形条件下，切应力不引起各向同性材料即在小变形条件下，切应力不引起各向同性材料的体积改变，在空间应力状态下，材料的的体积改变，在空间应力状态下，材料的体积应变只体积应变只与三个线应变有关与三个线应变有关，有：，有：zyxE21 例例：讨论图示各应力状态下的体积应变。：讨论图示各应力状态下的体积应变。MPa70321MPa70321因为：因为：所以：所以：2010050(a)408050(b)MPa7021Ea因为：因

34、为：所以：所以：MPa7021Eb可见：可见：ba03210321可见，图可见，图c和和d所示应力状态下无体积应变。所示应力状态下无体积应变。 因为：因为：所以：所以：0c因为：因为：所以：所以：0d134010060(c)(d)例：边长例：边长a =0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已知所示。已知铜的弹性模量铜的弹性模量E=100GPa，泊松比，泊松比 =0.34。当受到。当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。体应变

35、以及最大切应力。解：铜块应力状态如图解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：所示，横截面上的压应力为：yxz(b)yxz(a)Faaa01zyxxE01xyzzE联解可得：联解可得：MPa5 .15112yzxMPa30AFy 受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，零，并产生压应力，即有：并产生压应力，即有：7.25MPa231max利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：则铜块的主应力为：则铜块的主应力为：MPa30MPa5 .15321，由此可得其体应变为：由此可得其体应变为：43211095.

36、121E7.5 空间应力状态下的应变能密度 在线弹性范围和小变形条件下，应变能与加载在线弹性范围和小变形条件下，应变能与加载顺序无关，只取决于外力顺序无关，只取决于外力(变形变形)的最终值。的最终值。VVvdd单位体积的应变能，称为应变能密度，即：单位体积的应变能，称为应变能密度，即：1、单向应力状态dzdydx2222121ddEEVVv zyxzyxyxxzyVddd21ddd21ddzd21ddd21d3322113322112、三向应力状态 比例加载：比例加载：图示主单元体中，图示主单元体中，各面上的应力按同一比例增加直各面上的应力按同一比例增加直至最终值。至最终值。dzdydx213

37、 此时，对每一主应力，其对应的应变能仅与对此时，对每一主应力，其对应的应变能仅与对应的主应变有关，而应的主应变有关，而其它主应力在该主应变上不作其它主应力在该主应变上不作功功，同时考虑三个主应力，有：，同时考虑三个主应力，有：33221121ddVVv由前述广义虎克定律由前述广义虎克定律213331223211111EEE有：有：313221232221221Ev则应变能密度为：则应变能密度为：zyxVdddd而主单元体体积为：而主单元体体积为：32131m3、形状改变比能一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。1=+ 主单元体分解为图示两种单元体的

38、叠加，有主单元体分解为图示两种单元体的叠加，有23(a)mmm(b)2m21m13m3(c)平均应力：平均应力：则体积不变，则体积不变，仅发生形状改变仅发生形状改变(图图c) 。 0321在在 m作用下，作用下，图图b无形状改变无形状改变，且其体积应变同图，且其体积应变同图a，而对图而对图c，因为：，因为： 与此对应，与此对应，图图a的体积改变能密度等于的体积改变能密度等于图图b的应变能密度，的应变能密度，而而图图a的形状改变能密度等于的形状改变能密度等于图图c所示单元体的应变能密度，所示单元体的应变能密度，1=+23(a)mmm(b)2m21m13m3(c) mmmmmmmEE211321而

39、：而：mmmmmmVv3212121211=+23(a)mmm(b)2m21m13m3(c)即即(图图b) ：213331223211111EEE332211d212121v而：而：所以：所以：232121621221323EEvmmmV另外，由另外，由图图c可得可得(仅发生形状改变仅发生形状改变),由应变能密度公式：由应变能密度公式：所以：所以：231232221d61EvdvvvV由两者相加并与图由两者相加并与图a的应变能密度比较的应变能密度比较, 可证明：可证明： 对一般空间应力状态的单元体，应变能密度可对一般空间应力状态的单元体，应变能密度可由六个应力分量和对应的应变分量来表示，即为：

40、由六个应力分量和对应的应变分量来表示，即为：zxzxyzyzxyxyzzyyxxv21请推导单纯由应力分量表示的应变能密度！请推导单纯由应力分量表示的应变能密度！例：证明例：证明12EG解：对图示纯剪应力状态有：解：对图示纯剪应力状态有：Gxxy该单元体的应变能为：该单元体的应变能为：zyxGzyxxzyVxxyxxyxddd2ddd21ddd21d2xyxdzdydxx所以，应变能密度为：所以，应变能密度为：GzyxVvx221ddddx102x3而对纯剪应力状态，其主应力为：而对纯剪应力状态，其主应力为：如左图所示。如左图所示。 而由主应力和主应变表示而由主应力和主应变表示的应变能密度为：

41、的应变能密度为：332211212121vxEE11311xEE11133又由于：又由于：x1x3x1x所以：所以：21121121xxxxxEEEvGExx2122由此可得：由此可得： GE211最后证得：最后证得：12EG结合前式，有：结合前式，有：7.6 平面应力状态下的电测法yxzxyyyxEEE11x一般形式：一般形式：901aaaE 对各向同性材料图示平面应力状态，在线弹性、对各向同性材料图示平面应力状态，在线弹性、小变形条件下，小变形条件下， x、 y与切应变无关，即有：与切应变无关，即有： 由此可见，可通过测量相应的线应变来确定一点由此可见，可通过测量相应的线应变来确定一点的应

42、力状态。的应力状态。xxyy例：已知图示简支梁例：已知图示简支梁C点点45方向的线应变方向的线应变 ，材料的，材料的弹性模量为弹性模量为E，求载荷，求载荷F。其中。其中kIzmaxzS1、已知主应力方向的平面应力状态 只需测出主应力方向上的主应变只需测出主应力方向上的主应变 1、 2即可求即可求得主应力。得主应力。l/32l/3FC45bEEE1113145bkFbISFzz3maxSbkFE31 13bkEF而：而：所以：所以：解：解：C点的应力状态为图示点的应力状态为图示纯剪应力状态。纯剪应力状态。3210，C4531主应力方向如图中红线所示，一主应力方向如图中红线所示，一主应力方向的应变

43、已知，并且主应力方向的应变已知，并且xyyyxEE22x11一般用三个方向上的应变测量来求得应力值，如：一般用三个方向上的应变测量来求得应力值，如：2、主应力方向未知的平面应力状态606060或或： 对下图所示平面应力状态，对对下图所示平面应力状态，对45应变花，应变花，在在x、y方向有：方向有：yxxxy454513545451E并且：并且：利用斜截面应力的计算式可得：利用斜截面应力的计算式可得：xyx2145xyx21135451351351E由此可得：由此可得：4521yxxE21135yxxE或或 由此可见，通过上述三个方向线应变的测量即可由此可见，通过上述三个方向线应变的测量即可求出

44、该点的应力状态。求出该点的应力状态。请推导等边三角形应变花的请推导等边三角形应变花的计算公式！计算公式！例：构件表面某点例：构件表面某点O，实验测得该点沿，实验测得该点沿0与与45的的 正应变分别为正应变分别为 0=45010-6、 45=35010-6，沿，沿90方方位的正应变位的正应变 90=10010-6，已知，已知E=200 GPa， =0.3 ，试求该点处的主应力试求该点处的主应力 。解：显然，有：解：显然，有：6010450 x69010100y64510350由此可得：由此可得：MPa5 .10512yxxEMPa6 .5112xyyEMPa3 .422145yxxE进而可得：进

45、而可得：MPa8 .12822221xyxyxMPa4 .2822222xyxyx7.7 强度理论及其相当应力1 1、概述、概述 maxnjx 1）单向应力状态：）单向应力状态： 图示拉伸或压缩的单向应力状态，材料的破图示拉伸或压缩的单向应力状态，材料的破坏有两种形式：坏有两种形式：塑性屈服：极限应力为塑性屈服：极限应力为2 . 0p或sjx脆性断裂：极限应力为脆性断裂：极限应力为bjx 此时，此时， s、 p0.2和和 b可由实验测得。由此可建可由实验测得。由此可建立如下强度条件：立如下强度条件：maxnjx2)纯剪应力状态：纯剪应力状态：其中其中n为安全系数。为安全系数。 图示纯剪应力状态

46、，材料的破图示纯剪应力状态，材料的破坏有两种形式：坏有两种形式：塑性屈服：极限应力为塑性屈服：极限应力为sjx脆性断裂：极限应力为脆性断裂：极限应力为bjx 其中，其中， s和和 b可由实验测得。由此可建立如下可由实验测得。由此可建立如下强度条件：强度条件： 前述强度条件对材料破坏的原因并不深究。例前述强度条件对材料破坏的原因并不深究。例如，如，图示低碳钢拉图示低碳钢拉(压压)时的强度条件为：时的强度条件为：2maxmax 然而，其屈服是由于然而，其屈服是由于 max引起的，对图示单向引起的，对图示单向应力状态，有：应力状态，有：nnsjxmax依照切应力强度条件，有：依照切应力强度条件，有：

47、ns2maxmaxmaxFFmax来建立，因为来建立，因为 与与 之间会相互影响。之间会相互影响。 研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这就是强度理论的研究内容。就是强度理论的研究内容。sjx与与22ssjxjx相当相当(等效等效)。可见，可见，对图示平面应力状态，对图示平面应力状态，不能分别用不能分别用max3）复杂应力状）复杂应力状态态xx4）材料破坏的形式）材料破坏的形式 塑性屈服型：塑性屈服型：常温、静载时材料的破坏形式大致可分为：常温、静载时材料的破坏形式

48、大致可分为： 脆性断裂型：脆性断裂型：铸铁：拉伸、扭转等；铸铁：拉伸、扭转等；低碳钢：三向拉应力状态。低碳钢：三向拉应力状态。低碳钢：拉伸、扭转等；低碳钢：拉伸、扭转等；铸铁：三向压缩应力状态。铸铁：三向压缩应力状态。例如：例如：例如：例如： 可见：可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关。应力状态有关。 根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不论材料处于何种应力状态，某种类型的破坏都是由论材料处于何种应力状态，某种类型的

49、破坏都是由同一因素引起，此即为同一因素引起，此即为强度理论强度理论。maxl脆性断裂：脆性断裂：maxl塑性断裂：塑性断裂：maxdV5）强度理论）强度理论常用的破坏判据有：常用的破坏判据有： 下面将讨论常用的、基于上述四种破坏判据的下面将讨论常用的、基于上述四种破坏判据的强度理论。强度理论。2、四个常用的强度理论 jx1强度条件：强度条件：1njx1）最大拉应力理论）最大拉应力理论(第一强度理论第一强度理论) 假设最大拉应力假设最大拉应力 1是引起材料脆性断裂的因是引起材料脆性断裂的因素。不论在什么样的应力状态下，只要三个主应素。不论在什么样的应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力力中的最

50、大拉应力 1达到极限应力达到极限应力 jx，材料就发，材料就发生脆性断裂，即：生脆性断裂，即：可见：可见：a) 与与 2、 3无关；无关； b) 应力应力 jx可用单向拉伸试样发生脆性断裂的可用单向拉伸试样发生脆性断裂的 试验来确定。试验来确定。实验验证：实验验证：铸铁：单拉、纯剪应力状态下的破坏与铸铁：单拉、纯剪应力状态下的破坏与该理论相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本该理论相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本相符。相符。存在问题：存在问题：没有考虑没有考虑 2、 3对脆断的影响，无法解对脆断的影响，无法解释石料单压时的纵向开裂现象。释石料单压时的纵向开裂现象。 假设最大伸长线应变假设

51、最大伸长线应变 1是引起脆性破坏的主要是引起脆性破坏的主要因素，则：因素，则：jx1 jx用单向拉伸测定，即：用单向拉伸测定，即：Ejxjx2）最大伸长线应变理论）最大伸长线应变理论(第二强度理论第二强度理论)实验验证：实验验证： a) 可解释大理石单压时的纵向裂缝；可解释大理石单压时的纵向裂缝； b) 铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符；铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符； c) 对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于 安全，但可用。安全，但可用。因此有：因此有：jx321强度条件为：强度条件为：321njx32111E因为：因为：231maxjxm

52、ax 对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是由由45斜截面上的切应力引起的，因而极限应力斜截面上的切应力引起的，因而极限应力 jx可由单拉时的屈服应力求得，即：可由单拉时的屈服应力求得，即：常数2sjx3）最大切应力理论）最大切应力理论(第三强度理论第三强度理论) 假设最大切应力假设最大切应力 max是引起材料塑性屈服的是引起材料塑性屈服的因素，则：因素，则：因为：因为：实验验证：实验验证：c) 二向应力状态基本符合，偏于安全。二向应力状态基本符合，偏于安全。b) 仅适用于拉压性能相同的材料。仅适用于拉压性能相同的材料。由此可得，强度条件为：由此可得，强度

53、条件为：31nsa) 仅适用于拉压性能相同的材料；仅适用于拉压性能相同的材料；b) 低碳钢单拉低碳钢单拉(压压)对对45 滑移线吻合；滑移线吻合；存在问题：存在问题：a)没考虑没考虑 2对屈服的影响，偏于安对屈服的影响，偏于安全，全，但误差较大；但误差较大； 假设形状改变能密度假设形状改变能密度vd是引起材料塑性屈服的是引起材料塑性屈服的因素，即：因素，即： jxvvdds10324）形状改变能密度理论）形状改变能密度理论(第四强度理论第四强度理论)因为材料单拉屈服时有：因为材料单拉屈服时有： jxvd可通过单拉试验来确定。可通过单拉试验来确定。所以：所以： 2d261sjxEv2312322

54、21d61Ev又：又：s2312322212121231232221ns因此：因此：由此可得强度条件为：由此可得强度条件为：实验验证：实验验证：a) 较第三强度理论更接近实际值；较第三强度理论更接近实际值；b) 材料拉压性能相同时成立。材料拉压性能相同时成立。强度理论的统一形式：强度理论的统一形式：r11r3212r313r 最大拉应力最大拉应力(第一强度第一强度)理论：理论： 最大伸长线应变最大伸长线应变(第二强度第二强度)理论：理论： 最大切应力最大切应力(第三强度第三强度)理论：理论： r称为相当应力，分别为：称为相当应力，分别为：231232221421r 形状改变能密度形状改变能密度

55、(第四强度第四强度)理论：理论： 莫尔强度理论：莫尔强度理论：31ctrM7.8 各种强度理论的应用应用范围：应用范围：a) 仅适用于常温、静载条件下的均匀、连续、各仅适用于常温、静载条件下的均匀、连续、各向同性的材料；向同性的材料；b) 不论塑性或脆性材料，在三向拉应力状态都不论塑性或脆性材料，在三向拉应力状态都发生脆性断裂，宜采用第一强度理论；发生脆性断裂，宜采用第一强度理论；c) 对于脆性材料，在二向拉应力状态下宜采用对于脆性材料，在二向拉应力状态下宜采用第一强度理论；第一强度理论；d) 对塑性材料，除三向拉应力状态外都会发生对塑性材料，除三向拉应力状态外都会发生屈服，宜采用第三或第四强

56、度理论；屈服，宜采用第三或第四强度理论；e) 不论塑性或脆性材料，在三向压应力状态都不论塑性或脆性材料，在三向压应力状态都发生屈服失效，宜采用第四强度理论。发生屈服失效，宜采用第四强度理论。52122221例：两危险点的应力状态如图，例：两危险点的应力状态如图， = ，由第三、第，由第三、第四强度理论分别比较其危险程度。四强度理论分别比较其危险程度。(a)(b)解：对图解：对图a所示应力状态，因为所示应力状态，因为52222313r2321222312322214r所以：所以：52122223022132313r2212312322214r对图对图b所示应力状态，有：所示应力状态，有：所以：所

57、以：2234r2243r 可见：由第三强度理论，图可见：由第三强度理论，图b所示应力状态比所示应力状态比图图a所示的安全；而由第四强度理论，两者的危险所示的安全；而由第四强度理论，两者的危险程度一样。程度一样。 注意：注意：图图a所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组合加载对应的应力状态，其相当应力如下：合加载对应的应力状态，其相当应力如下：可记住，便于组合变形的强度校核。可记住，便于组合变形的强度校核。1023s102s3由第三强度理论，有：由第三强度理论，有： sr2313例：利用第三或第四强度理论求纯剪应力状态下屈例：利用第三或第四强度理论求纯剪应力状态下屈服应力服应力 s和