高二人教版数学选修11练习：3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案

1、起基础梳理1极值的概念如果函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则把点 a 叫做 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值； 如果函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则把点 b 叫做 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值2求函数 yf(x)的极值的一般方法解方程 f(x)0.当 f(x)0 时：(1)如果在 x0附近的左

2、侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值；(2)如果在 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值,自测自评1下面说法正确的是(b)a可导函数必有极值b函数在极值点一定有定义c函数的极小值不会超过极大值d函数在极值点处导数一定存在2函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数 f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内极小值有(a)a1 个b2 个c3 个d4 个3函数 y13xx3有极小值_，极大值_解析：y13xx3，y33x2，令 y0，得 x1，且 y在区间(，1)，(1，1)，(1，)上的正负性依次为，.

3、当 x1 时，y1 是极小值；当 x1 时，y3 是极大值答案：131函数 y2x3x2的极大值为(a)a0b9c0，2716d.2716解析：y6x22x，令 y0，解得 x0，x13，令 y0，解得 0 x13，当 x0 时，取得极大值 0，故选 a.2若函数 yx32mx2m2x, 当 x13时， 函数取得极大值， 则 m 的值为(c)a.13或 1b.13c1d都不对3若函数 y13x3x2ax 在 r 上没有极值点，则实数 a 的取值范围是_解析：f(x)x22xa，f(x)在 r 上没有极值点，44a0，a1.答案：a14求函数 f(x)x(x2)2的极值解析：函数 f(x)的定义

4、域为 r.f(x)x(x24x4)x34x24x，f(x)3x28x4(x2)(3x2)，令 f(x)0 得 x23或 x2.列表：从表中可以看出，当 x23时，函数有极小值，且 f23 2323223227.当 x2 时，函数有极大值，且 f(2)2(22)20.5 已知函数 f(x)x3ax2bxc 在 x23与 x1 时都取得极值 求 a、 b 的值与函数 f(x)的单调区间解析：因为 f(x)x3ax2bxc，则f(x)3x22axb.依题意得，f23 12943ab0，f（1）32ab0，解得a12，b2.即 f(x)3x2x2(3x2)(x1)函数 f(x)，f(x)的变化情况见下

5、表：所以函数 f(x)的递增区间是，23 与(1，)，递减区间是23，1.1f(x0)0 是函数 yf(x)在 xx0处有极值点的(c)a充分不必要条件b充要条件c必要不充分条件d即不充分也不必要条件解析：yf(x)在 xx0处有极值点时不仅要 f(x0)0，而且还要 x0左右的增减性相异故f(x0)0 是 yf(x)在 xx0处有极值的必要不充分条件2已知函数 yf(x)(xr)有唯一的极值，并且当 x1 时，f(x)存在极小值，则(c)a当 x(，1)时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)0b当 x(，1)时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)0c当 x(，1)时，f(x)0；当

6、x(1，)时，f(x)0d当 x(，1)时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)0解析：考查函数极小值的概念，只不过换成了符号语言，抓住极小值的定义即可得出答案 c.3函数 y13xx3(d)a极小值1，极大值 1b极小值2，极大值 3c极小值2，极大值 2d极小值1，极大值 3解析：y33x2，令 y0，得 x1，易判断当 x1 时，有极大值 y3，当 x1 时，有极小值 y1.故选 d.4已知函数 y2x3ax236x24 在 x2 处有极值，则该函数的一个递增区间是(b)a(2，3)b(3，)c(2，)d(，3)解析：y6x22ax36，x2 为极值点，当 x2 时，y642a2360

7、，解得 a15，y6x230 x36，令 y0，得 x2，x3，y0 时，x2 或 x3，故选 b.5函数 f(x)x33bx3b 在区间(0，1)内有极小值，则(a)a0b1bb1cb0db12解析：问题等价于方程 f(x)3x23b0 在区间(0，1)内有解，并且其较大的解必须在区间(0，1)内于是得到 0 b1，即 0b1.故选 a.6设函数 f(x)x3mx2nx 的图象与 x 轴切于点(1，0)，则 f(x)的极值为(a)a极大值为427，极小值为 0b极大值为 0，极小值为427c极大值为 0，极小值为427d极大值为427，极小值 0解析：根据导数的几何意义，得到 f(1)0，且

8、 f(1)0，即f（1）1mn0，f（1）32mn0，解得 m2，n1，此时 f(x)3x24x1(3x1)(x1)，再依据求极值的方法，可以得到极大值为 f13 427，极小值为 f(1)0.故选 a.7若函数 f(x)x2ax1在 x1 处取极值，则 a_解析：本题考查对极值定义的理解依题意有 f(x)2x(x1)（x2a）(x1)2，f(1)0，解得 a3.答案：38已知三次函数 f(x)的图象经过原点，并且当 x1 时有极大值 4，当 x3 时有极小值 0，则函数f(x)的解析式为_解析：依题意，可设 f(x)ax3bx2cx(a0)，则 f(x)3ax22bxc，于是f（1）3a2b

9、c0，f（3）27a6bc0，f（1）abc4，f（3）27a9b3c0，解得a1，b6，c9.f(x)x36x29x.答案：f(x)x36x29x点评：典型的待定系数法解题，本题的条件有多余，所以要注意验根9若函数 f(x)x(xc)2在 x2 处有极大值，则常数 c 的值为_解析：f(x)x32cx2c2xf(x)3x24cxc2，f(2)c28c120，c2 或 c6.当 c2，f(x)3x28x4(3x2)(x2)，当23x2，f(x)0，当 x2，f(x)0，当 x2 时有极小值当 c6 时，f(x)3x224x363(x2)(x6)，当 2x6 时，f(x)0，当 x2 时，f(x

10、)0，当 x2 时有极大值c6 符合题意答案：610(2013惠州三模)已知函数 f(x)x33ax(ar)(1)当 a1 时，求 f(x)的极小值；(2)若直线 xym0 对任意的 mr 都不是曲线 yf(x)的切线，求 a 的取值范围解析：(1)当 a1 时，f(x)3x23，令 f(x)0，得 x1 或 x1.当 x(1，1)时，f(x)0.当 x(，11，)时，f(x)0.f(x)在(1，1)上单调递减，在(，1和1，)上单调递增f(x)的极小值是 f(1)2.(2)f(x)3x23a，直线 xym0，即 yxm，依题意得，切线斜率 kf(x)3x23a1，即 3x23a10 无解04

11、3(3a1)0，a13.11(2013惠州一模)已知 f(x)ln x，g(x)13x312x2mxn，直线与函数 f(x)、g(x)的图象都相切于点(1，0)(1)求直线的方程及 g(x)的解析式；(2)若 h(x)f(x)g(x)其中 g(x)是 g(x)的导函数，求函数 h(x)的极大值解析：(1)直线是函数 f(x)ln x 在点(1，0)处的切线，其斜率 kf(1)1.直线的方程 yx1.又直线与 g(x)的图象相切，且切于点(1，0)，g(x)13x312x2mxn 在点(1，0)的导函数值为 1.g（1）0，g（1）1m1，n16.g(x)13x312x2x16.(2)h(x)f(x)g(x)ln xx2x1(x0)h(x)1x2x112x2xx（2x1） （x1）x.令 h(x)0，得 x12或 x1(舍去)当 0 x0，h(x)单调递增；当 x12时，h(x)0.所以 f(x)在(，0)，(2，)上单调递减，在(0，2)上单调递增故当 x0 时，f(x)取得极小值，极小值为 f(0)0；当 x2 时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)4e2.(2)设切点为(t，f(t)，则 l 的方程为yf(t)(xt)f(t)