等差数列的性质总结#(精选.)

1、(4)若an、 bn为等差数列，则an b , 1an 2bn都为等差数列等差数列1.等差数列的定义：an an 1 d (d为常数)(n 2);2 等差数列通项公式:an印(n 1)d dn 印 d (n N )首项：a1，公差:d，末项：an推广：an am (n m)d .从而da namn m-4 - / 3word.3. 等差中项(1) 如果a , A , b成等差数列，那么(2) 等差中项：数列an是等差数列A叫做a与b的等差中项.即:2an an-1 an 1( n 2)a b 、. c *a 或 2A a22an 1anan 24. 等差数列的前 n项和公式：Sn n(a1 a

2、n) n 吃dn2 (a1 d)n An2 Bn2 2 2 2(其中A、B是常数，所以当d工0时，S是关于n的二次式且常数项为0) 特别地，当项数为奇数 2n 1时，an 1是项数为2n+1的等差数列的中间项2n 1 印 a2n 1S2n 12n 1 an1 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)5. 等差数列的判定方法(1) 定义法：若an(2) 等差中项：数列 数列an是等差数列(4)数列an是等差数列anand 或 an 1是等差数列kn bAn2anSnd (常数n N)an是等差数列.an-1 an 1 (n 2) 2an 1 anan 2 .an2an(其中k, b是常

3、数)。Bn ,(其中a B是常数)。6. 等差数列的证明方法定义法：若an an 1 d或an 1an d (常数 n N )an是等差数列.7.提醒：(1) 等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意 3个，便可求出其余 2个，即知3求2。(2) 设项技巧： 一般可设通项an a1 (n 1)d 奇数个数成等差，可设为，a 2d,a d,a,a d,a 2d(公差为d )； 偶数个数成等差，可设为，a 3d, a d,a d,a 3d , (注意；公差为2d )8.等差数列的性质：(1)当公差d 0时，等

4、差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a1 d是关于n的一次函数，且斜率为公差d ；前n和Sr,n a1 n(n 1)d2dn2佝2-Jd )n是关于n的二次函数且常数项为0.2(2)若公差d0，则为递增等差数列，若公差d 0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。(3)当m np q时，则有amana paq，特别地，当m n 2 p时，则有aman 2ap.注：a1ana2an 1a3an 2(6)(5)若 an是等差数列，则Sn,S2n S,S3n 务，也成等差数列数列an为等差数列，每隔k(k N )项取出一项(am,am k,am 2k,am 3k,)仍为等差数列(7

5、)设数列an是等差数列，d为公1.当项数为偶数2n时，S奇a1a3a5a2n 1S偶a2a4a6a2nS偶S 奇 nan 1 nann aS奇nananS禺nan 1an 12、当项数为奇数2n 1 时,则n 1S2n 1S 奇S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和， Sn是前n项的和n aia2n 1nanS奇n a2a2n2nan 1an=ndS禺(2n 1) an+i(n 1)an+iS奇SMn an+1(其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项)A(8) an、bn的前n和分别为A、Bn，且 n f(n)，则Bnan (2n 1)an瓦(2n 1)bnA2n 1B2nf (2n 1

6、).1(9)等差数列an的前n项和Sm n，前m项和Sn m，则前m+n项和Sm(10)求Sn的最值方法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n N*。方法二：(1) “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和an 0即当a1 0, d 0,由可得Sn达到最大值时的n值.an 10(2) “首负”的递增等差数列中，前 n项和的最小值是所有非正项之和。an 0即当印 0, d 0,由可得Sn达到最小值时的n值.an 10法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值(或最小值)Sq则其对称轴为n注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法： 基本量法：即运用条件转化