平面向量的数量积课件

1、2. 4. 1平面向量数量积 的物理背景及其含义1 pi/qsin 3 (T = -, sin 4 5° = , sin 6 0° =2 亠cos3(r = 2tanSO9 = ,tan45° = 1, tan60p = V32 ' 2,c°s45拿 cos6°W3学习目标1 掌握平面向量的数量积及其几何意义;=J2 理解投影概念;3 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;4 平面向量的数量积简单应用；5 掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用一探究？问题1:

2、我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的?问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产 生位移S,（1 ）力卩所做的功W=（2 ）请同学们分析这个公式的特点：W （功）是量,F （力）是量,S （位移）是量e是。0探究数量积的含义功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。BBi& = 18厅时产在：方狗上細藪斋'二、平面向量的数量积已知非零向量2与沪我们把数量GiEcos0叫作2与乙的其中劭釁爍内积）'记作打,即规定讥=l°l"l

3、cos&是a与乙的夹角，I|cos0（lalcos0）叫做向量乙在°方向上（-在乙方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量 的数量积鬼零，即- - o0 0 = 0 TTT0 = 0。时b在Q方向上的射影I bl 是劝锐角时，OB =bcos0,b在；方向上的射影是正数I 劝直角时b在Q方向上的射影匙励鈍角时 T TJ ' Mb在Q方向上的射影是负数» A2. 数量积的定义(1)定义:a b = ab cos& (2)定义的简单说明:问题5 :向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表:夹角Q的范围0

4、6;<a< 90°cc = 90°90。5 5180。a b的正负-r - 一 fY7汽卜3. 研究数量积的几何意义(1)给出向量投影的概念A(2)问题6:数量积的几何意义是什么?4、研究数量积的物理意义问题7: (1)功的数学本质是什么？(2)尝试练习一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。在水平面上位移为10米；竖直下降10米；竖直向上提升10米沿倾角为3 0度的斜面向上运动10米;、在水平面上位移为10米；B-5、G.竖直下降10米;G、竖直向上提升10米;W = |G|5|cos(120P)、沿倾角为30。的斜面向上运动10米;探究数量

5、积的运算性质1、性质的发现(1)将问题的结论推广到一般向量,你能得到哪些结论?(2 )比较任冲与同x同的大小，你有什么结论?2. 数量积的性质设向量&与厶都是非零向量，则(1 ) &丄方方=0(2)当&与乙同向时，& b=ab 当&与厶反向时,& b=-a | b I 特别地0Q二p或0 | a(3) a . b <a I |3,性质的证明探究数量积的运算律1、运算律的发现问题9:我们学过了实数乘法的那些运算律?这些 运算律对向量是否也适用？学生可能的回答: 矿定&W (W示 a*(F- © (a*+b) 疋2、运算律则:

6、已知向量ab和实数入，(1) a - b = b a(3)© +方)8 = &0 +方0运算律的证明应用与提高例1已刼|订=5厶丨方1=4亠(1)玄与&的夹角8=120。,求ab.(2)TII b求N T (3)alb求么方例2、已知同=3広=4, 0与方不共线，£为何值时， 向d + kb与厅-厉互相垂直？例3、已知|可=6,方=4, &与方的夹角为609,求（厅+ 2方）（力一3方）？->-亠，T T T/"'Ah在朋3冲 a = 5,b = & C = 60。, BCCA.BCAC "学生练习1、判断下

7、列各命题是否 正确，并说明理由若0工0，则对彳一非零向量 b 有a-b 0 (2)若& 工0, a-b -a-c,则方=c2、已幺口 AABC中，乔=方,疋=方,当&方0 或a b = 0时，试判断AABC的形状。3:已知1；1= 2,1必=1,：与貝夹角是60。-P为何值时(Q + b)丄(a-kb)l_厂、TTT TT八尹冷 T4:已知I a 1= 2J b 1= 1卫与b夹角是60。，求:a-b£a+2b£ 1、已知:l a = & I b I=1Q I o+b 1=16 求。与b 的夹角02 已知方与乙的夹角为 120°, G 1=

8、 4,1却=2,求:丨 d + b 1;13。-4b I.3. 己知a,b,c满足a+Z? + c = 0J a 1= 3,1 b 1= 1,丨c 1= 4,求：° 方+乙 c + c °的值.4. 若q,方是互相垂直的单位向量，且（2° + 3方）丄（ka- 4方）,求实数£的值.a - 0,求a与加勺夹角._、5 .已知 a l,b =2,（a-方）6.已矢口。+方 + c = （XI。1= 3,1 b 1= 5,1 c 1= 7, 求2与箱勺夹角.2 <1. 已知方必均为单位向量，它们的夹角为60。, 求b + 3乙1=2. 已矢口/萌足：丨

9、。1= 1,丨 b 1= 2,1。一 b 1= 2,求|q +厶I二3己知平面上三点A, B, C满足：I AB1= 2, |BC|=1JG41=/3,ABBC + BCCA+CAAB3. 已知非零向量方必满足:(a - 2b) t (b - 2a)丄乙，求d,旃勺夹角二厂疋汇几何问题：1.求证：菱形的对角线互相垂直.2. 求证：直径所对的圆周角为直角.3. 求证：三角形的三条高交于一点.基础练习一1、判断下列命题的真假：(1) 平面向量的数量积可以比较大小(2) 若方厂s励则与的夹角为乍屯角(3) 已知b为非零向量因为OXa=O, a b = 0,f以a = 02、已知 ABC中，日=5,b

10、 =8, C=6o°,才3、已知| a/=S, e是单位向量，则日在e方向上的投影为BCCA(4) 对于任意向量a、b. c,都有a b c = a (b -c)ACB4、如图，在平行四边形4BCD中，已知4B =4,阿= 3，ZD4B=60。，DB进行向量数量积 计算时，既要考 虑向量.X5 cd = |a 或忑.CD = -I AB:.AB DA- AB DA cosl20° =4x3x求:(l)AD BC 佔 CD (3).AB-DA60°解:(1迥申4些3怦行且方向相同:.ADBC-IB切心勺夹用少1 BC cos0° = 3 x 3 x 1 = 9或AD BC 二 AD 二 9(2).辺平行，且方向相反而!勺夹角是180 CD -COS180 =4x4x(-l) = -16-2= -16夹角是60°八ABD夹角是12Cf喀1已知Q是非零向量且b H C,求证； a b = a c O q 丄(b c)2已知.在直角坐标系电 以原点为原