广州市高考备考冲刺阶段训练材料数学试题含详解

1、20xx年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料（理科）说明：1本训练题由广州市中学数学教学争论会高三中心组与广州市高考数学争论组共同编写，共 41 题，请各校老师依据本校同学的实际情形挑选使用2本训练题仅供本市高三同学考前冲刺训练 用，期望在5 月 31 日之前完成3本训练题 与市高三质量抽测 、一测 、二测 等数学试题在内容上相互配套， 互为补充 四套试题掩盖了高中数学的主要学问和方法 因此， 期望同学们在 5 月 31 日至 6 月 6 日之间， 支配一段时间， 对这四套试题进行一次全面的回忆总结， 同时， 将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍期望同学们保持良好的

2、心态，在高考中稳固发挥，考取抱负的成果！1已知函数f x23 sin xcos x4sin 2 xa 的最大值为 14（）求常数a 的值；（）求函数f x的单调递增区间；（）如将f x的图象向左平移个单位，得到函数6g x的图象，求函数g x在区间0, 上的最大值和最小值22某同学用 “五点法 ”画函数f xasinx 0, | 在某一个周期内的图象时，2列表并填入了部分数据，如下表：x0232 25x36a sinx0550（）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f x的解析式；（）将yf x图象上全部点向左平行移动0 个单位长度，得到yg x 的图象 . 如yg x 图象的一个对称中心为5

3、, 0，求的最小值 .123已知 abc中，内角a，b， c满意 3 sin bcosb3 sin ccosc4 cosb cosc（）求角 a 的大小；（）如 sinb=psinc ，且 abc是锐角三角形，求实数p 的取值范畴4如图，某市拟在长为8km 的道路 op 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线 段 osm ，该曲线段为函数y=asinxa>0,>0 x0,4 的图象，且图象的最高点为s3， 23 ；赛道的后一部分为折线段mnp ，为ys23m保证参赛运动员的安全，限定mnp=120 on（i ）求 a ,的值和 m ， p 两点间的距离；p（ii ）应如何设计

4、，才能使折线段赛道mnp 最长？o348x5 在abc 中 ， 点 m 是 bc 的 中 点 ，amc 的 三 边 长 是 连 续 的 三 个 正 整 数 ， 且tanctan1.bam（）判定abc 的外形；（）求bac 的余弦值 .6 如图，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于a ， b 两点（） 假如tan3 ， b 点的横坐标为5，求 cos的值；413（） 如角的终边与单位圆交于c 点，设角、的正弦线分别为ma 、nb、pc，求证：线段ma 、nb、pc 能构成一个三角形；（iii ）探究第（） 小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？如是，求出该定值；如不是，请说明理由.

5、7等差数列an中，a24 ， a4a715 （）求数列an的通项公式；（）设 bn2an 2n ，求b1b2b3b10 的值8设数列（）求an的前 n 项和为 an的通项公式；sn ，满意1qsnqan1，且 q q10（）如s3 ，s9 ， s6 成等差数列，求证：a 2 ，a8 ， a5 成等差数列9已知数列 an的前 n 项和为sn ，且满意2snn2 ,nn n（）求数列 an 的通项公式；（）设 bn2an , 12an 1n, nan 2 2k 2k.1,（ kn），求数列 bn 的前2n 项和 t2n 10已知数列 a 的前 n 项和为s nn * ，且满意 as2n1（）求数列

6、 an 的通项公式；nnnn（）求证：11112 a a22 a a2n a a31 22 3nn 1111已知首项为 2的等比数列 an 是递减数列，其前n 项和为 sn，且 s1a1，s2 a2， s3 a3成等差数列（）求数列 an 的通项公式；（） 如 b a ·，求满意不等式tn 21 的最大 n 值nnlog 2an ，数列 bn 的前 n 项和为 tnn 21612已知bn为单调递增的等差数列，b3b826,b5b6168 ,设数列an满意2 a122 2 a23 a2n a2bn23n 求数列 求数列bn的通项；an的前 n 项和 sn；13有甲乙两个班进行数学考试，

7、依据大于等于85 分为优秀， 85 分以下为非优秀统计成果后，得到如以下联表优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知在全部105 人中随机抽取1 人为优秀的概率为2 7（）请完成上面的列联表；（）依据列联表的数据，如按95的牢靠性要求，能否认为“成果与班级有关”；（） 如按下面的方法从甲班优秀的同学抽取一人： 把甲班 10 名优秀的同学按 2 到 11 进行编号，先后两次抛得一枚骰子，显现的点数之和为被抽取的序号试求抽到 6 号或 10 号的概率参考公式：附： k2pk2 k00 100 050 0100 005k02 7063 8416 6357 879n（ad bc）2（ a b）（

8、c d）（ a c）（ b d）14 已知 2 件次品和3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时检测结果（）求第一次检测出的是次品且其次次检测出的是正品的概率;（）已知每检测一件产品需要费用100 元，设x 表示直到检测出2 件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 x 的分布列和数学期望15某商场举办有奖促销活动，顾客购买肯定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、 6 个白球的甲箱和装有5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出1 个球，在摸出的 2 个球中，如都是红球，就获一等奖

9、；如只有1 个红球，就获二等奖；如没有红球，就不获奖（）求顾客抽奖1 次能获奖的概率；（）如某顾客有3 次抽奖机会，记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为x ，求 x 的分布列，数学期望及方差16甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70 元，每单抽成2 元；乙公司无底薪， 40 单以内 含 40 单的部分每单抽成4 元，超出 40 单的部分每单抽成6 元假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 100 天的送餐单数，得到如下频数表：（）现从甲公司记录的这100 天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40 的概率；（）如将频率视为

10、概率，回答以下问题：（）记乙公司送餐员日工资为x 单位：元 ,求 x 的分布列和数学期望；（）小明拟到甲、 乙两家公司中的一家应聘送餐员，假如仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学学问为他作出挑选，并说明理由17从某企业的某种产品中抽取500 件， 测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（i ）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x ,中位数和样本方差s2 （同一组数据用该区间的中点值作代表） ；（）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值z 听从正态分布n ,2 ，其中近似为样本平均数x ，2 近似为样本方差s2 i 利用该正态分布，求p187.8z21

11、2.2 ；（ii ）某用户从该企业购买了100 件这种产品， 记 x 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间（ 187 8,212 2）的产品件数，利用（i ）的结果，求ex 附：150 12 2如 z n ,2 ，就 pz =0 6826， p2z2 =0954418 第 31 届夏季奥林匹克运动会将于20xx 年 8 月 5 日 21 日在巴西里约热内卢举办下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）第 30 届伦敦第 29 届北京第 28 届雅典第 27 届悉尼第 26 届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（）依据表格中两组数据

12、完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图， 并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度 （不要求运算出详细数值， 给出结论即可）；（） 甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必需在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为4，丙猜中国代表团的概率为53，三人各自猜哪个代表团5的结果互不影响现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为x ，求 x 的分布列及数学期望ex 中国俄罗斯1234519 如图，五面体abcdef中，底面abcd 为矩形， ab=6 ， ad=4 顶

13、部线段ef平面abcd ，棱 ea=ed=fb=fc=62 ， ef=2 ，二面角f bca 的余弦值为17 17（）在线段bc 上是否存在一点n，使 bc 平面 efn ；（）求平面efb 和平面 cfb 所成锐二面角的余弦值20如图 1，在 rtd 的中点，连接c中，并延长交c90 ，c 于 f ，将cd60沿，d2 ， d 、折起，使平面分别为dc 、平面cd ，如图 2 所示 求证：平面cd ；（）求平面f 与平面dc所成的锐二面角的余弦值；（）在线段f 上是否存在点使得/ 平面dc ？如存在，请指出点的位置；如不存在，说明理由21如图， 在三棱柱abca1b1c1 中，侧面abb1

14、a1 为矩形，abbc1, aa12, d 为aa1 的中点， bd 与ab1 交于点o, bcab1 （）证明：cdab1 ；（）如 oc3，求二面角3abcb1 的余弦值22如图，在四棱锥p abcd 中，pd平面 abcd ，四边形 abcd 是菱形，ac=2 ，bd=2，e 是 pb 上任意一点（）求证： ac de；（）已知二面角a pb d 的正切值为6 ，如 e 为 pb3的中点，求ec 与平面 pab 所成角的正弦值23如图，四边形pcbm 是直角梯形，pcb900, pm/ / bc, pm1,bc2,又ac1,acb120 , abpc ，直线 am 与直线 pc 所成的角

15、为60（）求证：pcac ；（）求二面角macb 的余弦值；（）求点b 到平面 mac 的距离24已知矩形a1 abb1 ，且 ab2aa1， c1 ,c分别是a1 b1 、 ab 的中点， d 为 c1c 中点，将矩形a1 abb1沿着直线c1c折成一个 60 o 的二面角，如下列图（）求证：ab1 a1 d ；（）求ab1 与平面a1b1d 所成角的正弦值1aaaa1dccc1c1b1bbb125 f 以抛物线p ：（i ）求圆 f 的方程；y24x 的焦点 f 为圆心，且与抛物线p 有且只有一个公共点（）过点m 1,0作圆 f 的两条切线与抛物线p 分别交于点a, b 和 c , d ，

16、求经过a, b,c , d 四点的圆 e 的方程26如图，已知圆e : x32y216 ，点f 3,0， p 是圆 e 上任意一点线段pf的垂直平分线和半径pe 相交于 q （）求动点q 的轨迹的方程；（）已知a, b, c 是轨迹的三个动点， a 与 b 关于原点对称， 且 | ca | | cb| ，问 abc的面积是否存在最小值？如存在，求出此时点c 的坐标，如不存在，请说明理由27已知中心在原点o，焦点在x 轴上，离心率为的椭圆过点（，）（）求椭圆的方程；（）设不过原点o 的直线 l 与该椭圆交于p，q 两点，满意直线op， pq， oq 的斜率依次成等比数列，求opq 面积的取值范畴

17、28已知积为a, b 的坐标分别为2, 0 ， 2, 0 直线34ap, bp 相交于点 p ，且它们的斜率之（ ）求点 p 的轨迹方程；（ ）设 q 的坐标为1,0,直线 ap 与直线 x2 交于点 d ，当直线 ap 绕点 a 转动时，试判定以 bd 为直径的圆与直线pq 的位置关系，并加以证明29已知函数f x =e xx2 mx + 1 （）如m 2,2，求函数y = f x 的单调区间；（） 如 m 0,12请写出判定过程，就当x 0, m + 1 时，函数y = f x 的图像是否总在直线y = x 上方 .30已知函数f x = x 2 axa 0，gx = ln x，f x 图

18、象与x 轴异于原点的交点m 处的切线为l1 ， gx 1 与 x 轴的交点n 处的切线为l2，并且l 1 与 l 2 平行 求 f （）的值； 已知实数t r，求 u = x ln x，x 1, e 的取值范畴及函数y = f xgx + t ，x 1, e 的最小值； 令 f x = gx + gx，给定x1、x2 1,+， x1 < x2，对于两个大于1 的正数、，存在实数m 满意= mx1 + 1 m x2，= 1 m x1 + mx2，并且使得不等式| f f |< | fx1 fx2 | 恒成立，求实数m 的取值范畴31设f x =sin xx， x 0, e2 求 f

19、x 的单调区间； 证明f x x 恒成立； 设 x1、x2 0, 2 ，p、q > 0， p + q = 1，求证 : f px1 + qx2pf x1 + qf x2 k32定义：如f xx在 k,+ 上为增函数，就称f x 为“ k 次比增函数 ”，其中kn * ，已知f x = e ax 其中e = 2 71238 如 f x 是“ 1 次比增函数 ”，求实数a 的取值范畴； 当 a =12 时，求函数gx =f xx在 m,m + 1 m > 0上的最小值； 求证：11+2 +e2e13 +3e1n <ne72e 33设函数f x = x 2 a2 x a ln x

20、求函数f x 的单调区间； 如函数f x 有两个零点，求满意条件的最小正整数a 的值； 如方程f x = c 有两个不相等的实数根x1、 x2，求证： fx1 + x 2 > 0 m 34已知函数f x = ln x 2x22 + xmr 1 当 m > 0 时，如f xmx 2 恒成立，求m 的取值范畴； 当 m = 1 时，如f x1 + f x2 = 0 ，求证： x1 + x23 135如图， a，b， c，d 四点在同一圆上，ad 的延长线与bc 的延长线交于e 点，且 ec ed （i ）证明： cd ab；（ii ）延长 cd 到 f ，延长 dc 到 g，使得 ef

21、eg ，证明： a， b， g，f 四点共圆36如图， ab 是圆 o 的直径，弦 cdab 于点 m ， e 是 cd 延长线上一点，ab10 ，cd8 ， 3ed4om ， ef 切圆 o 于 f ， bf 交 cd 于 g （）求证：efg 为等腰三角形；（）求线段mg 的长37如下列图，已知圆o 外有一点 p ，作圆 o 的切线 pm ， m 为切点，过 pm 的中点 n ，作割线 nab ，交圆于 a 、 b 两点，连接pa 并延长，交圆o 于点 c ，连接 pb 交圆 o 于点d ，如 mcbc （）求证：apmabp ；（）求证：四边形pmcd 是平行四边形38已知曲线 c 的极

22、坐标方程式2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是（）求曲线c 的直角坐标方程和直线l 的一般方程；x3 tm 2y1 t2，（ t 为参数）（）设点p m,0，如直线l 与曲线 c 交于两点a, b ，且 | pa | | pb |1，求实数m 的值39在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆c 的极坐标方程为2cos，0, 2（）求 c 的参数方程（）设点d 在 c 上， c 在 d 处的切线与直线l : y3x2 垂直，依据（）中你得到的参数方程，确定d 的坐标40已知 a ， br ，f x

23、x2x1 （）如f x0 ，求实数x 的取值范畴；（）对br ，如 ababf x恒成立，求a 的取值范畴41设f x| x2 | 2 x1|m （）当 m5 时，解不等式f x0 ；（）如f x3对任意 xr恒成立，求实数m 的取值范畴220xx年广州市高考备考冲刺阶段数学学科 理科 训练材料参考答案1解：（）fx3 sin2 x2sin 2 xa3 cos 2 xsin 2 xa2 sin2 xa13（）由2k2x232a1，a12k，解得25kx1212k，所以函数的单调递增区间5k,k 1212, kz（）将 fx 的图象向左平移个单位，得到函数6g x 的图象，g xfx6x0,2

24、x2 sin 2 x622, 512 sin 2x213323332223当 2 x时， sin 2x， g x取最大值31当 2 x33323时， sin2 x2 32321 ， g x取最小值 -3.2解：（）依据表中已知数据，解得a5,2,.数据补全如下表：x026322x123751312612asinx05050且函数表达式为f x5sin2 x .（）由（）知6f x5sin2 x ，得6g x 5sin2 x2 .6由于 ysin x 的对称中心为k, 0 ， kz .令 2 x2k，解得6x k， kz .212由于函数y g x 的图象关于点 5 0,12成中心对称，令k5，

25、21212k解得， kz . 由0 可知，当 k 231 时，取得最小值.63解：（）由 3 sin bcosb3 sin ccosc4 cosb cosc 得3sin b sin ccosb cosc3 sin b cosc3 sin c cosb4 cosb cosc3 sin bc3cosbc , 就tanbc3 即 tan a3q a0,a3（）psin b sin csin120 oc sin c312 tanc2 abc 为锐角三角形，且a3ctan c3 , 6231p224解：（）依题意，有a 23 ， t 43 ，又 t2，；622y2 3 sinx当x 64 时，y23 s

26、in 233m 4, 3又 p 8,0mp435（）在 mnp中 mnp=120 °， mp=5 ，设 pmn=，就 0° <<60 °由正弦定理得mpnpmnnp103 sin,mn103 sin60 0sin120 0sinsin60 033故 npmn103 sin 31033osin 601033 sin 60o0° <<60°，当=30 °时，折线段赛道mnp 最长；亦即，将pmn 设计为 30°时，折线段道mnp 最长5解：设bam,mac, 就由tanctan1bam得 cosc0 ，o

27、就 c90b 90abm中，由正弦定理得bmam,即 sin bam .同理得sin cam ,sinsin bsinmbsinmcmbmc ,sin b sinsin c , sinsinsin csinsin bc90 ,b90 ,sincossincos即 sin 2sin 2,或9001当90 时 ， ambcmc , 与amc 的三边长是连续三个正整数冲突，2,bc ，abc 是等腰三角形；22（ii ）由（）得，就amc为直角三角形， 设两直角边分别为n,n1, 斜边为 n1,2由 n1nn1得 n=4 或 0（舍）得 amc 三边长分别为3、4、5故 cos= 453或 cos=

28、 5所以cosbac = cos2= 2 cos2 1 = 2× 45 2 1 =725或 cos bac = 2 × 352 1 = 7256解：（）已知是锐角，由tan3 ，得4sin3 ，cos 54 ， 又 cos 55，且是13锐角，所以sin12 13所以 coscoscossinsin453121651351365（）证明：依题意得，masin， nbsin， pcsin由于，0，所以 cos0,1 ， cos0,1 ，于是有2sinsincoscossinsinsin，又+0,1cos+1 ，sinsinsin coscos sinsinsin，同理， si

29、nsinsin，由，可得，线段 ma、nb、pc 能构成一个三角形.（iii ）第（）小题中的三角形的外接圆面积是定值，且定值为.4不妨设a b c 的边长分别为sin、sin、sin，其中角 a 、 b 、 c的对边分别为sin、sin、sin.就由余弦定理，得：cosasin2sin2sin2 2sinsinsin2sin2sin2cos2cos2sin22sincoscossinsin2sin2sin2sin22sinsin2sincoscossin2sinsinsinsincoscoscos由于，0，所以0, ，所以 sin a2sin ，设a b c 的外接圆半径为r，由正弦定理，

30、得 2rb csin asinsin1 ， r1 ，2所以a b c 的外接圆的面积为.47解：（）设等差数列 an 的公差为d由已知得a1d4，解得a13a13da16d15d1所以 an a1 n 1d n 2（）由（）可得bn 2n n，所以b1 b2 b3 b10 2 1 22 2 23 3 210 10 2 22 23 210 1 2 3 102（1 210）1 2（ 110） ×10 2 211 2 55 211 53 2 1018解：（）当n1 时，由 1 q s1qa1 1，得 a1 1 当 n2时，由 1qsnqan 1，得 1 qsn1 qan 1 1，两式相减得

31、an qan1，即anq ，an 1又 q q 1 0，所以 q 0，且 q 1，所以 an 是以 1 为首项， q 为公比的等比数列，故a1 anq qn 1n1 a3q1a6q21 a9q（）由（）可知sn，又 s3 s6 2s9，得1 q1 q1 q，1 q化简得 a3 a6 2a9，两边同除以q 得 a2 a5 2a8故 a2， a8， a5 成等差数列9解：（）当 n1 时，由2s1112 ，得 a0 1当 n2 时， 2a2s2snn2 n1) n12 22n ，nnn 1an1n（ n2 ）， a1011， an1n （）2211,1an 1an 2 nn2nn2 t2nb1b3

32、b2n1 b2b4b2n 2 02 22 2 2n 11 11 11 24462n1 n2n241111141 n11122n24634.2n2310解：（） ansn2n1 ，令 n1 ，得2a13 ， a12 as2n1， as2n11， n2, nn * nnn 1n 1两式相减，得2anan 12 ，整理 an11an 12a21 a2 ，n2nn 1211数列 an2 是首项为 a12，公比为2的等比数列2 an2 1 n ， a 2212nn112n 111nn1（）2n a a2n 1n 22 n1212 n 112 n 212n 112n 212 n2n 11112 a a22

33、 a a2n a a1223nn11111112 21231231421n211n22 111132n 213111解：（）设等比数列 an 的公比为q，由题知a1 2， s1 a1， s2 a2，s3a3 成等差数列，2s2a2s1a1 s3 a3，变形得 s2 s1 2a2 a1 s3 s2 a3，即 3a2 a1 2a3，q31 q2，解得 q 1 或 q221，又21 an 为递减数列，于是q2， a an11 nn1q 2（） bn an· log 2an n· 1 n ，2 tn 11 +221 2 +2n1 1 n 12n 1 n 212 tn 1 1 2 +

34、22 1 3 +2n1 1 n2n 1 n 1 2两式相减得：11tn +221 1 2 +21 n 1 n2n 1 n 1 21 21 212n 1 n 12 n2 1 n 112tn n2 1 n22tn 2 n 21 2n116，解得 n4， n 的最大值为412解：（）解 法 1： 设 bn的公差为 d ，bn为单调递增的等差数列d0 且 b6b5b3由b5b6b826得168b5 b5b6b626b512解得168b614db6b52bnb5 n5d122n52n2bn2n2解法 2：设bn的公差为 d ，bn为单调递增的等差数列d0b3b8由262b19 d26得b14解得b5b6

35、168b14db15d168d2bnb1n1d42n12n2bn2n2（）2bn22 n 24n 1由 2a22 a23 a2n 1 a2n a2bn123n 1n得 2a22 a23 a2n 1 a2bn 1n123n 1-得2n anb14 n 14n34n ， n28an3n12, n2又a18 不符合上式2an32nn22n 1当 n2 时, sn8322232n832121232n 14s18 符合上式sn32 n 14 , nn *13解：（）列联表如下：优秀非 优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105（2）依据列联表的数据，得到k 21051030204526.

36、1093.84155503075因此有 95的把握认为“成果与班级有关”（3）设“抽到 6 或 10 号”为大事 a ，先后两次抛掷一枚匀称的骰子，显现的点数为 （ x ，y ），全部的基本领件有36 个，大事a 包含的基本领件有： （ 1,5）、（2,4）、（ 3,3）、（ 4,2）、（ 5,1）、（4,6）、（ 5,5）、（ 6,4）共 8 个，82p a.36914解：（）记“第一次检查出的是次品且其次次检测出的是正品”为大事a p a112a a323a510（） x 的可能取值为200,300,400 a21a3c1c a123p x2002a2510p x3 0 0 3232a3510p x4001p x200p x3001136101010故 x 的分布列为x200300400p136101010ex200130034006350 10101015解：（）记大事a1从甲箱中摸出的1 个球是红球 ， a2从乙箱中摸出的1 个球是红球，b1顾客抽奖1 次获一等奖 ， b2顾客抽奖1 次获二等奖 ，c 顾客抽奖1 次能获奖，由题意，a1 与a2 相互独立，a1 a2 与a1 a2 互斥，b1 与 b2 互斥，且 b1a1 a2 ， b2a1 a2a1 a2 ，