平面几何中最值问题的探究

1、    平面几何中最值问题的探究    魏华摘要：当研究某几何元素在题中给定的条件下动时，求某个量的最大值或者最小值被称作平面几何的最值问题。常见模型有：两点之间线段最短；垂线段最短；两边之差小于第三边；利用勾股定理其中一边为定值，求一边最大即求另一边最小；“将军饮马问题”“隐形圆问题”。关键词：几何最值；平面几何；隐形圆；几何模型；最小值中图分类号：g633.6文献标识码：a文章编号：1992-7711（2021）15-0101一、课题解读当我们研究平面几何的运动问题时，某元素在给定的条件下动时，求某个量的最大值或者最小值被称作平面几何的最值问题。线段

2、的长短，图形的周长、面积，角的度数，线段和差都可以是这个几何量。这类问题可以以初中课本所学的特殊三角形、四边形、圆、平面直角坐标系为背景，可以把方程、不等式、函数等重要知识联系在一起考查。近几年与隐形圆的结合使考题变得更综合且具有挑战性。它能较全面地考查一个学生的应变能力、分析问题及实践操作解决问题的能力还有空间想象能力。最值问题常见有两类：1.函数解法，建立一个函数关系式，利用函数特有的增减性结合背景条件给定的范围求最值；2.几何解法，将题目中的几何最值问题转化成我们常见的几何模型，常见的模型有：两点之间线段最短；垂线段最短；两边之差小于第三边；利用勾股定理其中一边为定值，求一边最大即求另一

3、边最小；“将军饮马问题”“隐形圆问题”。题目中至少有一个动点是最值问题的必要条件，因为在动的过程中才会出现极限位置也就是我们说的最值。比如饮马问题，折点就是那个必须存在的动点，并且它的运动轨迹是一条直线，只要能发现这个模型，就可以作一个定点的对称点，利用基本事实“两点之间线段最短”求解即可。当然，点的运动轨迹是可以变的，比如，当点p的运动轨迹是一个圆或圆弧时，也就是本文重点要研究的“隐形圆求最值”了。二、方法探究1.常见类型（1）点在圆周上动，研究它到圆外（或圆内）一定点的最值：利用圆特有的性质，若点g是圆外一定点，连接点g和圆心交圆于p、m两点，则pg、mg为最小和最大值。（2）点在圆周上动

4、，研究它到圆外一直线距离的最值：过圆心作定直线的垂线垂足为g交圆于p，m两点，则pg、mg为最大和最小值。2.如何发现圆此类题一般条件隐藏较深，于是如何由条件的固定搭配发现圆，就成了解决本类题的关键。一旦这个隐形圆出现，就会使问题思路豁然开朗，计算简单便捷，过程清晰明了，引人入胜。（1）利用圆的定义可以构造一個隐形圆：若已知中给出的动点满足到一定点距离是定值，则此动点的运动轨迹就是以这个定点为圆心的圆或者圆弧。例：如图（1）rtabc中，c=90°，ac=8，bc=10，ac上一点f，cf=5，e为边bc上一点，将cef沿直线ef翻折，c落在p处，问点p到边ab的最小值。解析：本题表

5、面上是动点p随着点e在动，但是认真审题不难发现在动的过程中，点p到点f的距离不变，永远等于pf，由定义可以发现点p的运动轨迹为以点f为圆心，cf为半径的圆，而bc边为圆外一定直线符合第二类。（2）利用圆周角定理推论可以构造一个隐形圆：若题目中有一条固定的边所对的角始终为直角，则直角顶点的运动轨迹就是一个以定边为直径的圆或者圆弧。例：如图（2）正方形abcd中边长是8 cm，点e、f分别在边bc、cd上，ae、bf相交于点o，且be=cf，求co的最小值。解析：由已知不难发现abebcf，可证明线段bf与ae垂直。所以在点e、f位置改变的过程中，点o的位置也在改变，但是它们始终垂直，也就是线段a

6、b所对的aob是一个定值90°，由圆周角定理可以判断动点o的运动轨迹为以ab为直径的圆弧，而点c为圆外一个定点符合第一类。（3）利用圆周角定理可以构造隐形圆：若题目中有一条定边所对的角始终是一个定角，则这个角顶点的运动轨迹就是一段圆弧。例题：如图（3）已知等边三角形abc，边长为5，若p为abc内一动点，且满足apb= 120°，求线段pc长度的最小值。解析：题目中很明显告诉我们动点p，在运动过程中apb是个定值120°，由圆周角定理可知，动点p的运动轨迹为以ab为弦的一段圆弧。c为圆外一定点符合第一类。所以解这类题的核心思路是：狠抓不变量，即题中是否存在定点、定角、定长，有了上述方法的归纳，相信审题的目的就更明确，发现圆就更迅速，求最值就更快了。（作者单位：河北省张家口市宣化第四中学075000）中学课程辅导·教学研究2021年15期中学课程辅导·教学研究的其它文章数学思维