浅谈数学解题的基本思路

1、浅谈数学解题的基本思路常宁市教师进修学校王洪生【摘 要】：数学解题应在明确目的的基础上，利用相关的数学知识、方法和 解题经验，理清条件和目标间的实质性联系，确定解题方法；抓住数学问题的特 征，通过分析、类比进行广泛的、合理的联想，运用多方面知识，设计出多种解 题办法，然后综合比较，找到最佳解题途径。【关键词】：数学解题基本思路认真审题，明确目的；抓住问题的结构特征，开阔思维；侧面观察，逆向思 维。我认为是解答数学问题的三条基本思路。、认真审题，明确目的解题必须有明确的目的，发现“怎样完成题目的要求？ ”是解答数学问题的 基本思路。一般地，解题应在明确目的的基础上，利用相关的数学知识、方法和 解

2、题经验，理清条件和n标间的实质性联系，确定解题方法，使n标成为制定解 题方法的依据。如用“分析法”证题，在解析几何中常用“设而不求”等都是审题后采取的 恰当方法，是这一基木思路的具体体现。例：已知辐角为g、4的复数乙、z?满足条件乙+z2=5z, zlz2=4, 求cos(& 2)的最大值。分析：此题口标主要是“最值问题”，根据求最值值问题的i般方法，不难 确定解题的思路如下：利用复数知识，设法建立起cos(g-2)关于乙或z?的函 数关系。14id设i z, 1= r , i z2 1= 一 ,则 z = r(cos0x + isin , z2 = 一(cos02 + isin 02

3、)。 rr14代入 zf + z2 = 5/ 中,有：厂(cos&|+isin&j + (cos2 +zsin<92) = 5/,由复数14相等的定义有：vr cos 0x + cosg = 0 r14r sin 0 +sing = 5 r根据口标要求，若能从（*）式屮得到cos（q-2）的表达式就行，于是将（*） 式两方程两边平方相加，得：1 %宀号+ 28cos（q -$） = 25厂gq、251 /2196、/31 22828r228由基木不等式知，当r = 714时，cos©-©）取得最大值-箱二、抓住特征，开阔思维问题的结构特征是信息源，只有

4、抓住特征，通过分析、类比进行广泛的、合 理的联想，运用多方面知识，设计出多种解题办法，然后综合比较，找到最佳解 题途径。例：试求函数y = si;& + l的值域。cos& + 2分析：解答本题的一般方法是：将函数变形为5sin0-ycos0 = 2y-l,即变形为dsina + bcosq的基木形式，然后利用sin（& + 0）的有界性求取值域。若仔细 观察分析结构的特点，发现可将y看成是由动点m （cos v5 sin 0）和定点 a（-2-1）连线的斜率，则解答过程更为简单，显然m点的轨迹是椭岡2x2+= 1,当直线am与椭圆相切时得到斜率的最大值和最小值。令切线

5、的斜率为则切线方程为y = kx土疋+5过点 a （-2,-1）:.- = -2k±lk2 +5 即32 -4fc-4 = 0,解彳辛k = 一土或r =232三、侧面观察，逆向思维数学题的构造，变化多端，有的内在关系深藏其底，难以观察，因而应注意对问题的深层结构不断认识，有时应转换观察问题的角度，如进行逆向思维，直 至找到解题途径。如有些排列中的有些元素“不相邻”和“相邻”问题，先宜接 排几个特殊元索有困难，但若采用“插空法”或“捆绑法”则问题迎刃而解。例：在abc中，角a、b、c的对边分别为°、b、c,若求 2'工 n乙4 + c2分析：题目是求证 3 5，即

6、2b<a + c>3b<a + b-c = 7r，即 b<-,2 3 故求证b<-转化为证b<-或a + c»2。233考虑到在（0,龙）上，y=cosx是单调递减的，故又只须证明cosb>丄或 2/a + c、. 1 hnrcos（） < h卩可。2 2证明一：，应用正弦定理得：2. sina + sinc .a + c a-c , a + csin b <= sincos< sin2 2 2 2,2sin±t£cosa±£<sina±£ 得 cos（a±£）< 12 2 2 2 2由a + c g （0,兀）及y = cosx在（0,龙）上单调递减得a + c > 223 a + b + c =龙，:.b<-即 * 5 士乞 o3 2证明二：叱和余弦定理得：2cosb =因b w （0,龙）及y = cos兀在（0,龙）上单调递减,得b<- a + b + c = r,即232总之，解题吋，问题本身是思维的出发点，只有通过认真审题，抓住问题的 外形特征，内部结构等特点，明确目的，展开广阔的思维，并对思