浅谈数列问题常用到的方法

1、浅谈数列问题常用到的方法建湖高级中学高娟从高考试卷来看数列题考试考的越来越难，这也就是说高中数学 对数列的要求是比较高的，所以我想在这里对数列的常用的方法做个 归纳。根据等差数列和等比数列的定义和性质：数列中任意的后一项减 前一项是定值教等差数列，后一项比前一项是定值是等比数列。对于 数列的综合性题目主要是等差和等比的方法的综合应用。这里有迭代 法，公式法，累加或累乘法，错位相减法，倒序相加法，裂项相消法 等这些方法。例1：设数列%的前吃项和sn = /?2 + /2,数列也的通项公式仇二严。(1) 求数列%的通项公式，(2) c =anbn9求数列q的前比项和7；,(3) 设£ =

2、-，乞是d“的前斤项和，是否存在最大的整数加，是(% + 4)/?的对任意的，均有h”詈成立？若存在，求出加，若不存在，请说 明理由。解：(1) n > 2, an = sn s“_ = n2 +n (n-1)2 +n 1 = 2n , = 1, q = 2 满足前 面的表达式所以an =2n o(2) cn - anbtl = 2nxnl,当 x=l 时其前 n 项和 tn-当x不为1时其前n项和可用错位相减法的方法来求7；：人=2 + 4x+6%2 + + 2(n v)xn 2 + 2nx" 1xtn = 2x+4%2 + 6 兀彳 + + 2(n v)xtl 1 + 2h

3、xw(1-x)tn = 2 + 2兀 + 2” + + 2xfil -2nxn ="一“)一2nxn1-x_2(1疋)2nx“所以得到"(1-x)21 一兀，(心1)tn=n2 +n (兀=1)(3)由盗=_ = = =丄_丄所以其前n项和可用 (匕+4)(2h + 4)/? (h + 2)h n /? + 2裂项相消法口，7/,111111111,111"|”3243546 n 斤+22 n+n+2m 由于弘是关于n的增函数，所以只需弘的最小值6,即 .111 m 2 m j> >2 1 + 1 1 + 29,即39 ,于是加<6,所以m的最大

4、值为5。这是一道等差等比混合在一起的数列题，用到前n项和与通项公式的 关系，等差与等比混乘的数列的前n项和的求法以及裂项相消法的综 合应用，是一比较综合的数列问题。例2:已知两个等差数列anbn的前项和人，优且刍二匹学，则使b, + 3得字为整数的个数是多少个？hn解：由题意可设人二(7兄+ 45)皿，耳=(川+ 3)皿，于是an = an -= (7n + 45)nt一7( 1) + 45(n-l)r = 7(2-1)4-45" = (14n + 38)r 同理仇=bu - bn_ = (n + 3)nt - (n 4- 2)(n-l)r = (2n + 2)r所以=14h + 3

5、8 = 7h + 19=7 + _1o当卫是整数时，乞为整数“也 bn2/? + 2n + l刃 + 1/? + 1bn就是*1,2,3,5,11时满足条件一共5个。这里所求匕, "的下标是相同求比值时可以通过设前n项和的表达式 &严(7/i + 45)m, b”=(n + 3)m,然后求通项匕, bho或者可用方法二舒2匕=°”+吗二舛”-】2"2 门 +也 b2n_7(2一1) + 45_7刃+ 192/? -1 + 3 +1然后同±o如果要求的下标不同比值时就得用第一种方法也就是用设前n项和a，来求通项公式anbn9再得结果。本题是对等差数

6、列的性质和等差数列的前n项和的性质的综合应用。 既然都是等差数列那么他们的前n项和是没有常数项的二次函数，于 是厲b”就可以设成二次函数，从而at)bfl也就可以表示成n的表达式，从而学的整数的个数也就求出来了。或者说具体的n值对应的 bn两个通项的比值这一类的问题也可以求结果了。例3：设31,氏、込、么是各项为正数且公差为d(dho)的等差数列.(1) 证明：2比2% 2昂,2越依次成等比数列;(2) 是否存在d,使得，承式、屛依次成等比数列，并说明理由；(3) 是否存在公,d及正整数/7, k,使得昂,a九骞+笃严依次成等比数列？并说明理由？解：(1)由于竽=孚=孚=2常数，所以2电2笔2

7、气2依次成 2© 2他 2"'等比数列。第一问主要是考察等差数列和等比数列的定义：后一项减前一项是定值的话为等差数列，后一项比前一项是定值的话为等比数列，并且两种数列之间可以在一定的条件下可以转化。等差和等比的的转化还可以有类似的题目比如一等比数列求对数之后就转化成了等差数列。不过在后面的转化中有一些限制条件不如真数大于0（2）假设存在这样的日1, d使其满足昂，式、式、依次成等比数列。为了方便计算设a、d 那么原来的四个数可以写成ad , a, a+d, a+2d 于是 ad9 a2, （d + d）»（6f + 2j）4 成等比数列。于是有卩=（：&q

8、uot;）3 + ”（1）由于彖次太大还有两个未知量,第一个方程左右同时除以d4第二个方程左右同时除以设2。于 a是方程组（1）化为p =（1；z）（1 + °3 ,将（1 +川=丄带入下面的方程得（1+（）6=（1+ 2/）41_/1(1-02= (l + 2f)°也就得到(1-02(1 + 204=1,得到尸+ 2尸一2 = 0 (1)且 t2=t + l (2)讲(2)a + d >0带入（1）得心冷。但是山0得出冷vy1a + 2d0但是经检验知一土不成立。所以方程无解。这一问当中考察了等差和等比的性质，然后运用转化和代数运算的方法来解方程的根的问题方法相对来

9、讲考察了和区分了很多学生, 考察学生对高次方程的运算能力，对数列基础好的学生对这种做法比 较随手的解决，大部分学生可能还是不好算出结果的。（3）假设存在这样的gd,n,k满足条件，于是用第二问的方法设 孔d二a,那么原来的四个数可以写成 ad , a, a+d, a+2d于是 按题意-d）”,严,（d + d）g,（g + 2）“是等比数列，即a2,l+2k =(a-dy(a-dy+2k(o + d)2"+碌=q”+*(d + 2d)"+3r同样设得到下面的方程组cll =(l_r)"(l+r严 (1 + /)2”+必=(1 + 2/)n+3k将()"+_占带入下面的方程得 =(1 + 20心即(1-护(1 + 2/严*=1 ,如果 + 3r都是奇数则讥奇数 (1 0可得(1 + 2/)=该等式除了 20之外等号右边是完全平方但是 (1-r)左边不可能是完全平方所以不成立：如果n + 3k偶数则n,k则 (1 + 2/)2 =,由于丄<r<l,在这个范围等式只有心0才成立。(1一/)" 2所以不存在满足题意的ad.n.k成立。这问也是关于数列等差等比性质的综合应用。第二问到第三