高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：第二章 2.5 平面向量应用举例 含答案

1、人教版高中数学必修精品教学资料平面向量应用举例预习课本预习课本 p109112,思考并完成以下问题思考并完成以下问题.(1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？利用向量可以解决哪些常见的几何问题？(2)如何用向量方法解决物理问题？如何用向量方法解决物理问题？(3)如何判断多边形的形状？如何判断多边形的形状？新知初探新知初探1用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系建立平面几何与向量的联系,用用向量向量表示问题中涉及的几何元素表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转将平面几何问题转化为化为向量问题向量问题；(2)通过通过向量运算向量

2、运算,研究几何元素之间的关系研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；如距离、夹角等问题；(3)把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系2向量在物理中的应用向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等物理问题中常见的向量有力、速度、位移等(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中(3)动量动量 mv 是向量的数乘运算是向量的数乘运算(4)功是力功是力 f 与位移与位移 s 的数量积的数量积小试身手小试身手1若向量若向量 1of(2,2), 2of(2,3)分别表示两个力分别表示两个力 f1,f2,则则|f1

3、f2|为为()a(0,5)b(4,1)c2 2d5答案：答案：d2在四边形在四边形 abcd 中中,abbc0,bcad,则四边形则四边形 abcd 是是()a直角梯形直角梯形b菱形菱形c矩形矩形d正方形正方形答案：答案：c3力力 f(1,2)作用于质点作用于质点 p,使使 p 产生的位移为产生的位移为 s(3,4),则力则力 f 对质点对质点 p 做的功是做的功是_答案：答案：11向量在几何中的应用向量在几何中的应用题点一：平面几何中的垂直问题题点一：平面几何中的垂直问题1.如图所示如图所示,在正方形在正方形 abcd 中中,e,f 分别是分别是 ab,bc 的中点的中点,求证：求证：afd

4、e.证明：法一证明：法一：设：设ada,abb,则则|a|b|,ab0,又又dedaaea12b,afabbfb12a,所以所以afdeb12aa12b12a234ab12b212|a|212|b|20.故故afde,即即 afde.法 二 ：法 二 ： 如 图如 图 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 设 正 方 形 的 边 长 为设 正 方 形 的 边 长 为 2, 则则a(0,0),d(0,2),e(1,0),f(2,1),af(2,1),de(1,2)因为因为afde(2,1)(1,2)220,所以所以afde,即即 afde.题点二：平面几何

5、中的平行题点二：平面几何中的平行(或共线或共线)问题问题2. 如图如图,点点 o 是平行四边形是平行四边形 abcd 的中心的中心,e,f 分别在边分别在边 cd,ab 上上,且且ceedaffb12.求证：点求证：点 e,o,f 在同一直线上在同一直线上证明：证明：设设abm,adn,由由ceedaffb12,知知 e,f 分别是分别是 cd,ab 的三等分点的三等分点,fo faao13 ba12ac13m12(mn)16m12n,oeoc ce12ac13 cd12(mn)13m16m12n.fooe.又又 o 为为fo和和oe的公共点的公共点,故点故点 e,o,f 在同一直线上在同一直

6、线上题点三：平面几何中的长度问题题点三：平面几何中的长度问题3.如图如图,平行四边形平行四边形 abcd 中中,已知已知 ad1,ab2,对角线对角线 bd2,求对角线求对角线 ac的长的长解：解：设设ada,abb,则则bdab,acab,而而|bd|ab| a22abb2 142ab 52ab2,52ab4,ab12,又又|ac|2|ab|2a22abb2142ab6,|ac|6,即即 ac 6.用向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用向量在物理中的应用 典例典例 (1)在长江南岸某渡口处在长江南岸某渡口处,江水以江水以 12.5 km/h 的速度

7、向东流的速度向东流,渡船的速度为渡船的速度为 25km/h.渡船要垂直地渡过长江渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？其航向应如何确定？(2)已知两恒已知两恒力力 f1(3,4),f2(6,5)作用于同一质点作用于同一质点,使之由使之由点点 a(20,15)移动到移动到点点 b(7,0),求求 f1,f2分别对质点所做的功分别对质点所做的功解解(1) 如图如图,设设ab表示水流的速度表示水流的速度,ad表示渡船的速度表示渡船的速度,ac表示渡船实际垂直过表示渡船实际垂直过江的速度江的速度因为因为abadac,所以四边形所以四边形 abcd 为平行四边形为平行四边形在在 rtacd中中,acd

8、90,|dc|ab|12.5,|ad|25,所以所以cad30,即渡船要垂直地渡过长江即渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西其航向应为北偏西 30.(2)设物体在力设物体在力 f 作用下的位移为作用下的位移为 s,则所做的功为则所做的功为 wfs.ab(7,0)(20,15)(13,15)w1f1ab(3,4)(13,15)3(13)4(15)99(焦焦),w2f2ab(6,5)(13,15)6(13)(5)(15)3(焦焦)一题多变一题多变1变设问变设问本例本例(2)条件不变条件不变,求求 f1,f2的合力的合力 f 为质点所做的功为质点所做的功解：解：wfab(f1f2)ab(3,4)(

9、6,5)(13,15)(9,1)(13,15)9(13)(1)(15)11715102(焦焦)2变条件变条件本例本例(2)条件变为：两个力条件变为：两个力 f1ij,f24i5j 作用于同一质点作用于同一质点,使该质点从使该质点从点点 a(20,15)移动到点移动到点 b(7,0)(其中其中 i,j 分别是与分别是与 x 轴轴、y 轴同方向的单位向量轴同方向的单位向量)求求：f1,f2分别分别对该质点做的功对该质点做的功解：解：ab(7,0)(20,15)(13,15),f1做的功做的功 w1f1sf1ab(1,1)(13,15)28(焦焦)f2做的功做的功 w2f2sf2ab(4,5)(13

10、,15)23(焦焦)用向量方法解决物理问题的用向量方法解决物理问题的“三步曲三步曲”层级一层级一学业水平达标学业水平达标1已知三个力已知三个力 f1(2,1),f2(3,2),f3(4,3)同时作用于某物体上一点同时作用于某物体上一点,为使物体为使物体保持平衡保持平衡,再加上一个力再加上一个力 f4,则则 f4()a(1,2)b(1,2)c(1,2)d(1,2)解析：解析：选选 d由物理知识知由物理知识知 f1f2f3f40,故故 f4(f1f2f3)(1,2)2人骑自行车的速度是人骑自行车的速度是 v1,风速为风速为 v2,则逆风行驶的速度为则逆风行驶的速度为()av1v2bv1v2c|v1

11、|v2|d.|v1v2|解析：解析：选选 b由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为 v1v2.注意速度是有方向和大注意速度是有方向和大小的小的,是一个向量是一个向量3 已知四边形已知四边形 abcd 各顶点坐标是各顶点坐标是 a1，73 ,b1，13 ,c12，2,d72，2,则四则四边形边形 abcd 是是()a梯形梯形b平行四边形平行四边形c矩形矩形d菱形菱形解析：解析：选选 aab2，83 ,dc(3,4),ab23dc,abdc,即即 abdc.又又|ab|4649103,|dc| 9165,|ab|dc|,四边形四边形 abcd 是梯形是梯形4在在a

12、bc 中中,ab3,ac 边上的中线边上的中线 bd 5,acab5,则则ac的长为的长为()a1b2c3d4解析：解析：选选 bbdadab12acab,bd212acab214 2acacab2ab,即即14 2ac1.|ac|2,即即 ac2.5已知已知abc 满足满足2ababac babc ca cb,则则abc 是是()a等边三角形等边三角形b锐角三角形锐角三角形c直角三角形直角三角形d钝角三角形钝角三角形解析：解析：选选 c由题意得由题意得,ab2abacab cb ca cbab(ac cb) ca cbab2 ca cb, ca cb0, ca cb,abc 是直角三角形是直

13、角三角形6 已知力已知力 f(2,3)作用于一物体作用于一物体,使物体从使物体从 a(2,0)移动到移动到 b(2,3),则力则力 f 对物体所做的对物体所做的功是功是_解析：解析：ab(4,3),wfsfab(2,3)(4,3)891.答案：答案：17用两条成用两条成 120角的等长绳子悬挂一个灯具角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为已知灯具重量为 10 n,则每根绳子的拉则每根绳子的拉力大小为力大小为_ n.解析：解析： 如图如图,由题意由题意,得得aoccob60,|oc|10,则则| oa| ob|10,即每根绳子的拉力大小为即每根绳子的拉力大小为 10 n.答案：答案：108已知

14、已知 a,b 是圆心为是圆心为 c,半径为半径为 5的圆上的两点的圆上的两点,且且|ab| 5,则则ac cb_.解析：解析：由弦长由弦长|ab| 5,可知可知acb60,ac cb ca cb| ca| cb|cosacb52.答案：答案：529已知已知abc 是直角三角形是直角三角形,cacb,d 是是 cb 的中点的中点,e 是是 ab 上的一点上的一点,且且 ae2eb.求证：求证：adce.证明：证明：如图如图,以以 c 为原点为原点,ca 所在直线为所在直线为 x 轴轴,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系设设 aca,则则 a(a,0),b(0,a),d0，a2 ,c(0,0),

15、e13a，23a.所以所以ada，a2 , ce13a，23a.所以所以ad cea13aa223a0,所以所以ad ce,即即 adce.10已知点已知点 a(2,1)求过点求过点 a 与向量与向量 a(5,1)平行的直线方程平行的直线方程解：解：设所求直线上任意一点设所求直线上任意一点 p(x,y),则则ap(x2,y1)由题意知由题意知apa,故故 5(y1)(x2)0,即即 x5y70.故过点故过点 a 与向量与向量 a(5,1)平行的直线方程为平行的直线方程为x5y70.层级二层级二应试能力达标应试能力达标1已知一条两岸平行的河流河水的流速为已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m

16、/s,一艘小船以垂直于河岸方向一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的的速度驶向对岸速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为则小船在静水中的速度大小为()a10 m/sb2 26 m/sc4 6 m/sd12 m/s解析：解析：选选 b设河水的流速为设河水的流速为 v1,小船在静水中的速度为小船在静水中的速度为 v2,船的实际速度为船的实际速度为 v,则则|v1|2,|v|10,vv1,v2vv1,vv10,|v2| v22vv1v212 26(m/s)2在在abc 中中,ab3,ac2,bd12bc,则则adbd的值为的值为()a52b.52c54d.54解析解析：选选 c因为因为bd12

17、bc,所以点所以点 d 是是 bc 的中点的中点,则则ad12(abac),bd12bc12(acab),所以所以adbd12(abac)12(acab)14( 2ac2ab)14(2232)54,选选 c.3.如图如图,在矩形在矩形 abcd 中中,ab 2,bc2,点点 e 为为 bc 的中点的中点,点点 f 在边在边 cd上上,若若abaf 2,则则aebf的值是的值是()a. 2b2c0d1解析：解析：选选 aafaddf,abafab(addf)abadabdfabdf 2|df| 2,|df|1,|cf| 21,aebf(abbe)(bccf)abcfbebc 2( 21)122

18、22 2,故故选选a.4.如图如图,设设 p 为为abc 内一点内一点,且且 2 pa2 pbpc0,则则 sabpsabc()a.15b.25c.14d.13解析：解析：选选 a设设 ab 的中点是的中点是 d. pa pb2 pd12pc, pd14pc,p 为为 cd 的五等分点的五等分点,abp 的面积为的面积为abc 的面积的的面积的15.5若若 o 为为abc 所在平面内一点所在平面内一点,且满足且满足( oboc)( oboc2 oa)0,则则abc 的形状为的形状为_解析：解析：( oboc)( oboc2 oa)(abac)( ob oaoc oa)(abac)(abac)|

19、ab|2|ac|20,|ab|ac|.答案：答案：等腰三角形等腰三角形6.如图所示如图所示,在倾斜角在倾斜角为为 37(sin 370.6),高高为为 2 m 的斜面上的斜面上,质量质量为为 5 kg 的物的物体体 m 沿沿斜面下滑斜面下滑,物体物体 m 受到的摩擦力是它对斜面压力的受到的摩擦力是它对斜面压力的 0.5 倍倍,则斜面对则斜面对物物体体 m 的支持力所做的功为的支持力所做的功为_j,重力所做的功为重力所做的功为_j(g9.8 m/s2)解析：解析：物体物体 m 的位移大小为的位移大小为|s|2sin 37103(m),则支持力对物体则支持力对物体 m 所做的功为所做的功为w1fs

20、|f|s|cos 900(j)；重力对物体重力对物体 m 所做的功为所做的功为w2gs|g|s|cos 5359.81030.698(j)答案：答案：0987.如图所示如图所示,一个物体受到同一平面内三个力一个物体受到同一平面内三个力 f1,f2,f3的作用的作用,沿北偏东沿北偏东 45的方向移动的方向移动了了 8 m,其中其中|f1|2 n,方向为北偏东方向为北偏东 30；|f2|4 n,方向为北偏东方向为北偏东 60；|f3|6 n,方向为方向为北偏西北偏西 30,求合力求合力 f 所做的功所做的功解：解：以以 o 为原点为原点,正东方向为正东方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系轴的正

21、方向建立平面直角坐标系,如图所示如图所示,则则 f1(1, 3),f2(2 3,2),f3(3,3 3),所以所以 ff1f2f3(2 3 2,24 3)又位移又位移 s(4 2,4 2),故合力故合力 f 所做的功为所做的功为wfs(2 32)4 2(24 3)4 24 26 324 6(j)即合力即合力 f 所做的功为所做的功为 24 6 j.8.如图如图,平行四边形平行四边形 abcd 中中,e,f 分别是分别是 ad,ab 的中点的中点,g 为为 be 与与df 的交点若的交点若aba,adb.(1)试以试以 a,b 为基底表示为基底表示be,df；(2)求证：求证：a,g,c 三点共

22、线三点共线解：解：(1)beaeab12ba,dfafad12ab.(2)证明：因为证明：因为 d,g,f 三点共线三点共线,则则 dgdf,即即agaddf12a(1)b.因为因为 b,g,e 三点共线三点共线,则则 bgbe,即即agabbe(1)a12b,由平面向量基本定理知由平面向量基本定理知121，112，解得解得23,ag13(ab)13ac,所以所以 a,g,c 三点共线三点共线(时间时间 120 分钟分钟满分满分 150 分分)一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中,只只有

23、有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的)1.在五边形在五边形 abcde 中中(如图如图),abbcdc()aacbadcbddbe解析：解析：选选 babbcdcac cdad.2已知平面向量已知平面向量 a(2,1),b(1,3),那么那么|ab|等于等于()a5b. 13c. 17d13解析：解析：选选 b因为因为 ab(3,2),所以所以|ab| 3222 13,故选故选 b.3设向量设向量 a,b 均为单位向量均为单位向量,且且|ab|1,则则 a 与与 b 的夹角为的夹角为()a.3b.2c.23d.34解析：解析：选选 c|ab|1,|a|22ab|b|21,cosa,b12

24、.又又a,b0,a,b23.4已知向量已知向量 m(1,1),n(2,2),若若(mn)(mn),则则()a4b3c2d1解析解析： 选选 b因为因为 mn(23,3),mn(1,1),由由(mn)(mn),可得可得(mn)(mn)(23,3)(1,1)260,解得解得3.5如图如图,m,n 分别是分别是 ab,ac 的一个三等分点的一个三等分点,且且mn(acab)成立成立,则则()a.12b.13c.23d13解析：解析：选选 b由由mn13bc,且且bcacab,得得13.6设点设点 a(1,2),b(2,3),c(3,1),且且ad2ab3bc,则点则点 d 的坐标为的坐标为()a(2

25、,16)b(2,16)c(4,16)d(2,0)解析：解析：选选 a设设 d(x,y),由题意可知由题意可知ad(x1,y2),ab(3,1),bc(1,4),2ab3bc2(3,1)3(1,4)(3,14)x13，y214，x2，y16.故选故选 a.7 某人在静水中游泳某人在静水中游泳,速度为速度为 4 3 km/h,水流的速度为水流的速度为 4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向他沿着垂直于对岸的方向前进前进,那么他实际前进的方向与河岸的夹角为那么他实际前进的方向与河岸的夹角为()a90 b30c45d60解析：解析： 选选 d如图如图,用用 oa表示水速表示水速, ob表示某人垂直游向对

26、岸的速度表示某人垂直游向对岸的速度,则实际前进方向与河岸的夹角为则实际前进方向与河岸的夹角为aoc.于是于是 tanaoc|ac| oa| ob| oa|v静静|v水水| 3,aoc60,故选故选 d.8 设设d、 e、 f分别是分别是abc的三的三边边bc、 ca、 ab上的点上的点,且且dc2bd, ce2 ea,af2 fb,则则adbecf与与bc()a反向平行反向平行b同向平行同向平行c互相垂直互相垂直d既不平行也不垂直既不平行也不垂直解析：解析：选选 aadbecf(abbd)( baae)( cbbf)13bc13ac cb13 ba13 ba13bc13ac cb13bc,(a

27、dbecf)与与bc平行且方向相反平行且方向相反9设设 a,b 是两个非零向量是两个非零向量()a若若|ab|a|b|,则则 abb若若 ab,则则 ab|a|b|c若若|ab|a|b|,则存在实数则存在实数,使得使得 bad若存在实数若存在实数,使得使得 ba,则则|ab|a|b|解析解析： 选选 c若若|ab|a|b|,则则 a,b 共线共线,即存在实数即存在实数,使得使得 ab,故故 c 正确正确； 选项选项 a：当当|ab|a|b|时时,a,b 可为异向的共线向量可为异向的共线向量；选项选项 b：若若 ab,由矩形得由矩形得|ab|a|b|不成不成立；选项立；选项 d：若存在实数：若存

28、在实数,使得使得 ba,a,b 可为同向的共线向量可为同向的共线向量,此时显然此时显然 |ab|a|b|不不成立成立10 已知已知点点 o,n,p 在在abc 所在的平面内所在的平面内,且且| oa| ob|oc|,nanbnc0, pa pb pbpcpc pa,则点则点 o,n,p 依次是依次是abc 的的()a重心、外心、垂心重心、外心、垂心b重心、外心、内心重心、外心、内心c外心、重心、垂心外心、重心、垂心d外心、重心、内心外心、重心、内心解析解析： 选选 c因为因为| oa| ob|oc|,所以点所以点 o 到三角形的三个顶点的距离相等到三角形的三个顶点的距离相等,所所以以o 为为a

29、bc 的外心的外心； 由由nanbnc0,得得nanbnccn,由中线的性质由中线的性质可知点可知点 n 在在 ab 边的中线上边的中线上,同理可得点同理可得点 n 在其他边的中线上在其他边的中线上,所以点所以点 n 为为abc 的重心；的重心；由由 pa pb pbpcpc pa得得 pa pb pbpc pb ca0,则点则点 p 在在 ac 边边的垂线上的垂线上,同理可得点同理可得点 p 在其他边的垂线上在其他边的垂线上,所以点所以点 p 为为abc 的垂心的垂心11 已知平面上直线已知平面上直线 l 与与 e 所在直线平行且所在直线平行且 e45，35 ,点点 o(0,0)和和 a(1

30、,2)在在 l 上的射上的射影分别是影分别是 o和和 a,则则 o ae,其中其中等于等于()a.115b115c2d2解析：解析：选选 d由题意可知由题意可知| o a| oa|cos()(为为 oa与与 e 的夹角的夹角)o(0,0),a(1,2), oa(1,2)e45，35 , oae145 (2)352| oa|e|cos ,| oa|cos2.又又| o a|e|,2.又由已知可得又由已知可得0,则则abc 为锐角三角形为锐角三角形其中正确的命题有其中正确的命题有()abcd解析解析： 选选 cabac cbbcbc,错误错误abbc caac caacac0,正确由正确由(aba

31、c)(abac)2ab 2ac0,得得|ab|ac|,abc 为等腰三角形为等腰三角形,正确正确acab0cos ac,ab 0,即即 cos a0,a 为锐角为锐角,但不能确但不能确定定 b,c 的大小的大小,不能判定不能判定abc 是否为锐角三角形是否为锐角三角形,错误错误,故故选选 c.二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上)13 平面向平面向量量a,b满足满足|a|1,|b|2,且且(ab)(a2b)7,则向则向量量a,b的夹角为的夹角为_解析：解析：(ab)(a2b)|a2|ab2|b|21ab87,ab0,ab.故故 a,b 的夹角的夹角为为2.答案：答案：214已知向量已知向量 a,b 的夹角为的夹角为 120,|a|1,|b|3,则则|5ab|_.解析：解析：|5ab| |5ab|2 5ab 2 25a2b210ab