力学(专)第七章刚体力学.

1、41、 定义若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运 动且圆心在该直线上，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作转轴.2、特点左1刚体中始终保持不动的直线就是转轴。33、平动的自由度：3个自由度：决定物体的空间位置所需要的独立坐标个数.是描述体运动自由程度的物理量. 创疵 独立坐标：描写物体位置所需的最少的坐标数.刖体的走轴转动C较简单丿刚体：在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学研究对象。 质元：把刚体分成的许多可以看成质点的微小部分。一.刖体的平动（最简車丿刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动

2、：I1.定义：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行.2、特点:刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的!52刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心 在铀上。3和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。63、定轴转动刚体的自由度：1个(刚体的角坐标)如图示：建立系，乃轴与转轴重合，O点任 意选取，截取刚体一个剖面O汨平面，此位置只要确 定，刚体的位置就确定了，除O点外，再选一个A点，此图形的位置可由矢量来确定，而矢量的大小是不变的，方向只需由 矢量与X轴的夹角来确定，此角称为：绕定轴转 动刚体的角坐标.1.1角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和Z轴成右

3、手螺旋时,角为正，否则角为负。4、定轴转动刚体运动的描述1运动学方程10 = 0(),即：角坐标随时间的变化规律.2描述刚体整体运动的物理量角董，色搖：角位移，角速度，角加速 度.角位移定轴转动刚体在AZ时间内角坐标的增量。任意质元的角位移49是相同的是一整体运动的量.面对z轴观察：逆时针转动，&();反之，AOvO。角速度：在&这一过程中，.& de ( (o(t) = lim= = 0 a* Z dt即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。面对力轴观察逆时针转动时：血0；反之，qvO。8角加速度处即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数.加速转动，与少同号；00,反之，

4、0v(K73线量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量：线位移，线速度,线加速度。如图示：A质无的线速度不同于B质元的线速度, 以刚体上质元A为例：线位移：drA=dsrdrAds _ de一 _=一T=rAr -rAa)x dt dt八曲A即:线加速度:An力学Ad) =+2V)-dXZ)线速度：Z1角量：描述刚体整体运动的物理量；角量 充分描述了刚体的定轴转动状态线量：描述刚体任一质元运动的物理量， 由角量可得线量物理量单位量绢物理量单位量纲角位移rad1线位移mM角速度rad/sT1线速度 /m/sMT角加速度rad/sT2线加速度m/s-2MT2由定轴转动刚体角量和线量关系可知:9三

5、、角遠度矣量1、角速度矢量定义厉方向规定 右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，大母指的指向就是厉的方向，沿转轴，如图示:G G）必须满足平行四边形法则：方=厉+0因此：刚体上任意质元的线速度14西、创体平面运动（创体的平面平行运动丿1、定义：刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一因定平面平行。2、平面运动的特点刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全相同的运动状况.3、自由度：3个。因为：由平面运动的特点，可用与固定平面平行的刚体的任一剖面 （截面）来研究，此截面位遥一经确定，刚体的位置便确定了.通常选择 此平面内刚体上某点的位置坐标（心,丿）和绕过该点轴旋转的角度来 描述刚体的位置

6、。4、平面运动的描述运动学方程：1&=如）x = xB(t) y= yB( (O& = &(/)B点是任意选取的，称作基点.即：反映任意选定基点的运动,0（t）反映刚体绕过基点轴的转动.注意：平动位移和基点的选取有关，而转动位移与基点选取无关。16而A点相对于基点B的速度矢量： 歹=方 X 戶 （方为刚体绕过基点轴的角速度）因此，vA= vB+dxrf即： 平面运动刚体上任一点的速度公式， 任一点的速度等于随基点B的平动速度与绕过基点B轴转动的速度的矢董和。注：平动速度与基点的选取有关，转动的角速度与基点的选取无关。此即为纯滚动的条件。D点常称为瞬心（瞬时转动中心）Jr

7、J平面运动刚体上任一点的速度如图：以B点为基点，建立如图示的坐标系，则:圆柱体作无滑滚动的条件：滚动圆柱体边缘上各 点与支承面接触的瞬时，与支承面无相对滑动，称圆 柱体作无滑滚动。如右图：以中心C点为基点，则：vD=vc+a）xrD/ _ /= vci+ 帀（疋）x（朋）= vci = （vc= 0例:注:厉与基点选取无关;瞬心不一定在刚体上，可以在刚体之外的某一点7.2刚体的动屋和施心运动定理dm:心i i心在刚体上是一固定点，F分布的不变质点系，质心7：的计算，同质点系的质心的计算方法完全一#E寻找瞬心的方法：过P点与VpVp垂直的线与过Q点与 垂直的线的交点就是瞬心C点.（若与v vQ

8、Q平行，不一定有 瞬心，如平动）JxpdV不要和定轴转动混淆，D点只是瞬时中心，虽然该时刻的速度为 零，但加速度不为零，不是不动的轴线； rdmc_f20例1:求半径为a的均质半圆球的质心.解：常用的方法是对称法，质点在对称面， 对称轴，对称中心等上。如图建立坐标系1则C在刁轴上，取质量元为如图示的薄圆板，厚度为d乃，由于z z=acosO=acosO则:JzpdV J z兀(a sin ff)2dz (a cos 0)兀(a sin 0) d(a cos 0)总结：质心的求法1、对称法；2、分割法；3、 负质量法（如图所示）二.创体的动査与质心运动走理刚体的动量：P = Mvc_dv_质心运

9、动定理： 件=M产=Mac午dt注意：YE为外力的矢量和而不是合外力.I3a819刚体平动时，刚体上任意一点的运动状况都是相同的，故可以选择质心的运动来描述刚体的运动状态，所以，刚体 平动时的动力学方程就是质心运动定理。2122 7.3刚体定铀转动的角动最转动惯屋一、创体对一转轴的转动惯量1、转动惯量定义：餐=工加”其中：斥表示质点对转轴的距离.I说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关.2、转动惯量的计算：力学例题：质量为m长为1的均质杆,其B端放在桌上，A端用手支 住，使杆成水平.突然释放A端，在此瞬时，求：(1 )杆质心的加速度；(2)杆B端所受的力.；取杆为隔离体受力分析及建立坚

10、标如图1). *衲垂直于堆面向亀依堀股心运动定 JS有， 何叫柱了方向投彫后, 比一叱刖”(1)依据转动定理有、(2)依据总色与銭俭关冬有:BwNaffld(4由 u 0 .v联立上述(1 ) 2 ).(w一力221质量不连续分布情况：食=工加刀I2质量连续分布的情况：=Jr2dm= Jr2pdV3、平行轴定理若两轴平行，距离为，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为厶， 则刚体对一轴转动惯量为：/ = /（.+ind2证明：如右图示，刚体的二轴分别为 N 和 N，轴， =艺b；+兀J +（为+丿J I=工（可+）+2七工加上+2儿工加；+G；+歹；反IIIi=人 +md4、垂直轴定理（仅适用于

11、厚度无穷小的薄板，厚度k0）即：无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量, 等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和证明：如图所示，有：lz=为加” =丫6；+y）IIix=工叫6;+衬）=工加肿 存=弓叫G；+z；）=牙叫时因此，= Ix+/y_ 注意二宜轴定理适用条件：X、y、刁轴过辰 狗午磺野内.耳紅理体对各平行轴的不同转动惯量中,262 27 7一一7 7+/ /例1均质杆长A质量为加，求对过杆一端点的转动惯量解：由平行轴定理:例2求一质童为加、半径为尺、密度均匀的薄板圆盘, 与盘面垂直的转轴的转动惯量人解法一：利用积分法求转动惯量(利用对称性)Ix= J j2dm = J

12、R sin2Rcos& b d(Rsin&)it=27? crj2sin2Ocos OdOPSincoS = l2解法二：由垂直轴定理:它对过圆心且的两质点m,中间以一轻连杆纽成刚体，绕Z轴转动为例:二.刖体定轴转动的动力学方程-对轴的角动量走理刚体对转轴（假定为无轴）的角动量:2应用质点系对Z轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理:其中为外力对无轴的力矩；A为刚体的角加速度在Z；轴上的投影，可正可负.力刖体对轴上一点的角动量% % X X v vB BAk-k-=cokx r2coseg + (a+ r2sina)k = -ajt- rr r cosajajxcorco

13、rcoscdcd +/+/ (a(a + + r r: :sina)ka)k +r+r2 2c cAar;cosa-m(acosa-m(a+r, sina)R.zfjr.f 巳知)求解上述方程组得，警 5“o 心川)IL( ( tmt) g ( mt+mB)ai J 1.39X10 k ) JP0+】 w=靜求解魁厶 N(Mi-E JgKm +_rn, ) R0GCI.SXIO1( kg-m* )I33下面我们来研究定轴转动刚体在外力F作用下转动 体所做的功。如右图所示，建立直角坐标系gxjz, Z轴垂直纸面 向外，设刚体上任一点P,初始时位于力轴上，经如 时间绕Z轴逆时针转动至如图中实线所示

14、位置， 下面我 们来求力户所作的功：将戸分解为：F=FHFTdA = FdiF = FTdr = FTrd01VA&所以A = j FTrd0 = J MTdOIH (1一力矩的功情况下，F对刚36殳由质点系动能定理知：工4外+工金=工乞+工他学应用于定轴转动刚体：丫A外+ Y人内=弓如尹；-L如吃而 =（），v vi i = =r riDiD因此，艺人外加刀诚这就是定轴转动刚体的动能定理，即刚体绕定轴转动时，转动动能的 增量等于刚体所受外力矩做功的代数和.其中JI I/为定轴转动刚体的动2z能，为卜为外力矩对刚体所作的功的代数和。注意：刚体内一切内力做功之和等于零，无论刚体作何运动，

15、都成立.A = J Frrd0 = j MTd0上式中M表示力戸对Z轴的力矩，该式表明：当刚体定轴转动时，力所做的功等于该力对转轴的力矩对角坐标的积分.该式也称作力矩做的功.走柚转动创体的动能走理三、创体的重力费能刚体的重力势能：刚体与地球共有的重力势能，等于各质元重力势能 之和：、工g = Mgyci丿由上式知：刚体重力势能决定于刚体重心矩势能零点的高度，与刚 体的方位无关，与刚体运动形式无关。例1：均质杆的质量为2,长为/ , 一端为光滑的 支点，最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，求：(1 )杆在铅重位置时，下端点的线速度V V；(21杆在此位置时，杆对支点的作用力.圻法一，(1)利.用

16、刖体定轴转动的动能定理(或，机核能于叵定律) 下援过程中仅有盍力微功A = msh= mg f Z ! w/* a? = 4 wv 2 2 36杆在铅重位壬时下堪点的线速度方向向左，大小汰利用质心运动定埋:分童形式为:一mg=朋 o 命=w = mrco在竖直位亘杆受的外力矩为竽，无轴加速度炉=0 :a “ =：0=O.Nr= 0聲二也 a?=w(y y + g) =v=5寸支点的作用力 2，方向竖直向下。37解法二（1）利用对z轴的角动量定理（或:转动定理）: f加gcos勿眉:L 网2iv= + ml1/（2）同解法一建立如图的坐标系o_xyz、z垂直直面向里:yNn.-mgl = - m

17、l22 639（3）例1拓展：求杆在下摆过程中任一位置处，质点对杆的作用力N。JW:设质点对杆的作用力分解丸比和/如图所示:由质心运动定理失 m由定轴动的动力学方程 即角动鱼定理）mg cos令=7/7= A tnl232 day d 1,dt 3.f 善co$W=g-cos3gcos1 21d e42I卫-mg cos a化毎=沁I21拐 _L夕_3gU2/_I 3gcos夕3gNrmRcos a2214叽=sin g sin =5mgsin厅21 mgcos a442- - - =N = m(g cos歼a )=例2:子弹沿水平面运动，击中并嵌入一根静止在光滑水平面上的 棒的端点，之后共同

18、运动.已知子弹的速度与棒垂直，子弹的质量，速 度，棒的质量，长度分别为：“，环叫=99巾上。求：棒和子弹绕垂直 于平面的轴的角速度CO,cC坯Vc6沟匕43%2 +4%）/Vix解祛一、。点是惯性系中的因定点，设 OA = a 系统对。点的初始角动量为:又尸】+尸 2 = mJ2 （ +佗）mi碰后系统对点的角动量为：Oi +血Jx；v； +初斤+112加 2/ +加 2厂;由系统对点的角动童守恒知：刃（0 +2）=加“心+彳Q+厶又系统的动审守恒:联立得:_6巾片（m2+4凸）1解法二 建立F - xyN系，对过质心占旳云 轴的角动量守恒:血卩；尸1 + w2vjr2=炖耳2&+1；V =又v； = VT- V； ,r先十购！由尹轴按影量得）联立得:4448逹立坐标系。一卯、是一惯性系，系统对过 O 点的轴Z的角动童守I自01荫对过:。点2轴的角动量九：拠V/1谈后对过O点z轴的角幻嵐为, E X巧=0,耳与巧平行瓯X 巧|x= 0v.L；一 _茨心只在 y 轴上运动尬02rc = V皿=vdtj或肴时0点的角动审守也:鱒法is、由干杆和子弾不受力的作用，碰后共同的騎心匕