年中考数学知识点过关培优训练卷：二次函数的最值

1、2021年中考数学学问点过关培优训练卷：二次函数的最值一挑选题1已知二次函数 y（ x h） 2+4（ h 为常数），在自变量 x 的值满意 1 x4 的情形下，与其对应的函数值y 的最大值为 0，就 h 的值为（）a 1 和 6b2 和 6c 1 和 3d2 和 3 2已知二次函数 y（ x k+2）（x+k）+m，其中 k，m为常数以下说法正确的是（）a如 k1，m 0，就二次函数y 的最大值小于0b如 k1，m 0，就二次函数y 的最大值大于0c如 k1，m 0，就二次函数y 的最大值小于0d如 k1，m 0，就二次函数y 的最大值大于03已知点 a（t ，y1），b（ t+2 ，y2

2、）在抛物线的图象上，且 2t 2，就线段 ab长的最大值、最小值分别是（）a 2，2b2，2c2， 2d2，24对于题目“当 2x1 时，二次函数 y（ x m） 2+m2+1 有最大值 4，求实数 m的值”：甲的结果是 2 或，乙的结果是或，就（）a甲的结果正确 b乙的结果正确 c甲、乙的结果合在一起才正确d甲、乙的结果合在一起也不正确5如 mina ，b，c 表示 a，b，c 三个数中的最小值，当y minx 2， x+2，8x 时（ x0），就 y 的最大值是（）a4b5c6d7 6四位同学在讨论函数yax2 +bx+c（a、b、c 为常数，且 a0）时，甲发1现当 x1 时，函数有最大

3、值；乙发觉 1 是方程 ax2 +bx+c0 的一个根；丙发觉函数的最大值为 1；丁发觉当 x 2 时， y 2，已知四位中只有一位发觉的结论时错误的，就该同学是（ ）a甲b乙c丙d丁 7已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，当 5x0 时，以下说法正确选项（）a有最小值 5、最大值 0b有最小值 3、最大值 6c有最小值 0、最大值 6d有最小值 2、最大值 6 8正实数 x，y 满意 xy 1，那么的最小值为（）abc1d29二次函数 y（ x1） +5，当 m x n 且 mn0 时， y 的最小值为 5m， 最大值为 5n，就 m+n的值为（）a0b 1c 2d 3 10

4、设函数 y x2+2ax 1 在 1x1 的范畴内的最大值记为n，以下说法错误选项（）a当 a 1 时， n 2a 2b当 1a1 时， na2 1 c当 a1 时， n2a2dn 的最小值为 0二填空题11已知二次函数y x2 2x+3，当自变量 x 满意 1x2 时，函数 y 的最大值是12假如二次函数（m为常数）的图象有最高点，那么m的值为213函数 y（ x 2） 2+1 取得最小值时， x14如图，点 p 为线段 ab（不含端点 a、b）上的动点，分别以ap、pb为斜边在 ab的同侧作 rt aep与 rtpfb，aep epf pfb 90°，如 ae+pf8，ep+fb

5、6，就线段 ef 的取值范畴是15定义符号 maxa，b 的含义为：当 ab 时， maxa，b a；当 a b 时，maxa，b b如 max2，3 2，max4，2 2，就 max x2 +2x+3，|x|的最小值是16当 a 1 x a 时，函数 yx22x+1 的最小 值为 1，就 a 的值为17如图，线段 ab10，点 p 在线段 ab上，在 ab的同侧分别以 ap、bp为边长作正方形 apcd和 bpef，点 m、n分别是 ef、cd的中点，就 mn的最小值 是18已知二次函数y x2 8x+m的最小值为 1，那么 m的值等于19如图，在 rt abc中， c90°， b

6、c 4， ba5，点 d在边 ac上的一动点，过点 d 作 deab交边 bc于点 e，过点 b 作 bfbc交 de的延长线于点f，分别以 de，ef 为对角线画矩形cdge和矩形 hebf，就在 d 从 a 到 c 的运动过程中，当矩形 cdge和矩形 hebf的面积和最小时，就ef的长度为320如图，在 rt abc中， c90°， ac6cm，bc2cm，点 p 在边 ac上，从点 a 向点 c 移动，点 q在边 bc上，从点 c向点 b 移动，如点 p，q均以 1cm/s 的速度同时动身，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接 pq，就线 段 pq 的 最 小 值 是

7、 三解答题21如图，点 e，f，g，h 分别在菱形 abcd的四边上， bebf dgdh，连接 ef，fg，gh，he得到四边形 efgh， a60°， aba（1）设 bex，求 he的长度；（用含 a，x 的代数式表示）（2）求矩形 efgh面积的最大值22如图，在 abc中， b90°， ab 12mm，bc 24mm，动点 p 从点 a 开头沿边 ab向 b 以 2mm/s的速度移动（不与点b 重合），动点 q从点 b 开头沿边 bc向 c 以 4mm/s的速度移动（不与点c重合）假如 p、q分别从 a、b 同时动身，那么经过多少秒，四边形apqc的面积最小423

8、如图，在菱形 abcd中，ab 6，adc120°，p 为对角线 ac上的一点，过 p 作 peab交 ad与 e， pfad交 cd于 f，连接 be、bf、ef（1）求 ac的长；（2）求证： bef为等边三角形；（3）四边形 bepf面积的最小值为24阅读下面的材料，回答疑题：爱动脑筋的小明发觉二次三项式也可以配方，从而解决一些问题例如： x2 2x+2（ x2 2x+1）+1（ x1）2+11；因此 x22x+2 有最小值是 1（1）尝试： 2x24x+3 2（x2+2x+11）+3 2（x+1）2+5，因此 2x24x+3 有最大值是；2（2）拓展：已知实数 x，y 满意

9、x +3x+y30，就 y x 的 最大值为；（3）应用：有长为 28 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16 米），围成一个长方形的花圃能围成面积最大的花圃吗？假如能，恳求出最大面积25如图，在 abg中， abac1，a45°，边长为 1 的正方形的一个顶点 d 在边 ag上，与 adc另两边分别交于点 e、f，deab，将正方形平移， 使点 d 保持在 ac上（ d不与 a 重含），设 afx，正方形与 abc重叠部分的面积为 y5（1）求 y 与 x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范畴；（2）x 为何值时 y 的值最大？26定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的

10、一个值，当 x0 时，它们对应的函数值互为相反数；当x0 时，它们对应的函数值相等，我们称这样 的两个函数互为相关函数例如：一次函数yx1，它们的相关函数为y（1）已知点 a（ 5，8）在一次函数 yax 3 的相关函数的图象上，求a 的值；（2）已知二次函数y x2+4x当点 b（m，）在这 个函数的相关函数的图象上时，求m的值；当 3 x 3 时，求函数 y x2+4x的相关函数的最大值和最小值27某企业为杭州运算机产业基地供应电脑配件受美元走低的影响，从去年 1 至 9 月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元） 与月份 x（1x9，且 x 取整数）之间的函数关系如下

11、表：月份 x123456789价格 y1 （元/ 件） 560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台， 原材料价格的涨势趋缓， 10 至 12 月每件配件的原材料价格 y2（元）与月份x（ 10x12，且 x 取整数）之间存在如下列图的变化趋势：（1）请观看题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关学问，直接写出y1 与 x 之间的函数关系式，依据如下列图的变化趋势，直6接写出 y2 与 x 之间满意的一次函数关系式；（2）如去年该配件每件的售价为1000 元，生产每件配件的人力成本为50 元，其它成本 30 元，该配件在 1 至 9 月的销售量

12、 p1 （万件）与月份 x 满意关系式 p1 0.1x+1.1 （ 1 x 9，且 x 取整数），10 至 12 月的销售量 p2（万件） p20.1x+2.9 （ 10x12，且 x 取整数）求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润28定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当 x0 时，它们对应的函数值互为相反数，当x0 时，它们对应的函数值相等，我们称这样 的两个函数互为相关函数例如：一次函数yx1，它的相关函数为y已知二次函数 y x2 +6x（1 ）直接写出已知二次函数的相关函数为y；（2）当点 b（m，）在这个二次函数的相关函数的图象上时，求m的值；（3）当

13、3 x 7 时，求函数 y x2 +6x的相关函数的最大值和最小值229如图，在 aob中， o90°， ao 18cm，bo 30cm，动点 m从点 a 开头沿边 ao以 1cm/s 的速度向终点 o移动，动点 n从点 o开头沿边 ob以 2cm/s 的速度向终点 b 移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动假如 m、n 两点分别从 a、o两点同时动身，设运动时间为 ts 时四边形 abnm的面积为 scm（1）求 s 关于 t 的函数关系 式，并直接写出t 的取值范畴；（2）判定 s 有最大值仍是有最小值，用配方法求出这个值730设 a、b 是任意两个实数，用maxa， b 表

14、示 a、b 两数中较大者，例如： max1， 1 1，max1， 2 2，max4，3 4，参照上面的材料，解答以下问题：（1）max5， 2 ，max0， 3 ；（2）如 max3x+1， x+1 x+1，求 x 的取值范畴；（3）求函数 yx2 2x4 与 y x+2 的图象的交点坐标，函数yx22x4 的图象如下列图，请你在图中作出函数y x+2 的图象，并依据图象直接写出 maxx+2，x2 2x4 的最小值8参考答案 一挑选题1解：当 xh 时， y 随 x 的增大而增大，当xh 时， y 随 x 的增大而减小，如 h1x4，x1 时， y 取得最大值 0， 可得：（ 1h）2 +4

15、0，解得： h 1 或 h 3 （舍）；如 1 x 4 h，当 x4 时， y 取得最大值 0， 可得：（ 4h）2 +40，解得： h 6 或 h2（舍） 综上， h 的值为 1 或 6， 应选： a2解 y（ xk+2）（x+k）+m（ x+1）2+（k1）2+m，当 x 1 时，函数最大值为y（ k1）2+m， 就当 k 1， m 0 时，就二次函数y 的最大值大于 0应选： b3解：点 a（t ，y1），b（t+2 ， y2）在抛物线的图象上y1t2， y （t+2 ）2t2+2t+22ab2 （t+2 t ）2+（y2y1）222 +（t 2 +2t+2 t 2）24+（2t+2 ）

16、24（t+1 ） 2+4ab2 与 t 是二次函数的关系，由抛物线性质可知：当 t 1 时， ab2 取得最小值， ab24，ab2当 t 2 时， ab2 取得最大值， ab2 4×（ 2+1）2 +440， ab应选： c4解：二次函数的对称轴为直线xm，m 2 时， x 2 时二次函数有最大值，22此时（ 2m） +m+14，9解得 m，与 m 2 冲突，故 m值不存在；当 2 m 1 时， xm时，二次函数有最大值， 此时， m2 +14，解得 m，m（舍去）；2当 m 1 时， x1 时二次函数有最大值，2此时，（ 1m）解得 m 2，+m+14，综上所述， m的值为 2

17、或所以甲、乙的结果合在一起也不正确，应选： d5解：用特别值法：这种问题从定义域0 开头枚举代入： x 0， y min0 ，2，8 0； x 1， y min1 ，3，7 1； x 2， y min4 ，4，6 4； x 3， y min9 ，5，5 5； x 4， y min16 ，6，4 4； x 5， y min25 ，7，3 3；y 的最大值是 5， 应选： b6解：四人的结论如下：甲： b+2a0，且 a0，b0； 乙： ab+c 0；丙： a0，且$frac4ac b2 4a 1$，即： 4acb2 4a；丁： 4a+2b+c 2由于甲、乙、丁正确，联立，解得：c 2，a 0，与

18、甲冲突，故其中必有一个错误，所以丙是正确的；如甲乙正确，就： c 3a，b 2a，代入丙： 12a24a2 4a，得： a100，与甲冲突，故甲乙中有一个错，所以丁正确；如乙正确，就 ba+c，代入丙： 4ac（ a+c） 2 4a，化简，得：（ a c） 2 4a，故 a0，与丙中 a0 冲突，故乙错误因此乙错误应选： b7解：由二次函数的图象可知， 5x0，当 x 2 时函数有最大值， y 最大 6； 当 x 5 时函数值最小， y 最小 3 应选： b8解：由已知，得x，+（） 2+1，当，即 x时，的值最小，最小值为1应选： c9解：二次函数 y（ x 1） 2+5 的大致图象如下：2

19、当 m 0 x n 1 时，当 xm时 y 取最小值，即5m（ m1）解得： m 4 或 m 1（舍去）当 xn 时 y 取最大值，即 5n（ n1）2+5， 解得： n 2 或 n 2（均不合题意，舍去） ；+5，11当 m 0 x 1 n 时，当 xm时 y 取最小值，即5m（ m1） 2+5，解得： m 4 或 m 1（舍去）当 x1 时 y 取最大值，即 5n（ 11）2+5， 解得： n 1，或 xn 时 y 取最小值， x 1 时 y 取最大值，5m（ n1）2+5，n1，m5，m0，此种情形不合题意， 所以 m+n 4+1 3 应选： d10解： y x2+2ax 1 的对称轴为

20、 xa，a，当 a 1 时，y 的最大值是 x 1 时的函数值，就： n 1 2a1 2a2，故说法正确；b当 1a1 时， y 的最大值是函数的顶点的纵坐标，就：n2a 1，故说法正确；c当 a1 时， y 的最大值 x1 时的函数值，就： n 1+2a1 2a2，故说法正确；d无法确定 n 的最小值，故说法错误；应选： d二填空题（共10 小题）11解：二次函数yx22x+3（ x 1） 2+2，该抛物线的对称轴为x1，且 a 1 0，当 x 1 时，函数有最小值2，当 x 1 时，二次函数有最大值为： （ 11）2 +26， 故答案为 612解：二次函数（ m为常数）的图象有最高点，12

21、解得： m 2，故答案为： 213解：二次函数y（ x2）2 +1，当 x 2 时，二次函数求得最小值为1 故答案为： 214解：设 aex，pey，就 pf8x，bf6y， aep epf pfb90°，pe bf， pea bfp，4y 3x，在 rt fep中， fe2 fp2+ep2，fe2 y2+（8x）2，fe2 （x）2 +x2 16x+64x216x+64（x） 2+，0x8，当 x时， fe有最小， 当 x0 时， ef 有最大值 8，ef 8故答案为ef 815解： x2+2x+3|x|时，当 x0 时， x2+2x+3x，即： x2+x+3 0，0x，maxx2

22、+2x+3， |x| x2+2x+3，y x2+2x+3（ x 1） 2+4，在 0x的最小值是；当 x0 时， x2+2x+3 x，即 x2+3x+30，x0；maxx2+2x+3， |x| x2+2x+3，13y x2+2x+3（ x 1） 2+4，在x0 的最小值是； x2+2x+3|x|时，当 x0 时， x2+2x+3x，即： x2+x+3 0，x；maxx2+2x+3， |x| |x|，yx，在 x的最小值是；当 x0 时， x2+2x+3 x，即 x2+3x+30，x；maxx2+2x+3， |x| |x|，y x，在 x无最小值；maxx2+2x+3， |x|的最小值是；故答案

23、为；216解：当 y1 时，有 x 2x+11， 解得： x1 0，x22当 a 1 x a 时，函数有最小值1，a12 或 a 0，a3 或 a 0， 故答案为： 0 或 317解：作 mgdc于 g，如下列图：设 mny，pc x，依据题意得： gn5，mg|10 2x| ，222在 rt mng中，由勾股定理得： mnmg+gn，即 y2 52 +（ 102x）20x10，最小值当 102x0，即 x 5 时， y2 25，y 最小值 5即 mn的最小值为 5； 故答案为： 514218解：原式可化为： y（ x4） 16+m，函数的最小值是1， 16+m1，解 得 m 17 故答案为：

24、 1719解：在 rtabc中， c 90°， bc4，ba5，ac3， 设 dcx，就 ad3x，df ab，即，cebe 4，矩形 cdge和矩形 hebf，ad bf，四边形 abfd是平行四边形，矩形 hebfbf ad3x，就 s 阴s矩形 cdg+e sdc.ce+be.bfx.x+（ 3 x）（ 4x）x2 8x+12，0，当 x时，有最小值，dc，有最小值，be 4×2，bf3，15ef，即矩形 cdge和矩形 hebf的面积和最小时，就ef的长度为故答案为20解： apcq t ，cp 6 t ，pq，0t 2，当 t 2 时， pq的值最小，线段 pq的

25、最小值是 2， 故答案是： 2三解答题（共10 小题）21解：（1）设 bex，就 bfdgdh x四边形 abcd为菱形，ad aba，ah aeax a60°， ahe为等边三角形，he a x；（2） a 60°， b120°，efbex，s 矩形 efghhe.efx（ax）当 x时，函数又最大值， s 矩形 efgh22解：设经过 x 秒，四边形 apqc的面积最小由题意得， ap2x， bq4x，就 pb12 2x，16pbq的面积×bq× pb×（ 122x）× 4x 4（x3）2 +36，当 x3s 时， p

26、bq的面积的最大值是36mm2，此时四边形 apqc的面积最小 23（1）解：连接 bd，交 ac于 g，菱形 abcd中， ac和 bd是对角线，bd ac，agcgac，ab 6， adc120°， bac bca30°，在 rt abg中， ag ab.cosbac6×3，ac 2ag6；（2）证明：在菱形abcd中， ab 6， adc120°， bad bcd60°， abd cbd adb cdb 60°， abd是等边三角形，bd abbc6，pe ab，pfad， cpf cad，四边形 depf是平行四边形，ed p

27、f，ad dc， cad acd， cpf acd，pf fc，ed fc，在 bed和 bfc中 bed bfc（sas），17be bf， ebd fbc， fbc+fbd cbd60°， ebd+fbd ebf60°， bef是等边三角形；（3）解：作 phcd于 h，设 fcx，就 pfx，df6x， adc 120°， pfad， pfd 60°，ph pf.sin pfdx，2s 四边形 bepfdf.phx.（6x）（x3） +， 0，四边形 bepf面积有最小值为，故答案为24解：（1） 2x24x+3 2（x2+2x+11）+32（x+

28、1） 2+5 5， 2x24x+3 有最大值是 5， 故答案为： 5；（2）解：由 x2+3x+y30 得2y x 3x+3，把 y 代入 x+y 得：y x x2 3x+3x x2 4x+3（ x+2）2 +3+4 7，yx 的最大值为 7 故答案为： 718（3）解：设利用墙的一边长为x，就 x16，由题意知： s 花圃 x.x2+14x（x14）2+98当 x14 时，花圃面积最大，最大面积为98m2 25解：（1） ab ac， b c，de ab， b ced， afd fde90°， c ced，dc de在 rt adf中， a 45°， adf 45

29、6; a，af dfx，adx，dc de1x，y（de+fb）× df（1x+1x）x（+1）x2+x点 d保持在 ac上 ，且 d不与 a 重合，0ad 1，0x 1，0x故 y（+1）x2+x，自变量 x 的取值范畴是 0x；（2） y（+1）x2+x，当 x1 时， y 有最大值26解：（1）yax3 的相关函数 y，将 a（ 5， 8）代入 y ax+3 得： 5a+38，19解得 a 1；（2）二次函数 y x2+4x的相关函数为 y，当 m 0 时，将 b（m，）代入 yx24x+得 m2 4m+ ，解得： m 2+（舍去），或 m2，当 m0 时，将 b（ m，）代入

30、 y x2+4x得：2m+4m，解得： m 2+或 m2综上所述： m2或 m 2+或 m2；当 3 x 0 时， yx2 4x+，抛物线的对称轴为x 2，此时 y 随 x 的增大而减小，此时 y 的最大值为，当 0x3 时，函数 y x2+4x，抛物线的对称轴为x 2，当 x0 有最小值，最小值为，当 x2 时，有最大值，最大值y， 综上所述，当 3x3 时，函数 y x2 +4x的相关函数的最大值为，最小值为27解：（1）利用表格得出函数关系是一次函数关系： 设 y1 kx+b，解得：，y120x+540，利用图象得出函数关系是一次函数关系：设 y2 ax+c，20，解得：，y210x+630（2）去年 1 至 9 月时，销售该配