初等积分法课件

1、2021-11-21初等积分法PPT课件1)5 . 9()()(ygxfdxdy1. 变量分离的方程变量分离的方程9-2 初等积分法初等积分法例如例如11;1;cos222xydxdyeyyxyxyyyx等都是变量分离的方程.xyyxdxdysincos5则不是变量分离的方程.而方程2021-11-21初等积分法PPT课件2)5 . 9()()(ygxfdxdy设y=y(x)(axb)是方程（9.5）的解，则有).),()()(bxaxygxfdxxdy若 则上式可化为),0)(bxaxyg.)()()(dxxfxygxdy),0)()(1)(),()(ygygxGxfxF再若已知则由 一阶微

2、分方程形式不变性，上式可写成),()(xdFxydG2021-11-21初等积分法PPT课件3）（9.6,)()(CxFxyG于是有其中C 为任意常数. 即微分方程（9.5）的使0)(xyg的解y(x)必满足（9.6）. 反过来，若由函数方程CxFyG)()(能确定出隐函数y(x)(其中G(y)与F(x)分别是)()(1xfyg与的原函数），则y(x)就是微分方程(9.5)的解.因此当0)(yg时,只需求隐函数方程dxxfygdy)()(的解.2021-11-21初等积分法PPT课件4)5 . 9()()(ygxfdxdy将方程将方程(9.5)分离变量分离变量,得得, 0)(,)()(ygdx

3、xfygdy变量x,y已分离在方程两端， 然后两端积分，得 12,dyG yCf x dxF xCg y若 CxFyG)()(则,yx C(隐式解隐式解)(显式解显式解)通解通解. . 000,0,g yyg y若 有根即程的一个解程的一个解,此解可能不包含在通解中此解可能不包含在通解中, 此时称之为此时称之为奇解奇解显然显然y(x)= 也是方也是方0y2021-11-21初等积分法PPT课件5例例 1 求解微分方程解解,kdxydy)7 . 9(,1kxCeey然后两端积分得. 0,kkydxdy其中常数0k为任意常数,即11,lnCCkxy,1kxCeey当 时， .故若令),(1C0 )

4、,(1Ce,12CeC则（9.7）式可写成,)(2kxeCxy) 8 . 9(. 0 ),(2C其中又 显然也是方程的一个解，这个解也可表成0y2021-11-21初等积分法PPT课件6其中C是任意常数.).0()(22CeCxykx 因而将此解与（9.8）式表示的解合并，得所求方程的通解为,)(kxCexy例例 1 求)0(43yydxdy的全部解，并作积分曲线的图形.解解 当 时，分离变量得0y,43dxydy两端积分得,44Cxy2021-11-21初等积分法PPT课件7故通解为,)(25614CxCxyC为任意常数.又y=0时 ，故 也是其一个解.这个解不包含在通解中.0y)(0 xy

5、)0(43yydxdy2021-11-21初等积分法PPT课件82. 可化为变量分离方程的几类方程可化为变量分离方程的几类方程(1) 形如形如dyf axbycadx ,b,c为常数zaxbyc作变量替换 即得 dzdyababf zdxdx,该方程是关于新未知函数z的变量分离方程.例例 4 求 的全部解.)1sin(yxy解解令z=x+y+1,则.sin11zyz当当 即即1sinz),2, 1,0(232 kkz.)(dxzbfadz2021-11-21初等积分法PPT课件9分离变量并积分锝,sin1dxzdz即即.)24tan(Cxz,0)214tan(yxCx其中C是任意常数.又可看出

6、),2, 1,0(232 kkz也是方程的解. 故方程还有特解).,2, 1,0(2321 kkyx.sin11zyz2021-11-21初等积分法PPT课件10(2) 形如形如),(ddyxfxy其中右端的函数f(x,y) 是齐次函数齐次函数 .的方程,齐次方程齐次方程f(x,y)是齐次函数是指对于任意的).,(),(, 0yxftytxft若f(x,y)可以写成 的函数 则它一定是齐次函数.xy),(xyh.212222xyxyxyxyxyxyy例如xyxyxyxy2dd22是齐次方程. 因为2021-11-21初等积分法PPT课件11)(),(xyhyxfdxdy齐次方程齐次方程 的解法

7、：的解法：令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduhxuxuxxuuhud)(d两边积分, 得xxuuhud)(d积分后再用xy代替 u,便得原方程的通解.分离变量: 2021-11-21初等积分法PPT课件12 例例 5 求解方程).0(xxeyyxxy解解首先将方程写作).0(xexyyxy令,xyu ,xuy 则,ddddxuxuxy代入原方程得),0(ddxeuxuxuu),0(ddxexuxu分离变量:),0(dxxdxeuu2021-11-21初等积分法PPT课件13两端积分得),0(lnxCxeu即原方程通解为.lnCexxy(C 为任意常数)例例 5

8、 求解方程).0( ,22xyyxyx解解将方程写作.)(12xyxyy,xyu 令令方程可化为,12uuuxu2021-11-21初等积分法PPT课件14)14. 9(.1d2xudxu即时，有当1u,12xdxudu积分得,lnarcsin1xCu即. 0,arcsinarcsin1CCeeexuuC)0( 1xu又 也是方程(9.14)的解. 原方程的解为).0, 0(,arcsinCxCexxy及).0( xxy2021-11-21初等积分法PPT课件15(3) 形如形如111222.1,2iiia xb ycdyfaidxa xb yc ,b ,c为常数, 11220abab i 1

9、1122200a xb yca xb yc的方程的方程.当当 时，方程(9.15)的右端为x,y的齐次函数.021 cc 当当 中至少有一个不等于零时，分下面两种两种情况讨论中至少有一个不等于零时，分下面两种两种情况讨论.21,cc),(00yx有唯一解.记此解为 .即 满足),(00yx. 2 , 1),(00iybxaciii于是2021-11-21初等积分法PPT课件1611220abab ii 1122110,a ba bk a b当时,记11za xb y令111112zcdzdyabab fdxdxkzc则 00,uxx vyy令111cybxa),()(0101yybxxa222

10、cybxa).()(0202yybxxa则方程(9.5)化为,1211vbuavbuafdudv这是关于u,v的齐次方程.变量分离的方程变量分离的方程2021-11-21初等积分法PPT课件171120,abb当=0时,由 =0,=01122a xcyfa xc111222.cabyfa xb yc当=0时,方程为变量分离的方程变量分离的方程形如形如)(cbyaxfy例例 5 求解方程.32412yxyxy解解这里分子分母中的x,y项的系数成比例.令,2yxz则32122zzyz.32) 1(5zz分离变量并积分得,5132dxdzzz2021-11-21初等积分法PPT课件18由此可求出通积

11、分,152xzCez再用x,y表示z，得原方程的通积分,122xyCeyx其中C 为任意常数.3. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 dyPxyQxdx如方程txtdtdxxyyyxycos,sin,222等都是线性方程.而而ydxdyedtdxyeytxx,2等都是非线性方程.2021-11-21初等积分法PPT课件190)(ddyxPxy1. 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(一阶线性微分方程的上述通解包含了它的一切解一阶线性微分方程的上述通解包含了它的一切解 dyPxyQxdx若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次

12、方程非齐次方程 .称为齐次方程齐次方程 ;0)(yxPdxdy2021-11-21初等积分法PPT课件20对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2. 解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-11-21初等积分

13、法PPT课件21例例 8 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法常数变易法求特解. 令,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(2021-11-21初等积分法PPT课件22例例9 求解伯努利方程)1,0()()(ddyxQyxPxyy以)()(dd1xQyxPxyy令,1 yzxyyxzdd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQzxPxz求出此方程通解后

14、,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解解(线性方程线性方程)2021-11-21初等积分法PPT课件23 补补例例 3 求方程 的通解.2)(lnyxaxydxdy),(ln112xayxdxdyy即),(ln1)(11xayxdxyd则上述方程成为令,1 yz),(ln1xazxdxdz通解为CdxexQezdxxPdxxP)()()(Cdxexaezdxxdxx11)ln(解解 以 除方程的两端，得2y2021-11-21初等积分法PPT课件24.)(ln22xaCxz，代以zy1.1)(ln22xaCyx 补补 例例 解方程 .1yxdxdy 解解 把所给方程变形为,yx

15、dydxCdyeyQexdyyPdyyP)()()(得所求方程的通解为.1yCexy,yxdydx.1)(yQyP这里2021-11-21初等积分法PPT课件254. 全微分方程与积分因子全微分方程与积分因子使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称0d),(d),(yyxQxyxP为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,xQyPDyx),( 为全微分方程 则求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .

16、2021-11-21初等积分法PPT课件26例例 10 求解微分方程. 042324dyyxdxxy解解)(42yxd因为,42324dyyxdxxy因而, 0)(42yxd故其通积分为,42CyxC为任意常数.例例 11 求解微分方程. 0)2sin21()2cos(2222dyyyxyxdxxyyx解解因为2),(,4sinRyxxQxyyxyP2021-11-21初等积分法PPT课件27且它们在全平面上连续，所以方程为全微分方程.求原函数u(x,y).由 . 对x积分得22cos),(xyyxyxPxu)28. 9(),(cos21),(222yyxyxyxu其中 为待定的可微函数.上式

17、对y求偏导数得)(y).(2sin2122yyxyxyu另一方面，),(yxQyu,2sin21222yyxyx,)(2yy ,31)(3yy 代入（9.28）式得2021-11-21初等积分法PPT课件28,31cos21),(3222yyxxxyxu故原方程通解为,31cos213222CyyxxxC为任意常数.2021-11-21初等积分法PPT课件29),(yxyxo补例补例 求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解 因为yP236yyx ,xQ故这是全微分方程. , 0, 000yx取则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223y

18、x3yx331y因此方程的通解为Cyyxyxx332253123)0 ,(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,),(),(),(000CdyyxQdxyxPyxuyyxx（3）2021-11-21初等积分法PPT课件30 (2) 积分因子：积分因子： 命题命题满足满足 ,MNyxF xN x y ,NMxyG yM x y或或则则 0 xxF t dtxe 定义定义 若方程若方程M(x, y)dxN(x, y)dy0不是全微分方程不是全微分方程,但但存在存在 一个函数一个函数 使方程使方程 (x, y)M(x, y)dx(x, y)N(x,y)dy0 是全微分方程，则函数是全微分方程，则函

19、数(x, y) 叫做此方程的叫做此方程的积分因子积分因子,0 x y,0M x y dxN x y dy若方程中的函数若方程中的函数,M N 0yyG t dtye是该微分方程的一个是该微分方程的一个积分因子积分因子xNyMyMxN2021-11-21初等积分法PPT课件31例例 12 求解微分方程)40. 9(. 0)3()2(32dyyxdxyxy解解, 0)21 (2) 14(1xyxyyMxN因而不是全微分方程，但,2yMyMxN所以. 0,1)(2|ln2)2(1yyeeyydtyy),40. 9()(y得全微分方程. 0322yydxxdyydyxdx通积分为,2322CyxyxC

20、为任意常数.2021-11-21初等积分法PPT课件32 比较简单的情形下可用观察法求积分因子. 例如，方程 y d x - x d y = 0 不是全微分方程， 但 由于 可知 是一个积分因子. 易知 1 / x y , 都是积分因子.乘上其中任何一个并积分， 便能得到所求方程的通解： 又例如，方程 （1 + x y) y d x + ( 1 - x y ) x d y = 0 也不是全微分方程，但将它的各项重新合并，得,)(2yxdyydxyxd21y21x.Cyxy d x + x d y ) + x y ( y d x - x d y ) = 0 , 0)(22ydyxdxyxxyd2

21、021-11-21初等积分法PPT课件33.0)(22ydyxdxyxxyd积分得通解为即).(ln1111CxyeCceyxCyxxy容易看出 为积分因子，乘上它，方程变为221yx, 0)(22ydyxdxyxxyd2021-11-21初等积分法PPT课件34常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xyarctgdyxydxxdy22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可选用积分因子可选用积分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 2021-11-21初等积分法PPT课件35 解法：解法： 5. 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程 (1) 不显含未知函数不显含未知函数y的方程的方程,0F x y y .0),( zzxF令，令， 则方程化为关于新未则方程化为关于新未 知知zy,zy z函数函数 的一阶方程的一阶方程若求出该方程的通积分为,0),(1Czx再求解一阶微分方程0),(1Cdxdyx即可.例例 14 求解方程.)(12yy 解解方程不显含未知函数y,令 ， 则方程yzyz 降为一阶方程2021-11-