无穷级数整理

1、无穷级数整理无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于 0 2收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给 定的正数，总存在N使得对于任何两个N大于的 正整数m和n，总有|Sm Sn .（即部分和数列收敛）3. 收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运 算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一 个发散级数的和与差必发散.4. 对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收 敛，且其和不变.5. 在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影 响敛散性.（二）数项级数的性质及敛散性判断1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分 和数列有上界

2、，则正项级数收敛.（2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数 Un 1和Vn之间自某项以后成立着关系：存在常数n 1c 0，使 Un cvn（n 1,2,）， 那么Unn 1(i) 当级数Vn收敛时，级数Un亦收敛;n 1'(ii )当级数Un发散时，级数Vn亦发散.n 1推论：设两个正项级数 Un和Vn，且自某项以后Un 和 Vnn 1n 1有r Ve，那么Unn 1(i)当级数£收敛时，级数Un亦收敛;(ii )当级数Un发散时，级数Vn亦发散.n 1- /Un发散时，级数 Vnn 1n 1(3) 比较判别法的极限形式(比阶法)：给定两个正项级数U”和v”，若lim

3、77; l 0，那么这两个 n 1n 1Vn级数敛散性相同(注：可以利用无穷小阶的理 论和等价无穷小的内容)Un亦n 1另外，若10，则当级数 v”收敛时，级数n 1收敛；若l,则当级数Un发散时，级数Vn亦Unn 1Vnn 1发散.常用度量： 等比级数:,当I q 1时收敛，当1时发散;p-级数:，当p 1时收敛，当p 1时发散(p 1时称调和级数）； 广义p-级数：，当p 1时收敛，当P 1时n 2 n In n发散 交错P-级数：（1）V，当p 1时绝对收敛，当n 1n0 p 1时条件收敛（4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数Un，当回仏r 1时级数Un收敛；当 n 1U

4、nn 1皿丛r 1时级数Un发散；当r 1或r 1时需进一步 n Unn 17判断（5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正 项级数Un，设r回曲，那么r 1时此级数必为收n 1敛，r 1时发散，而当r 1时需进一步判断（6）柯西积分判别法：设 u为正项级数，非负n 1的连续函数f（x）在区间a,）上单调下降，且自某项以后成立着关系：f （Un） Un，则级数 Un与积分n 10 f（x）dx同敛散2任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛： 绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； 对于级数Un，将它的所有正项保留而将负项n 1换为0,组成一个正项级数 Vn，其中Vn字；n 12将它的所

5、有负项变号而将正项换为 0,也组成一个正项级数 w，其中w 呼，那么若级数Un绝n 12n 1对收敛，则级数 Vn和Wn都收敛；若级数 Un条n 1n 1n 1件收敛，则级数Vn和Wn都发散. n 1n 1 绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同 若级数U和V”都绝对收敛，它们的和分别为n 1n 1UV.特别地，在上UnVn也绝对收1n 1敛，且和也为UV .注： CnUn Vn，这里6CnUnVnn 1n 1n 1（2）交错级数的敛散性判断U1VnU2Vn 1Un 1V2 UnV1 .（莱布尼兹判别法）：若交错级数(1)n 1Un 满足 Hm Unn 10

6、，且Un单调减少U和V，则它们各项之积按照任何方式排列所构 成的级数也绝对收敛，且和为 述条件下，它们的柯西乘积(即Un Uni)则(1)n1Un收敛，其和不超过第一项， n 1且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值二、函数项级数(一)幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域(1) 柯西-阿达马定理：幂级数a”(x xo)n在x Xo Rn 0内绝对收敛，在X Xo R内发散，其中R为幂级数 的收敛半径(2) 阿贝尔第一定理：若幂级数a(x xo)n在x处n 0收敛，则它必在 x xo I xo内绝对收敛；又若an(x xo)n在x处发散，则它必在|x xo | x

7、o也发 n 0散.推论1：若幂级数anxn在x ( 0)处收敛，则它必 n 0在|x |内绝对收敛；又若幂级数anxn在x ( 0)处 n 0发散，则它必在|x I I时发散.推论2：若幂级数a(x x0)n在x处条件收敛，则 n 0其收敛半径R丨x°|，若又有an 0，则可以确定此幂级数的收敛域.收敛域的求法：令nim需1解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集 2幂级数的运算性质(1) 幂级数进行加减运算时，收敛域取交集， 满足各项相加；进行乘法运算时，有：axnbxna,b, , xn，收敛域仍取交集.n 0n 0n 0 i 0(2) 幂级数的和函数s(x)在收敛域内处处连

8、续，且若幂级数a,(x X0)n在x X0 R处收敛，则S(x)在n 0X。R,X。R内连续；又若幂级数an(x X0)n在x x。R处 n 0收敛，则S(x)在x° R,x° R内连续.(3) 幂级数的和函数S(x)在收敛域内可以逐项微 分和逐项积分，收敛半径不变.3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和(1)常用的幂级数展开： ex 1 x 丄x2丄 xn，x ( , + ).2!n!n 0 n一1- = 1+x+x2+ +xn+ = xn ， X (1,1).1 Xn 05从而，( x)n， J ( 1)nx2n .1 x n 01 X n 0 sin x1X X3!1

9、5X 5!2n 1n X(1) (2n1)!2n 1n X1)-(2n1)! + ). cosx 11 2 X 2!1 4X4!2n(1)禽2n(%, X( , +). ln(1 x)(1)n 1nnD 飞宀(1,1(1 X)X亠2!(1)( n 1)xn, Xn!(1, 1). arcs inx31 X23(2n2n 11)! X(2n)! 2n 1(2MX4n( n!)2(2 n 1)1. arcta nxn 12n 1(1) hX(1)n 1 X0 2n 11.(2)常用的求和经验规律： 级数符号里的部分X可以提到级数外； 系数中常数的幂中若含有n，可以与 并，如将Cn和X"合

10、并为(cx)n ； 对anX"求导可消去an分母因式里的n,对a.x"积的幂合nanXn 0nanXn 0分可消去a”分子因式里的n 1 ； 系数分母含讯可考虑ex的展开，含(2n)!或(2n 1)!等 可考虑正余弦函数的展开； 有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通 过求导发现这个微分方程并求解(二)傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理(本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立) 若f(x)以21为周期，且在1,1上满足:连续或只有有限个第一类间断点; 只有有限个极值点；则f(x)诱导出的傅里叶级数在【I, I上处处收敛.2. 傅里叶级数S(x)与f(x)的关系：

11、f (x)，X为连续点；S(x) 竺卫竺卫，x为间断点；2 f( 1 °)f(l °) M边界点.23. 以2i为周期的函数的傅里叶展开展开：f(x)S(x)an cos2 n 1lbn sinf1 l a0 r if(x)dx(1)在l, l上展开：1l an 1 lf (x) cosdx ；l?1 ln xbnf (x)s indx丨1I(2)正弦级数与余弦级数：奇函数(或在非对称区间上作奇延拓)展开成a°°正弦级数：an °；bnf (x)sindx偶函数(或在非对称区间上作偶延拓) 展开成2 1f(x)dx1 0余弦级数:2 ln x .f (x) cos dx ；l 0l 04一些在展开时常用的积分:(1)0 sin nxdx(1)n1 1 cosnxdx 0;02sin nxdx01 n .cos nxdx sin n 2 (3)xsin nxdx(1)n1nx cosnxdx£ ； x2 cos nxdxn202 ( 1)n n2(4)eaxs inn xdx ea nax(asin nxn cos nx)ax1e cosnxdx a= eax(nsinnx na cos nx)(5