相似三角形添加辅助线的方法举例(有答案)

1、相似二角形添加辅助线的方法举例例1:已知：如图， ABC中，AB= AC, BD丄AC于D.求证：bC= 2CD AC.A例2 已知梯形 ABCD中，AD / BC , BC =3AD , E是腰AB上的一点，连结 CE(1)如果 CE _ AB , AB = CD , BE = 3AE，求一 B 的度数;be(2)设：BCE和四边形AECD的面积分别为 S和S，且20 =3S2，试求的值AE1AF = AD例3 .如图4-1，已知平行四边 ABCD中，E是AB的中点，3 ，连E、F交AC于G.求AG: AC的值.图4例4、如图45, B为AC的中点，E为BD的中点，贝U AF: AE=D图4

2、-5例5、如图4-7,已知平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD交于0点，E为AB延长线上一点，0E交BC 于 F，若 AB=a，BC=b, BE=c 求 BF 的长.K4-7AB _ BD例6、已知在 ABC中，AD是/ BAC的平分线.求证： AC CD .图4-9 BCAC BCACCE-BC ,"2CD"BC BC2 =2CD- AC.证法二（构造2AC）:如图，在CA的延长线上截取BC CE刚BC2AC即-CD BCCDBC bC2= 2CD-AC.证法三（构造1BC ）:如图，取 BC的中点E,2又 AB=AC, AE丄 BC, / ACE=/ C / AE

3、C=Z BDC=90° ACEA BCD.-BCAC CE AC即2CD BCCDBC B& = 2CD-AC.相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1 :已知：如图， ABC中，AB= AC, BD丄AC于D.求证：bC= 2CD- AC.分析：欲证BC= 2CD- AC,只需证-BC =AC 但因为结论中有“ 2”，无法2CD BC直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅 助线，对其中某一线段进行倍、 分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似.由“ 2”所放的位置不同，证法也不同.证法一（构造2CD）:如图，在 AC截取DE= DC,/ B

4、D丄 AC于 D, BD是线段CE的垂直平分线， BC=BEC=Z BEC,又 AB= AC,/ C=Z ABC. BCEA ACB./ AB= AC, AB= AC=AE/ EBC=90 , 又 BD 丄 AC./ EBC=Z BDC=/ EDB=90°, / E=/ DBC EB3A BDC1证法四（构造 BC ）:如图，取BC中点E,连结2/ BD丄 AC,. BE=EC=EB / EDC=/ C又 AB=AC, / ABC=/ C, ABBA EDC.BC AC 刚 BC AC二J即CD EC CD 1 BC2 BC2= 2CD- AC.CE如果 CE _ AB , ABbe

5、设. BCE和四边形AECD的面积分别为 色和S，且20 =3S2，试求的值AE说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧在解题中方法要灵活，思路要开阔. 例2 .已知梯形ABCD中，(1)解法设 AE =k，贝U BE =3k1 如图，延长BA、CD交于点FAD/BC , BC =3AD ,. BF = 3AF . AF =2k , E 为 BF 的中点又CE _ BF BC =CF，又CF =BF .：BCF为等边三角形 故.B=60解法2 如图A D作DF / AB分别交CE、CB于点G、F 则CE _ DF，得平行四边形 ABFD 同解法1可证得 CDF为等边三角形故.B

6、1 = 60解法3 如图作AF / EC交CD于G，交BC的延长线于F作GI / AB，分别交CE、BC于点H、I贝U CE _ GI，得矩形 AEHGAF /CE . BC 二匹=3 ,CF AE又 BC =3AD. CF 二 AD，故 G 为 CD、AF 的中点以下同解法1可得 CGI是等边三角形故.B = 1 = 60解法4 如图，A作AF / CD，交BC于F，作FG / CE，交AB于G，得平行四边形 AFCD，且FG读者可自行证得 UABF是等边三角形，故.B = 60 解法5 如图4AGCD延长CE、DA交于点F，作AG / CD，分别交BC、CE于点G、H，得平行四边形 可证得

7、A为FD的中点，贝U AH =2k，故仁60得ABG为等边三角形，故.B = 60解法6 如图（补形法），读者可自行证明 CDF是等边三角形，得.B =/F =60=2S（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）(2 )设 S .Bce - 3S，则 2四边形 AECD解法1 （补形法）如图B补成平行四边形 ABCF，连结AC，则DF -2AD设 S.acd =x，则 SACE =2S-x, S cdf =2x5由 S.Abc = S.Acf 得，3s 2s - x = x 2x, x s43Sace = 2s - X s4BESbceAE S ace3s亍s=4解法2（补形法

8、）如图，延长 BA、CD交于点F , Sfad二丄S ABC 9_ S. fadS梯形ABCD5sS FAD S ,8S FECs 2s =821s，8又 S EBC = 3S且 S四边形AECD - S四边形AECG， S.Abg-S梯形 ABCD - 5SEF _ S.fbcBES.BEC设BE =8m，则AE =2m ,EF =7m , BFBE /4AE=15m ,AF = 5m解法3 （补形法）如图D连结AC，作DF / AC交BA延长线于点F 连结FC 则 FAD ABC，故 AB =3AF (1)S.ACD = S.ACF ,S四边形AECDBE _ S BECS.BCEEF S

9、 FECS四边形AECD故2BE =3EF=3( AE AF) =3AE 3AF (2)由（1）、（2）两式得BE =4AE解法4 （割补法）如图-i c即 BE=4连结A与CD的中点F并延长交BC延长线于点G，如图，过E、A分别作高h1、，则CG = ADS EBCS 'ABG1 BC h2 ,1 BG h22又匹仝BG 4h2BE J，故AB 5耳4AE说明似三角形.本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相AF AD4-1，已知平行四边 ABCD中，E是AB的中点，3，连 E、F 交 AC 于 G.求 AG: AC例3.如图C图4-1解法1

10、 :延长FE交CB的延长线于 H,/ 四边形 ABCD是平行四边形，AD仏BC/ H=Z AFE,Z DAB=Z HBE又 AE=EB AEFA BEH,即卩 AF=BH,AF -1AD AF -1BCAFCH3,3 ，即 4AD/ CH, / AGF=Z CGH, / AFG=Z BHE,AG: GC=1: 4,. AG: AC=1: 5. AFG CGHAG: GC=AF: CH,解法2 :如图42，延长EF与CD的延长线交于 M,由平行四边形 ABCD可知，AB/DC，即ab/ MC,C图4-21 AF =丄 ADAF: FD=AE MD, AG: GC=AE MC./3, AF: FD

11、=1: 2,AE: MD=1 : 2.1 1AE AB DC22. AE: MC=1 : 4,即卩 AG: GC=1: 4,AG: AC=1: 5例4、如图45, B为AC的中点，E为BD的中点，贝U AF: AE=D解析：取 CF的中点G,连接BG.t B为AC的中点， BG: AF=1: 2,且 BG/ AF,又 E为 BD 的中点， F为DG的中点.EF: BG=1: 2.故 EF: AF=1: 4,. AF: AE=4: 3.例5、如图4-7,已知平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD交于0点，E为AB延长线上一点，0E交BC 于 F，若 AB=a，BC=b, BE=c 求 BF

12、的长.A解法1 :过0点作0M / CB交AB于M ,/0 是 AC 中点，0M / CB,MB =丄 a M是AB的中点，即2,1 1 0M =BC = b 0M是厶ABC的中位线，22且 0M / BC,Z EFB=Z E0M,Z EBF=/ EM0.BF _ BE BEFA MOE,. 0M EM ,1 b 即2abc+ cBF =2, a 2c.解法2 :如图4-8,延长E0与AD交于点G,则可得 AOGA C0F,DCGB图4-8BF BEBFAG=FC=b-BF T BF/ AG,. AG AE .即 b - BF a+cBF cb a 2cBFbca 2c .BF解得bca +2

13、c.BF BE解法3:延长EO与CD的延长线相交于 口则厶BEF与厶CNF的对应边成比例，即 CF CN .AB _ BD例6、已知在 ABC中，AD是/ BAC的平分线.求证： AC CD .分析1比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题， 常应注意平行线的作用，在没有平行线时,可以添加平行线而促成比例线段的产生此题中AD ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段， 再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决.证法1 :如图49，过C点作CE/ AD,交BA的延长线于 EE图4-9

14、BD BA在厶 BCE中，T DA/ CE, DC AE又 CE/ AD,./ 仁 / 3,/ 2=7 4,且 AD平分/ BAC,/ 仁/2，于是/ 3=/ 4,BD _ AB AC=AE代入式得DC AC .分析2由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点 D作平行线.证法2 :如图410,过D作DE/ AC交AB于E,则/ 2=/ 3./ 仁/2, / 1 = / 3.于是EA=EDBE _ BDAB_ BE_ BEAB_ BD又 EA DC ,ACEDEA , ACCD分析3 欲证式子左边为 AB: AC,而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到与AC平行的位置.证法3

15、:如图411,过B作BE/ AC,交AD的延长线于 E,则/ 2=Z E图4-H/ 仁/2 ,/ 仁/E, AB=BEBD _ BEAB _ BD又 DC AC , AC CD .分析4由于AD是/ BAC的平分线，故可过 D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证.证法4 如图412,过D点作DE/ AC交AB于E, DF/ AB交AC于F.易证四边形AEDF是菱形.贝U DE=DF.BD _ BE _ BE由厶 BDEA DFC,得 DC DF DE .BE _ ABAB _ BD又DE AC , AC DC .仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use

16、only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pas s comrrterdesento员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 员 ex.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Stud