克氏法则课件

1、克氏法则PPT课件关于期中考试关于期中考试时间：下周周四晚，四个班一块。时间：下周周四晚，四个班一块。内容：开学以来学习的高数、概率、线代知识。内容：开学以来学习的高数、概率、线代知识。命题比例：概率统计命题比例：概率统计4050分，高数、线代分，高数、线代5060分。分。期末线代至少期末线代至少60分。分。高数考察：高数考察： 幂级数收敛域求法，函数展开成幂级数方法；幂级数收敛域求法，函数展开成幂级数方法； 以以2为周期的函数的傅里叶级数展开式求法；为周期的函数的傅里叶级数展开式求法； 一阶、可降阶的二阶、高阶线性常系数齐次微分方程通解、特解；一阶、可降阶的二阶、高阶线性常系数齐次微分方程通

2、解、特解； 特殊特殊f(x)的二阶线性常系数非齐次微分方程的通解、特解。的二阶线性常系数非齐次微分方程的通解、特解。线性代数考察：行列式理论、方法。线性代数考察：行列式理论、方法。克氏法则PPT课件 特殊行列式特殊行列式 一般地一般地对角形、三角形对角形、三角形行列式行列式每行每行(列列)之和相等之和相等的对称行列式的对称行列式利用性质、展开定理降阶利用性质、展开定理降阶建立递推公式、建立递推公式、数学归纳法数学归纳法数字行列式数字行列式低阶字母行列式低阶字母行列式 n 阶数字或字母行列式阶数字或字母行列式范德蒙行列式范德蒙行列式复习行列式计算方法复习行列式计算方法()nnnijj i nnn

3、nnnaaaaDaaaaaaaaaa 12322221231111112311111()ijj i nDaa ()1ijj i naa n( n-1)2 D =( -1)1122DOD DBD克氏法则PPT课件练习练习P27.7.11111?nnnnaaDaa(1)232( 1)n nDD 1111nnnnaaDaa1123111111?,?nnnnnnnnaaaaDDaaaa1111nTnnnaaDaa2?D (1)(1)22( 1)( 1)n nn nTDD (1)(1)22( 1)( 1)n nn nDD 1?D (1)21( 1),n nDD D的倒置TD 的倒置2D 的右置克氏法则P

4、PT课件nna x10121100001000001nnnxxDxaaaaa按第按第n+1列展开列展开证明证明 (P27. 6(5)nnna xD101221100001000001nnnnnxxMDxaaaaa111nnnnna xaxD12122nnnna xaxa xD1110nnnna xaxa xa按第按第1列展开列展开20( 1) ( 1)nnnxDa 1231100001000001nnnxxDxaaaaa110()nx xDaa22210()nxxDaa xa11110()nnxxDaa xa0nxDa011xaa1nDa1110nnnna xaxa xa11( 1)n nnn

5、M 克氏法则PPT课件111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa1122iiiiinina Aa Aa A1122jjjjnjnja Aa Aa A1nikikka A1nkjkjka A112233( 1)i niiiiiiinina Ma Ma Ma M 1122( 1)njjjjjnjnja Ma Ma M 对展开定理进一步理解对展开定理进一步理解克氏法则PPT课件111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa61616262666(1)nnnaMaMaM 111111212131311( 1)nnna Ma Ma Ma M 91919292999( 1)nnna

6、 Ma MaM 441414242434344( 1)nnna Ma Ma Ma M 1i4i6j 9j 写出展开式，落实到写出展开式，落实到写出每个元素的余子式写出每个元素的余子式及确定其前面的符号！及确定其前面的符号！ 按某行（列）展开时，确定第一项余子式前面的符号是关键；按某行（列）展开时，确定第一项余子式前面的符号是关键；后面的，正、负相间或负、正相间。后面的，正、负相间或负、正相间。352152132135223052 3133113513113134132132412413如：D 克氏法则PPT课件1nkkb 1D 反之反之: D的某的某(s)行的行的n 个个代数余子式的代数和代数

7、余子式的代数和表示一个表示一个n 阶阶行列式行列式skA 中第中第s行的元素换为行的元素换为D12,nb bb1122ssnsnb Ab Ab A必要时利用必要时利用D 的第的第S行的行的代数余子式代数余子式. 求：求：11121314,AAAA MMMM11213141设设ijijDi jMA( , ),的元的余子式和代数余子式依次记作和5.（P21例例13）D 3521110513132413D的按第的按第i行行的展开式的展开式可以：可以：写出写出 计算。计算。 1D1nikikkDa A 克氏法则PPT课件求：求：AAAA 11121314及及MMMM11213141解解11121314

8、AAAA 1111110513132413 3141r rrr 1111110522023302 115222332 21cc 125202302 222432 MMMM11213141AAAA11213141 152111051313141343rr 1521110513130100 121105113132rr 1051050113111213141111AAAA ijijijMA ( 1)D 3521110513132413将将D中第一行元素换为中第一行元素换为1，1，1，1.将将D中第一列元素换为中第一列元素换为1，-1，1，-1.进一步讨论：进一步讨论：一重要题型！一重要题型！克氏法

9、则PPT课件这是一个行列式这是一个行列式,D中第中第s行的元素换为第行的元素换为第i行行的元素的元素 )(2211siAaAaAasninsisi 行列式中任意行行列式中任意行(列列) 的元素与另一行的元素与另一行(列列)对应元素对应元素 的代数余子式的乘积之和的代数余子式的乘积之和 第第i 行元素行元素?1nkkb 1D 第第 s 行元素行元素?等于零等于零.定理与推论结合定理与推论结合 1nikikkDa A njsjijsisiDAa10niitijtjtjDAa10 或或).(02211tjAaAaAantnjtjtj 或或推论推论skA 中第中第s行的元素换为行的元素换为D12,nb

10、 bbD中第中第s行的元素换为第行的元素换为第i行的元素行的元素 12,iiinaaa 余子式、代数余子式与行列式的关系！余子式、代数余子式与行列式的关系！重要！重要！1D = 0克氏法则PPT课件回顾回顾 二元一次方程组的解二元一次方程组的解22221211212111bxaxabxaxa1x.,2211112222121122211211babaDababDaaaaD0 D7 7 克莱姆法则克莱姆法则1;DD考虑方程组考虑方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)1(1(1,2,)nijjija xbin 与二元方程组类似

11、与二元方程组类似 , , n 元方程组的解也可用行列式表示元方程组的解也可用行列式表示或或nn 2x2.DD克氏法则PPT课件0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD.,2211DDxDDxDDxnn其中其中nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD)1()1(11)1( 11)1( 111 ),2,1(nj 克莱姆法则克莱姆法则第第 j 列列可以直接证明！可以直接证明！若若(1) 的系数行列式的系数行列式1) 方程组方程组(1)有解有解( (存在性存在性) ); (1,)jjDxjnD 验验证证是是解解；2) 解惟一解惟一( (惟一性惟一性) ); . ), 1(,),

12、 1(njDDxnjxjjj 则则是是解解即即若若nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)1(则则( (1) )有唯一解有唯一解略去不写，重点看其应用！略去不写，重点看其应用！需证明两点需证明两点: 克氏法则PPT课件0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD.,2211DDxDDxDDxnn其中其中nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD)1()1(11)1( 11)1( 111 ),2,1(nj 克莱姆法则克莱姆法则第第 j 列列若若(1) 的系数行列式的系数行列式nnnnnnnnnnbxaxaxabxa

13、xaxabxaxaxa22112222212111212111)1(则则( (1) )有唯一解有唯一解法则的应用：法则的应用：D0时，判定方程组有唯一解；时，判定方程组有唯一解； 通过计算行列式，求出方程组的解。通过计算行列式，求出方程组的解。 克氏法则PPT课件P. 22 例例14，自读自读; P. 23 例例15设曲线设曲线230123yaa xa xa x通过四点通过四点:(1,3),(2,4),(3,3),(4, 3),只需求出系数只需求出系数0123,.a a a a解解把四个点的坐标代入曲线方程，把四个点的坐标代入曲线方程，01230123012301233248439273416

14、643aaaaaaaaaaaaaaaa 是未知数是未知数,0123,a a a a1111124813927141664D 1 2 3 1 2 12由克莱姆法则，方程组有唯一解由克莱姆法则，方程组有唯一解求该曲线方程求该曲线方程.分析分析求解线性方程组求解线性方程组把四个点的坐标代入曲线方程，把四个点的坐标代入曲线方程，得线性方程组得线性方程组.系数行列式系数行列式1克氏法则PPT课件解解01230123012301233248439273416643aaaaaaaaaaaaaaaa 是未知数是未知数,0123,a a a a11111248=1213927141664D 由克莱姆法则，方程组

15、有唯一解由克莱姆法则，方程组有唯一解把四个点的坐标代入曲线方程，把四个点的坐标代入曲线方程，得线性方程组得线性方程组.系数矩阵系数矩阵213111448181392713 1664D 1311142483633927341664D 4111312446139314163D 311311248241332714364D 由克莱姆法则由克莱姆法则0363,12a2242,12a 1183,122a 361.122a 即曲线方程为即曲线方程为233132.22yxxx11113248439273416643D 10002262362464126015 10002200363660412243 克氏法

16、则PPT课件由上述例题可体会到，由上述例题可体会到，求解求解n n 线性方程组线性方程组要计算要计算n +1 个个 n 阶行列式！阶行列式！但它仍具有极为重要的理论价值：但它仍具有极为重要的理论价值： 解决了解决了 n nn n 方程组解的存在性和唯一性方程组解的存在性和唯一性 进一步探讨，即有下述结论：进一步探讨，即有下述结论：用克莱姆法则解方程组并不实用。用克莱姆法则解方程组并不实用。定理定理4 若方程组若方程组( (1) ) 的系数行列式不为零的系数行列式不为零, 则它有唯一解则它有唯一解. 定理定理4 若方程组若方程组( (1) )无解或有两个不同的解无解或有两个不同的解, 则它的系数

17、则它的系数 行列式必为零。行列式必为零。逆否命题逆否命题nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)1(不考虑求解公式不考虑求解公式一个判定行列式为零一个判定行列式为零的充分条件的充分条件克氏法则PPT课件零解零解 则它只有则它只有 零解零解 (没有非零解）没有非零解）.000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定义定义 称方程组称方程组为为齐次线性方程组齐次线性方程组.一定有一定有 解解是否有非零解？是否有非零解？定理定理5 若齐次方程组若齐次方程组(2)的系数行列式的系数行列式

18、 D0,定理定理5 若齐次方程组若齐次方程组(2)有非零解有非零解 . 0 D?0,0, 021nxxx满足方程组满足方程组(2)零解零解(2)行列式为零的充要条件！行列式为零的充要条件！行列式不为零的充要条件！行列式不为零的充要条件！齐次方程组齐次方程组(2)只有零解只有零解 0.D克氏法则PPT课件 402062225D(5)(6)(4)4(6)4(4)(5)(2)(8)0 8,5,2 故当故当 = 2, 5, 8 时，方程组有非零解时，方程组有非零解.0)4 (20)6(2022)5(zxyxzyx 解解 由方程组有非零解等价于其系数行列式为零由方程组有非零解等价于其系数行列式为零, 即

19、即 方方程程组组有有非非零零解解？为为何何值值时时， 例例1 ( (P25. 例例16) )这是一类重要的题目！要原理清楚，计算准确。这是一类重要的题目！要原理清楚，计算准确。克氏法则PPT课件练习（练习（p28 . 11）问问 为何值时，为何值时，齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解, 1231231230020 xxxxxxxxx 解解齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解11110121D 11111111121121D 1101100 11(1)0 所以，当所以，当 或或 时，齐次线性方程组有非零解时，齐次线性方程组有非零解1 0 克氏法则PPT课件0)21(0)21(0)21(221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxa