微积分综合练习题及参考答案2

1、综合练习题1（函数、极限与连续部分）1填空题（ 1）函数f x1ln x的定义域是 答案： x22 且 x3 .（ 2）函数f x1ln x224x的定义域是答案：2,11,2（ 3）函数f x2x 24 x7 ，就f x 答案：f xx 23（ 4）如函数f xxsin 3x1,x0 在 x0 处连续， 就 k答案： k1k,x0（ 5）函数f x1x22 x ，就f x答案：f xx21x22 x3（ 6）函数y的间断点是答案： x1（ 7） limxx1xsin 1x答案： 1（ 8）如limsin 4x2 ，就 k答案： k2x0 sin kx2单项挑选题e xe x（ 1）设函数y，

2、就该函数是（）2a奇函数b偶函数c非奇非偶函数d既奇又偶函数答案： b（ 2）以下函数中为奇函数是（）a x sin xe xexb2c ln x1x2 d xx2答案： c（ 3）函数 yxln x x45 的定义域为（）a x5b x4 c x5 且 x0d x5 且 x4答案： d（ 4）设f x1x 21，就f x（）a x x1b x21c x x2d x2 x1答案： c（ 5）当 k（）时，函数f xex2,x k,x0 在 x 00 处连续 .a 0b 1c 2d 3答案： d（ 6）当 k（）时，函数f xx 21,x k ,x0 ，在 x00 处连续 .a 0b 1c 2d

3、 1答案： b（ 7）函数f xx32x3x的间断点是（）2a x1, x2b x3c x1, x2, x3d无间断点答案： a 3运算题x 23x2（ 1） lim2x2xx243x2 x2 x1x11解： lim2limlimx2x4x2 x2 x2x2 x242（ 2） limx9x3 x 22x3x 29x363x142 x3 x3解： lim2limlimx3 x2x3x3 x3 x1x3x2（ 3） lim26 x8x4 x22解： lim x5 x46x8lim x4 x2lim x22x4 x5x4x4 x4 x1x4 x13综合练习题2（导数与微分部分）21填空题（ 1）曲线

4、f xx1在 1,2 点的切斜率是答案： 12（ 2）曲线f xe x 在 0,1 点的切线方程是答案： yx1（ 3）已知f xx33 x ，就 f3 =答案：f x3x 23x ln 3f 3 =27（ 1ln 3（ 4）已知f xln x ，就 fx =答案：f x11， f x =2xxx（ 5）如f xxe， 就 f 0答案： f x2e xxe xf02x2. 单项挑选题（ 1）如f xecos x ，就 f0 =（）a. 2b. 1c. -1d. -2因 f xe xcos xe x cos xe x cos xe x cos xe x sin xe x cos xsin x所以

5、 f0e 0 cos 0sin 01答案： c（ 2）设 ylg2x ，就 d y（）1adxb2x1dxx ln10ln10c dxx1d dx x答案： b（ 3）设 yf x 是可微函数，就df cos 2 x（）a 2 fcos 2 xdxb fcos 2 x sin 2 xd2 x3c 2 fcos 2 x sin 2 xdxd fcos 2x sin 2 xd2x答案： d（ 4）如f xsin xa3 ，其中 a 是常数，就fx（）a cos x答案： c3运算题3a 21b sin x6ac sin xd cos x（ 1）设 yx2 ex ， 求 y 解：y12 xe x1x

6、2 e x 1 x 21e x 2 x1（ 2）设 ysin 4 xcos3 x ， 求 y .解： y4 cos 4 x3 cos2 xsin x4 cos 4 x3 sinx cos2 x（3）设 ye x 12， 求 y .x解： ye x 1122 x1x 2（ 4）设 yxxln cos x ，求 y .解： y13 x 221cos xsin x132xtan x21填空题（ 1）函数 y3 x综合练习题3（导数应用部分）12 的单调增加区间是答案：1,（ 2）函数f xax 21 在区间0, 内单调增加，就a 应满意答案： a02单项挑选题（ 1）函数 y x12在区间 2,2是

7、（）4a单调增加 b 单调削减c先增后减 d 先减后增答案： d（ 2）满意方程f x0 的点肯定是函数yf x 的（）.a极值点b最值点c 驻点d 间 断点答案： c（ 3）以下结论中（）不正确a f x 在 xx0 处连续，就肯定在x0 处可微 .b f x 在 xx0 处不连续，就肯定在x0 处不行导 .c 可导函数的极值点肯定发生在其驻点上.d函数的极值点肯定发生在不行导点上.答案： b（ 4）以下函数在指定区间, 上单调增加的是（）a sin x答案： bb exc x2d 3x3应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m3 的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

8、解：设底边的边长为x m，高为 h m，容器的表面积为y m2；怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小；由已知x 2 h108, h108x 2所以yx24xhx 24x108x 2x 2432x令y2x432x 20 ，解得唯独驻点 x6 ；由于本问题存在最小值，且函数的驻点唯独，所以x6 是函数的微小值点也是最小值点；故当x6 m， h108623 m 时用料最省 .（2）用钢板焊接一个容积为4m 3 底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用2为 10 元/m，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何挑选，可使总费用最低？最低总费用是多少？解：设水箱的底边长为x m，高为 h m，表面积为

9、 s m2，且有 h4x25所以s xs xx 24 xh162 xx 2x 216 ,x令s x0 ，得 x2 .由于本问题存在最小值，且函数的驻点唯独，所以当箱的表面积最小 .x2 m , h1 m 时水此时的费用为s 21040160 （元）（3）欲做一个底为正方形， 容积为 32 立方米的长方体开口容器， 怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m，高为 h m，所用材料（容器的表面积）为y m2；由已知x 2h32,32hx2所以yx24xhx24x32x2x 2128x令y2x128x20 ，解得唯独驻点 x4 ；由于本问题存在最小值，且函数的驻点唯独，所以x4 是函数的微小值点也

10、是最小值点；故当x4 m， h322 m 时用料最省 . 42请结合作业和复习指导中的题目进行复习；综合练习题4（一元函数积分部分）1填空题（ 1）如f x的一个原函数为ln x 2 ，就f x.答案： 2x（ 2）如f xdxsin 2xc ，就f x答案：2cos2 x（ 3）如cosxdx 答案：（ 4）sin xcx 2de2答案： e xc6（ 5）sin x dx答案：sin xc（ 6）如1f xdxf xc ，就f 2x3dx答案：f 2x3c2（ 7）如f xdxf xc ，就xf 1x2 dx答案：1 f 12x 2 c（ 8）1sin1x cos 2 xx 2xdx .答

11、案：（ 9）23deln x 21) dx.dx1答案： 0（ 10） 答案：02 xxed=122单项挑选题（ 1）以下等式成立的是（）a df xdxf xbf xdxf xc d dxf xdxf xddf xf x答案： c（ 2）以下等式成立的是（）aln xdxc dxdd 1 xxb sin xdxd 3 x dxd cos xd3 xx答案： dln 3（ 3）xfxdx（）a.xfxf xcb.xf xcc.1 x2 f 2 xcd. x1 fxc答案： a7（ 4）以下定积分中积分值为0 的是（）1 e xa 1edxx21 e xb1edxx2c x 3cosxdxdx

12、2sin xdx答案： a（ 5）设f x 是连续的奇函数，就定积分af xdx（）-aa 0b0f xdx-aacf xdx0d 20f xdx-a答案： a（ 6）以下无穷积分收敛的是（）asinxdx01bdx1xc1答案： d1 dx xde02 x dx3运算题（ 1）2x110 dx10110111解：2x1) dx 2x21d2x12x1c22（ 2）解：sin 1x dxx2sin 1x dxx2sin 11dxxcos1c xx（ 3）edx x2e x dx2e xcxln 24e40e x 2 dxxln 2解：e 40ex 2 dxln 2 40ex 2d4e x 5e

13、 115ln xdx x= 1 43ex 3ln 201 216312530138解：e 115ln xdx x1e 15ln5 1xd15ln x1 110e5 ln x 211 36171026解：1xex dx01xex dx01xex01ex dx01eex1072 0x sinxdx解：20xsinxdxxcos x 22 cos xdx0sin210x0综合练习题5（积分应用部分）1填空题(1) 已知曲线yf x 在任意点x 处切线的斜率为1，且曲线过x4,5 ，就该曲线的方程是.答案： y2x1(2) 由定积分的几何意义知，a2aa 2x 2 dx =.答案：04(3) 微分方程yy, y01的特解为.答案： ye x(4) 微分方程y3 y0 的通解为.答案： yce 3x(5) 微分方程 y 34 xy 4 y7 sinx 的阶数为答案： 42. 单项挑选题(1) 在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4 ）的曲线为（）a y = x2 + 3b y = x2 + 4c