年11月浙江省新高考学业水平考试数学试卷

1、2021 年 11 月浙江省新高考学业水平考试数学试卷一、挑选题：本大题共18 小题，每道题3 分，共 54 分在每道题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（3 分）（2021.浙江学业考试）已知集合a= 1，2， 3 ，b= 1，3，4 ，就 a b=（）a 1，3b 1，2， 3c 1，3，4d 1，2，3，42（3 分）（2021.浙江学业考试）已知向量=（ 4， 3），就| =（）a3b4c5d7 3（3 分）（2021.浙江学业考试）设为锐角， sin=，就 cos （=）abcd4（3 分）（2021.浙江学业考试） log2=（）a 2 bcd25（3 分）（2021.浙

2、江学业考试）以下函数中，最小正周期为的是（）ay=sinxby=cosxcy=tanxdy=sin6（3 分）（2021.浙江学业考试）函数y=的定义域是（）a（ 1，2b 1，2c（ 1， 2）d 1，2）7（3 分）（2021.浙江学业考试）点（ 0，0）到直线 x+y 1=0 的距离是（）abc1d8（ 3 分）（2021.浙江学业考试） 设不等式组所表示的平面区域为m ，就点（ 1，0），（ 3，2），（ 1，1）中在 m 内的个数为（）a0b1c2d39（3 分）（2021.浙江学业考试）函数f（x）=x.ln| x| 的图象可能是（）abcd10（ 3 分）（ 2021.浙江学业考

3、试）如直线l 不平行于平面 ，且 l.，就（）a内的全部直线与l 异面b内只存在有限条直线与l 共面c内存在唯独直线与l 平行d内存在很多条直线与l 相交11（ 3 分）（ 2021.浙江学业考试）图（ 1）是棱长为 1 的正方体 abcda1b1c1d1截去三棱锥 a1 ab1 d1 后的几何体，将其围着棱dd1 逆时针旋转 45°，得到如图（ 2）的几何体的正视图为（）abcd12（3 分）（2021.浙江学业考试） 过圆 x2+y22x8=0 的圆心，且与直线 x+2y=0垂直的直线方程是（）a2xy+2=0bx+2y1=0c 2x+y2=0d2x y2=013（3 分）（20

4、21.浙江学业考试） 已知 a，b 是实数，就“| a| 1 且| b| 1”是“2a+b2 1”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件14（ 3 分）（2021.浙江学业考试）设a，b 为椭圆（ab0）的左、右顶点，p 为椭圆上异于a，b 的点，直线 pa，pb 的斜率分别为 k1，k2，如 k1.k2=，就该椭圆的离心率为（）abcd15（ 3 分）（2021.浙江学业考试）数列 an 的前 n 项和 sn 满意 sn=an n， n n* ，就以下为等比数列的是（）a an+1b an 1c sn +1d sn116（ 3 分）（2021.浙江学业考试）正

5、实数x， y 满意 x+y=1，就的最小值是（）a3+b2+2c5d17（ 3 分）（ 2021.浙江学业考试）已知1 是函数 f（x）=ax2+bx+c（ a b c）的一个零点， 如存在实数 x0使得 f（x0）0就 f（x）的另一个零点可能是 （） ax0 3bx0cx0+dx0+218（3 分）（2021.浙江学业考试）等腰直角 abc斜边 cb上一点 p 满意 cpcb，将 cap沿 ap 翻折至 ca，p 使二面角 c apb 为 60°，记直线 c，ac，bcp与平面 apb所成角分别为 ，就（） abcd二.填空题19（ 6 分）（ 2021.浙江学业考试）设数列 a

6、n 的前 n 项和为 sn ，如 an=2n1，n n* ，就 a1=，s3=20（ 3 分）（2021.浙江学业考试）双曲线=1 的渐近线方程是21（ 3 分）（2021.浙江学业考试）如不等式| 2xa|+| x+1| 1 的解集为 r，就实数 a 的取值范畴是22（ 3 分）（2021.浙江学业考试）正四周体a bcd的棱长为 2，空间动点 p 满意| =2，就的取值范畴是三.解答题23（ 10 分）（2021.浙江学业考试）在 abc中，内角 a， b，c 所对的边分别为 a，b，c，已知 cosa=（ 1）求角 a 的大小；（ 2）如 b=2， c=3，求 a 的值；（ 3）求 2s

7、inb+cos（）的最大值24（ 10 分）（2021.浙江学业考试）如图，抛物线 x2=y 与直线 y=1 交于 m，n 两点， q 为该抛物线上异于 m，n 的任意一点，直线 mq 与 x 轴、y 轴分别交于点a，b，直线 nq 与 x 轴， y 轴分别交于点 c， d（ 1）求 m ， n 两点的坐标；（ 2）证明： b， d 两点关于原点 o 的对称；（ 3）设 qbd， qca的面积分别为 s1， s2，如点 q 在直线 y=1 的下方，求 s2 s1 的最小值25（ 11 分）（2021.浙江学业考试）已知函数g（x）=t.2x+13x+1，h（x）=t.2x 3x，其中 x， t

8、 r（ 1）求 g（2） h（2）的值（用 t 表示）；（ 2）定义 1，+）上的函数 f（x）如下： f（x）=（kn* ）如 f（ x）在 1， m）上是减函数，当实数m 取最大值时，求t 的取值范畴2021 年 11 月浙江省新高考学业水平考试数学试卷参考答案与试题解析一、挑选题：本大题共18 小题，每道题3 分，共 54 分在每道题给出的四个选 项 中 ， 只 有 一 个 是 符 合 题 目 要 求 的 1（3 分）（2021.浙江学业考试）已知集合a= 1，2， 3 ，b= 1，3，4 ，就 a b=（）a 1，3b 1，2， 3c 1，3，4d 1，2，3，4【分析】 依据并集的定

9、义写出a b【解答】 解：集合 a= 1，2，3 ， b= 1， 3， 4 ， 就 ab= 1，2，3，4 应选： d【点评】 此题考查了并集的定义与运算问题，是基础题2（3 分）（2021.浙江学业考试）已知向量=（ 4， 3），就| =（）a3b4c5d7【分析】 依据平面对量的模长公式运算可得【解答】 解：由于向量=（4，3），就| =5；应选 c【点评】 此题考查了平面对量的模长运算；属于基础题3（3 分）（2021.浙江学业考试）设为锐角， sin =，就 cos （=）abcd【分析】依据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得 cos的值【解答】 解： 为锐角

10、， sin =，就 cos=，应选： d【点评】此题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题4（3 分）（2021.浙江学业考试） log2=（）a 2 bcd2【分析】 直接利用对数运算法就化简求解即可【解答】 解： log2=log21log24= 2应选： a【点评】 此题考查对数的运算法就的应用，考查运算才能5（3 分）（2021.浙江学业考试）以下函数中，最小正周期为的是（）ay=sinxby=cosxcy=tanxdy=sin【分析】 求出函数的周期，即可判定选项【解答】解： y=sinx，y=cosx的周期是 2，y=sin的周期是 4，y=ta

11、nx 的周期是 ；应选： c【点评】 此题考查三角函数的周期的求法，是基础题6（3 分）（2021.浙江学业考试）函数y=的定义域是（）a（ 1，2b 1，2c（ 1， 2）d 1，2）【分析】 依据二次根式的性质求出函数的定义域即可【解答】 解：由题意得：， 解得： 1 x2，故函数的定义域是（ 1，2 ，应选： a【点评】此题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质， 是一道基础题7（3 分）（2021.浙江学业考试）点（ 0，0）到直线 x+y 1=0 的距离是（）abc1d【分析】 利用点到直线的距离公式即可得出【解答】 解：点（ 0， 0）到直线 x+y1=0 的距离 d=应选：

12、 a【点评】此题考查了点到直线的距离公式，考查了推理才能与运算才能，属于基础题8（ 3 分）（2021.浙江学业考试） 设不等式组所表示的平面区域为m ，就点（ 1，0），（ 3，2），（ 1，1）中在 m 内的个数为（）a0b1c2d3【分析】 验证点的坐标是否满意不等式组，即可得到结果【解答】 解：不等式组所表示的平面区域为m ，点（ 1，0），代入不等式组，不等式组成立，所以（ 1， 0），在平面区域 m 内点（ 3，2），代入不等式组，不等式组不成立，所以（ 3，2），不在平面区域 m内点（ 1，1），代入不等式组，不等式组不成立，所以（1，1），不在平面区域 m 内应选： b【点评】

13、 此题考查线性规划的应用，点的坐标与可行域的关系，是基础题9（3 分）（2021.浙江学业考试）函数f（x）=x.ln| x| 的图象可能是（）abcd【分析】 判定函数的奇偶性排除选项，利用特别点的位置排除选项即可【解答】 解：函数 f （x） =x.ln| x| 是奇函数，排除选项a， c；当 x=时， y=，对应点在 x 轴下方，排除b；应选： d【点评】此题考查函数的图象的判定， 函数的奇偶性以及特别点的位置是判定函数的图象的常用方法10（ 3 分）（ 2021.浙江学业考试）如直线l 不平行于平面 ，且 l.，就（） a内的全部直线与l 异面 b内只存在有限条直线与l 共面 c内存在

14、唯独直线与l 平行 d内存在很多条直线与l 相交【分析】 依据线面相交得出结论【解答】 解：由题意可知直线l 与平面 只有 1 个交点，设 l=a，就 内全部过 a 点的直线与 l 都相交，应选 d【点评】 此题考查了空间线面位置关系，属于基础题11（ 3 分）（ 2021.浙江学业考试）图（ 1）是棱长为 1 的正方体 abcda1b1c1d1截去三棱锥 a1 ab1 d1 后的几何体，将其围着棱dd1 逆时针旋转 45°，得到如图（ 2）的几何体的正视图为（）abcd【分析】正视图是光线从几何体的前面对后面正投影得到的投影图，结合三视图的作法，即可判定出其正视图【解答】 解：由题

15、意可知几何体正视图的轮廓是长方形，底面对角线 db 在正视图的长为，棱 cc1 在正视图中的投影为虚线， d1a， b1a 在正视图中为实线；故该几何体的正视图为b应选： b【点评】此题考查三视图与几何体的关系，从正视图的定义可以判定出题中的正 视图，同时要留意能观察的轮廓线和棱用实线表示，不能观察的轮廓线和棱用虚线表示12（3 分）（2021.浙江学业考试） 过圆 x2+y22x8=0 的圆心，且与直线 x+2y=0垂直的直线方程是（）a2xy+2=0bx+2y1=0c 2x+y2=0d2x y2=0【分析】 求出圆心坐标和直线斜率，利用点斜式方程得出直线方程【解答】 解：圆的圆心为（ 1，

16、0），直线 x+2y=0 的斜率为，所求直线的方程为y=2（ x 1），即 2xy2=0应选 d【点评】 此题考查了直线方程，属于基础题13（3 分）（2021.浙江学业考试） 已知 a，b 是实数，就“| a| 1 且| b| 1”是“2a+b2 1”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【分析】 依据充分条件和必要条件的定义进行判定即可【解答】 解： “| a| 1 且| b| 1”，不肯定能推出 “2a+b2 1，例如 a=b=0.8，即充分性不成立，如 a2+b21 肯定能推出 a| 1 且| b| 1，即必要性成立， 故“| a| 1 且| b| 1”

17、是“2a+b21”的必要不充分条件， 应选： b【点评】 此题主要考查充分条件和必要条件的判定，比较基础14（ 3 分）（2021.浙江学业考试）设a，b 为椭圆（ab0）的左、右顶点，p 为椭圆上异于a，b 的点，直线 pa，pb 的斜率分别为 k1，k2，如 k1.k2=，就该椭圆的离心率为（）abcd【分析】 由题意可得 a（ a， 0），b（a，0），设 p（ x0， y0），由题意可得ab 的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得【解答】 解：由题意可得 a（ a，0），b（a，0），设 p（x0， y0），就由 p 在椭圆上可得 y02=.b2，直线 ap与 bp的斜率之积为

18、，=，把代入化简可得=，=，离心率 e=应选： c【点评】此题考查椭圆的简洁性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，属中档题15（ 3 分）（2021.浙江学业考试）数列 an 的前 n 项和 sn 满意 sn=an n， nn* ，就以下为等比数列的是（）a an+1b an 1c sn +1d sn1【分析】 依据题意，将sn=ann 作为式，由此可得sn 1=an 1 n+1，将两式相减，变形可得an =3an 1+2，进而分析可得 an+1=3（an 1+1），结合等比数列的定义分析即可得答案【解答】 解：依据题意，数列 an 满意 sn =ann， 就有 sn 1=an 1 n+1，

19、可得： sn sn 1=（ anan 1） 1，即 an=3an 1+2，对变形可得： an+1=3（ an 1+1），即数列 an+1 为等比数列，应选： a【点评】此题考查数列的递推公式以及等比数列的判定，关键是求出数列 an 的通项公式16（ 3 分）（2021.浙江学业考试）正实数x， y 满意 x+y=1，就的最小值是（）a3+b2+2c5d【分析】 利用“1的”代换，然后利用基本不等式求解即可【解答】 解：正实数x， y满意x+y=1，就=2+2+2=2当且仅当 x=2时取等号应选： b【点评】 此题考查基本不等式在最值中的应用，考查运算才能17（ 3 分）（ 2021.浙江学业考

20、试）已知1 是函数 f（x）=ax2+bx+c（ a b c）的一个零点， 如存在实数 x0使得 f（x0）0就 f（x）的另一个零点可能是 （）ax0 3bx0cx0+dx0+2【分析】 由题意可得 a bc，就 a0，c0，且| a| | b| ，得，然后分类分析得答案【解答】 解： 1 是函数 f（x）=ax2+bx+c 的一个零点， a+b+c=0， a b c， a 0， c 0，且| a| | b| ，得，函数 f （x） =ax2+bx+c 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x=，就，画出函数大致图象如图：当 0，函数的另一零点x1 1，0）， x0（ 1， 1），就 x0

21、3（ 4，2），（，），（，），x0+2（1，3）；当0，函数的另一零点x1（ 2， 1），x0（ 2，1），就 x03（ 5，2），（，），（，），x0+2（ 0， 3）综上， f（x）的另一个零点可能是应选： b【点评】此题考查根的存在性及根的个数判定，考查数形结合的解题思想方法及分类争论的数学思想方法，是中档题18（3 分）（2021.浙江学业考试）等腰直角 abc斜边 cb上一点 p 满意 cpcb，将 cap沿 ap 翻折至 ca，p 使二面角 c apb 为 60°，记直线 c，ac，bcp与平面 apb所成角分别为 ，就（） abcd【分析】 建立坐标系，找出c在平面

22、abc上的射影 n，判定 n 到 a，b，p 三点的距离大小得出结论【解答】 解：以 a 为原点建立平面直角坐标系如下列图：过 c 作 cm ap，垂足为 h，使得 ch=mh，设 mh 的中点为 n，二面角 capb 为 60°， c在平面 abc上的射影为 n连接 np，na，nb明显 np na设 ac=ab=1，就 ch=sin pac， cn=ch=sinpac， n 到直线 ac 的距离 d=cn.sinacnsinpac， cp， sinpac d，即 n 在直线 y=下方， nanb设 c到平面 abc的距离为 h，就 tan = ，tan = ，tan = ， np

23、nanb， tan tan tan ，即 应选 c【点评】 此题考查了空间角的大小比较，属于中档题二.填空题19（ 6 分）（ 2021.浙江学业考试）设数列 an 的前 n 项和为 sn ，如 an=2n1，n n* ，就 a1=1，s3=9【分析】 由 an=2n 1， n n* ，依次求出数列的前3 项，由此能求出结果【解答】 解：数列 an 的前 n 项和为 sn，an=2n 1，nn* ， a1=2×11=1， a2=2×21=3， a3=2×31=5， s3=1+3+5=9故答案为： 1，9【点评】 此题考查数列的首项和前3 项和的求法，考查数列的通项

24、公式、前n项和公式等基础学问，考查运算求解才能，考查函数与方程思想，是基础题20（3 分）（2021.浙江学业考试）双曲线=1 的渐近线方程是【分析】 依据双曲线的渐近线方程即可得到结论【解答】 解：双曲线的方程=1， a2=9，b2=16， 即 a=3，b=4，就双曲线的渐近线方程为， 故答案为：【点评】 此题主要考查双曲线渐近线的判定，依据双曲线的方程确定a，b 是解决此题的关键比较基础21（ 3 分）（2021.浙江学业考试）如不等式| 2xa|+| x+1| 1 的解集为 r，就实数 a 的取值范畴是（， 4 0+）【分析】令 f（x）=| 2x a|+| x+1| ，由不等式 | 2

25、xa|+| x+1| 1 的解集为 r 可得： f（） 1，且 f （ 1） 1，进而得到答案【解答】 解：令 f（ x）=| 2xa|+| x+1| ，不等式 | 2x a|+| x+1| 1 的解集为 r， f（） 1，且 f（ 1） 1， |+1| 1，且| 2a| 1， a 4 或 a0即实数 a 的取值范畴是：（， 4 0+） 故答案为：（， 4 0+）【点评】此题考查的学问点是肯定值不等式的解法，函数恒成立问题， 难度中档22（ 3 分）（2021.浙江学业考试）正四周体a bcd的棱长为 2，空间动点 p 满意| =2，就的取值范畴是 0，4【分析】 建立空间中坐标系，设p（x，

26、y，z），求出关于 x， y， z 的表达式，依据 | =2 得出 x，y，z 的范畴，利用简洁线性规划得出答案【解答】 解：设 bc的中点为 m，就| =| 2| =2， | =1，即 p 在以 m 为球心，以 1 为半径的球面上以 m 为原点建立如下列图的空间坐标系如下列图：就 a（，0，），d（，0，0），设 p（x， y， z），就=（x，y，z），=（，0，），=xz+2， p 在以 m 为球心，以 1 为半径的球面上， x2+y2+z2=1， 0 y21，0x2+z2 1 令xz+2=m，就直线xz+2 m=0 与单位圆 x2+z2=1 相切时，截距取得最值，令=1，解得 m=0

27、或 m=4的取值范畴是 0，4 【点评】 此题考查了平面对量的数量积运算，属于中档题三.解答题23（ 10 分）（2021.浙江学业考试）在 abc中，内角 a， b，c 所对的边分别为 a，b，c，已知 cosa=（ 1）求角 a 的大小；（ 2）如 b=2， c=3，求 a 的值；（ 3）求 2sinb+cos（）的最大值【分析】（1）依据 cosa=，求得 a 的值（ 2）由题意利用余弦定理，求得a 的值（ 3）利用两角和差的三角公式化简解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得 2sinb+cos（）的最大值【解答】 解：（1） abc中， cosa=， a=（ 2）如 b=2， c=

28、3，就 a=（ 3）2sinb+cos（）=2sinb+cosbsinb=sinb+cosb=sin（b+）， b（ 0，）， b+（，），故当 b+=时， 2sinb+cos（）取得最大值为【点评】此题主要考查依据三角函数的值求角，余弦定理，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题24（ 10 分）（2021.浙江学业考试）如图，抛物线 x2=y 与直线 y=1 交于 m，n 两点， q 为该抛物线上异于 m，n 的任意一点，直线 mq 与 x 轴、y 轴分别交于点a，b，直线 nq 与 x 轴， y 轴分别交于点 c， d（ 1）求 m ， n 两点的坐标；（ 2）证明： b

29、， d 两点关于原点 o 的对称；（ 3）设 qbd， qca的面积分别为 s1， s2，如点 q 在直线 y=1 的下方，求 s2 s1 的最小值【分析】（1）由 得 m，n 两点的坐标为 m （1， 1），n（1，1）（ 2）设点 q 的坐标为（ ），得点 b 坐标为（ 0， x0 ），点 d 坐标为（ 0， x0），可得 b， d 两点关于原点 o 的对称（ 3）由（ 2）得| bd| =2| x0| ，s1=| bd|x0| =x02在直线 mq 的方程中令 y=0，得点 a 坐标为（，0），在直线 nq 的方程中令 y=0，得点 c 坐标为（，00），s2| ac|x02| =，令 t=1x 2，t（0，1 ，就 s2 s1=2t+32 3 即可【解答】 解：（1）由得或 m，n 两点的坐标为 m （ 1，1）， n（1，1）（ 2）设点 q 的坐标为（），直线 mq 的方程为： y=（ x01）（ x+1）+1，令 x=