高中数学选修11人教A版练习：第二章圆锥曲线与方程 2.22.2.2双曲线的简单几何性质 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质a 级级基础巩固基础巩固一、选择题一、选择题1双曲线双曲线 2x2y28 的实轴长是的实轴长是()a2b2 2c4d4 2解析解析：双曲线方程可变形为双曲线方程可变形为x24y281, ,所以所以 a24, ,a2, ,从而从而 2a4.答案：答案：c2等轴双曲线的一个焦点是等轴双曲线的一个焦点是 f1(6,0),则其标准方程为则其标准方程为()a.x29y291b.y29x291c.y218x2181d.x218y2181解析：解析：由已知可得由已知可得 c6, ,所以所以 ab2

2、2c3 2, ,所以所以 双曲线的标准方程是双曲线的标准方程是x218y2181.答案：答案：d3下列双曲线中离心率为下列双曲线中离心率为62的是的是()a.x22y241b.x24y221c.x24y261d.x24y2101解析：解析：由由 e62得得 e232, ,所以所以c2a232, ,则则a2b2a232, ,所以所以b2a212.即即 a22b2.答案：答案：b4已知双曲线已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0,b0)的离心率为的离心率为52,则则 c 的渐的渐近线方程为近线方程为()ay14xby13xcy12xdyx解析：解析：因为双曲线因为双曲线x2a2y2b21 的焦点

3、在的焦点在 x 轴上轴上, ,所以双曲线的渐近所以双曲线的渐近线方程为线方程为 ybax.又离心率为又离心率为 ecaa2b2a1ba252, ,所以所以ba12, ,所以双曲线的渐近线方程为所以双曲线的渐近线方程为 y12x.答案：答案：c5双曲线双曲线 c：x2a2y2b21(a0,b0)的离心率为的离心率为 2,焦点到渐近线的焦点到渐近线的距离为距离为 3,则则 c 的焦距等于的焦距等于()a2b2 2c4d4 2解析：解析：双曲线的一条渐双曲线的一条渐近线方程为近线方程为xayb0, ,即即 bxay0, ,焦点焦点(c, ,0)到该渐近线的距离为到该渐近线的距离为bca2b2bcc

4、3, ,故故 b 3, ,结合结合ca2, ,c2a2b2得得 c2, ,则双曲线则双曲线 c 的焦距为的焦距为 2c4.答案：答案：c二、填空题二、填空题6已知双曲线已知双曲线x2a2y2b21 的离心率为的离心率为 2,焦点与椭圆焦点与椭圆x225y291 的焦的焦点相同点相同,那么双曲线的焦点坐标为那么双曲线的焦点坐标为_,渐近线方程为渐近线方程为_解析解析：因为椭圆的焦点坐标为因为椭圆的焦点坐标为(4, ,0), ,(4, ,0), ,所以在双曲线中所以在双曲线中, ,c4, ,且满足且满足ca2, ,故故 a2, ,b c2a22 3, ,所以双曲线的渐近线方程所以双曲线的渐近线方程

5、为为ybax 3x.答案：答案：(4,0),(4,0)y 3x7过双曲线过双曲线 x2y231 的左焦点的左焦点 f1,作倾斜角为作倾斜角为6的直线的直线 ab,其其中中a,b 分别为直线与双曲线的交点分别为直线与双曲线的交点,则则|ab|的长为的长为_解析解析：双曲线的左焦点为双曲线的左焦点为 f1(2, ,0), ,将直线将直线 ab 方程方程：y33(x2)代入双曲线方程代入双曲线方程 得得 8x24x130, ,显然显然0, ,设设 a(x1, ,y1), ,b(x2, ,y2), ,所以所以 x1x212, ,x1x2138, ,所以所以 |ab| 1k2 （x1x2）24x1x21

6、131224138 3.答案：答案：38 双曲线双曲线x24y2k1的离心的离心率率e(1,2),则则k的取值范围是的取值范围是_解析：解析：双曲线方程可变为双曲线方程可变为x24y2k1, ,则则 a24, ,b2k, ,c24k, ,eca4k2, ,又因为又因为 e(1, ,2), ,则则 14k22, ,解得解得12k0答案：答案：(12,0)三、解答题三、解答题9求适合下列条件的双曲线的标准方程：求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点过点(3, 2),离心率离心率 e52；(2)中心在原点中心在原点,焦点焦点 f1,f2在坐标轴上在坐标轴上,实轴长和虚轴长相等实轴长和虚轴长相等

7、,且过且过点点 p(4, 10)解：解：(1)若双曲线的焦点在若双曲线的焦点在 x 轴上轴上, ,设其标准方程为设其标准方程为x2a2y2b21(a0, ,b0)因为双曲线过点因为双曲线过点(3, , 2), ,则则9a22b21.又又 ecaa2b2a252, ,故故 a24b2.由由得得 a21, ,b214, ,故所求双曲线的标准方程为故所求双曲线的标准方程为 x2y2141.若双曲线的焦点在若双曲线的焦点在 y 轴上轴上, ,设其标准方程为设其标准方程为y2a2x2b21(a0, ,b0)同理可得同理可得 b2172, ,不符合题意不符合题意综上可知综上可知, ,所求双曲线的标准方程为

8、所求双曲线的标准方程为 x2y2141.(2)由由 2a2b 得得 ab, ,所以所以 e1b2a2 2, ,所以可设双曲线方程为所以可设双曲线方程为 x2y2(0)因为双曲线过点因为双曲线过点 p(4, , 10), ,所以所以 1610, ,即即6.所以所以 双曲线方程为双曲线方程为 x2y26.所以所以 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为x26y261.10设双曲线设双曲线 c：x2a2y21(a0)与直线与直线 l：xy1 相交于两个相交于两个不同的点不同的点 a、b.(1)求实数求实数 a 的取值范围；的取值范围；(2)设直线设直线 l 与与 y 轴的交点为轴的交点为 p,若若pa

9、512pb,求求 a 的值的值解解： (1)将将 yx1 代入双曲线方程代入双曲线方程x2a2y21(a0)中得中得(1a2)x22a2x2a20.依题意依题意1a20，4a48a2（1a2）0，所以所以 0a 2且且 a1.(2)设设 a(x1, ,y1), ,b(x2, ,y2), ,p(0, ,1), ,因为因为pa512pb, ,所以所以(x1, ,y11)512(x2, ,y21)由此得由此得 x1512x2.由由于于 x1, ,x2是方程是方程(1a2)x22a2x2a20 的两根的两根, ,且且 1a20, ,所所以以1712x22a21a2, ,512x222a21a2.消去消

10、去 x2得得2a21a228960.由由 a0, ,解得解得 a1713.b 级级能力提升能力提升1若若 0ka2,则双曲线则双曲线x2a2ky2b2k1 与与x2a2y2b21 有有()a相同的虚线相同的虚线b相同的实轴相同的实轴c相同的渐近线相同的渐近线d相同的焦点相同的焦点解析解析：因为因为 0ka2, ,所以所以 a2k0.对于双曲线对于双曲线x2a2ky2b2k1, ,焦点在焦点在 x 轴上且轴上且 c2a2kb2ka2b2.同理双曲线同理双曲线x2a2y2b21 焦点焦点在在 x 轴上且轴上且 c2a2b2, ,故它们有共同的焦点故它们有共同的焦点答案：答案：d2 已知已知 f1,

11、f2是双曲线是双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的两焦点的两焦点,以线段以线段 f1f2为边作正三角形为边作正三角形 mf1f2,若边若边 mf1的中点的中点 p 在双曲线上在双曲线上,则双曲线的离则双曲线的离心率是心率是_解析：解析：如图如图, ,连接连接 f2p, ,p 是是 mf1中点中点, ,则则 pf2mf1, ,在正三角在正三角形形mf1f2中中, ,|f1f2|2c, ,则则|pf1|c, ,|pf2| 3c.因为因为 p 在双曲线上在双曲线上, ,所以所以 |pf2|pf1|2a而而3cc2a所以所以ca2312（ 31）（ 31） （ 31） 31.答案：答案： 313直

12、线直线 l：ykx1 与双曲线与双曲线 c：2x2y21 的右支交于不同的的右支交于不同的两点两点 a,b.(1)求实数求实数 k 的取值范围；的取值范围；(2)是否存在实数是否存在实数 k,使得以线段使得以线段 ab 为直径的圆经过双曲线为直径的圆经过双曲线 c 的右的右焦点焦点 f？若存在？若存在,求出求出 k 的值；若不存在的值；若不存在,说明理由说明理由解解：(1)将直线将直线 l 的方程的方程 ykx1 代入双曲线代入双曲线 c 的方程的方程 2x2y21后后, ,整理整理, ,得得(k22)x22kx20, ,依题意依题意, ,直线直线 l 与双曲线与双曲线 c 的右支交于不同两点的右支交于不同两点, ,所以所以k220，（2k）28（k22）0，2kk220，2k220，解得解得 k 的取值范围为的取值范围为k|2k 2.(2)设设 a, ,b 两点的坐标分别为两点的坐标分别为(x1, ,y1), ,(x2, ,y2), ,则由则由, ,得得 x1x22k2k2, ,x1x22k22.假设存在实数假设存在实数 k, ,使得以线段使得以线段 ab 为直径的圆经过以曲线为直径的圆经过以曲线 c 的右焦的右焦点点 f(c, ,0), ,则由则由 fafb, ,得得(x1c)(