平面向量基本定理及坐标表示

1、i平面向量基本定理及坐标表示1 .平面向量基本定理如果ei、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯对实数九、力，使a=九ei+加2,其中，不共线的向量ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2 .平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a=(xi,yi),b=(x2,y2),则a+b=(xi + x2,yi + y2),ab=(xi X2,yi y2),a=(入入i),|a|=、x2 + y2.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设 A(xi, yi), B(x2, y2),则AB=(x2 xi, y

2、2yi), |AB| 二 Jx2xi 2+ y2yi 2.3 .平面向量共线的坐标表示设 a=(xi, yi), b=(x2, y2),其中 bw0, a、b 共线? xiy2 x2yi = 0.选择题：设ei, e2是平面内一组基底，那么()A.若实数i及使用ei+及=0,则为=川=0B.空间内任一向量a可以表示为a= 2+及*(大，江为实数)C.对实数 为，2为ei十龙e2不一定在该平面内D.对平面内任一向量a,使a= gi+证2的实数人,没有无数对下列各组向量中，可以作为基底的是()A.ei=(0,0),e2 = (i, -2)B.ei = (1,2), e2 = (5,7)i 3C.e

3、 = (3,5),e2=(6,i0)D.ei=(2, 3), 2=-4解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选 B.i 3 已知平面向量a= (i,i), b=(i, i),则向量3b等于()A. （-2, -i）B.（一2,i）C.（一i,0）D.（T,2）解析111333.132a=6，2), 2b=伤，2),故a 2b=( 1,2).已知 a=(1,1), b=(1, 1), c=(1,2),则 c等于()八 13,A. 1 a+ 2bB：a-3bC. -3a-1br 31.D . 2a+2b1 =计内解析 设c=电+由.(1,2)= X1,1)+K1, 1),2= k内1壮2,3尸一

4、2,.c=2a券.已知向量a=(1,2), b=(1,0), c=(3,4).若人为实数，(a+/c,则人等于(1 1八A.4B.2C. 1D. 2解析 . a+b=(1+ 入 2), c= (3,4),且(a+；b)/c,12, »1 342已知 a=(5, 2), b=( 4 3),若 a 2b+3c= 0,则 c 等于(A. 1，313 8B.3，313 4C. 3 5 313D. -T解析 由已知 3c= a +2b=(5,2)+( 8 6)=(13, -4)13 .c= - 3 ,已知向量 OA= (k,12), OB=(4,5)OC=（ 一k,10）,且A, B, C三点

5、共线，则k的值是（4B.3C.21D.3解析 AB=OBOA=(4k, 7), AC = OC-OA=(-2k, -2). A, BC三点共线,.AB, AC32- 3共线， 2X(4k)=7X( 2k),解得 k=已知点A(1,3), B(4, 1),则与向量AB同方向的单位向量为()34433 44 3A. 5' _5B. 5' _5C. 5' 5D. 一5' 5解析 AB=O'B oX = (4, 1) (1,3) = (3, 4), .与 AB同方向的单位向量为5,AB| 55已知点A(1,5)和向量a= (2,3),若AB=3a,则点B的坐标为

6、()A. (7,4)B. (7,14)C. (5,4)D. (5,14)x+ 1 = 6，x= 5,解析 设点B的坐标为(x, y),则Afe=(x+1, y-5),由AB=3a,得解得y 5= 9,y= 14.已知向量 a=(1,2), b = (3, m), mCR,则 “m= 6” 是 “a/(a+b)” 的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析 由题意得 a+b=(2,2+m),由 a /(a+b),得一1 x (2+m)=2x 2, ；m= 6,则 “m= 6” 是“a/(a+b)”的充要条件，故选A已知在 UABCD 中，Ab = (

7、2,8), AB=(3,4),则AC=()A. (1, - 12)B. (1,12)C. (1, - 12)D. (1,12)解析 V四边形ABCD是平行四边形，.AC = AB + Ab = ( 1,12)在AABC 中，点 D 在 BC边上，且 CD = 2DB, CD = rAB + sAC,则 r+s等于(24A.3B.3C. -3D. 0>B-c2 3_AC) = |aB-3/，则 r+s= |+ -3已知点M是AABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC = 2AE,则向量EM =()a.2aC+；AB1t 1 .B.2A c+6ABla 3->D.6A C+5AB&

8、gt;B-A/V1-2十-A2 3=>B-c1- 2十4c-A2 3=M十G =-EC110十6B-A1- 2=t)-A在4ABC中，点P在BC上，且郎=2命，点Q是AC的中点，若承=(4,3), %=(1,5),则吃等于()A. (-2,7)B. (-6,21)C. (2, -7)D. (6, -21)解析BC = 3PC = 3(2PQ PA) = 6PQ-3PA= (6,30)- (12,9) = ( 6,21).在梯形ABCD中，AB/ CD, AB = 2CD, M, N分别为CD, BC的中点，若丽=以M+ 尿，M 狂小等于（）A-5B-5n 111解析 v AB= AN +

9、 NB= AN+ CN= AN+ (CA+AN) = 2AN + CM + MA = 2AN-4AB- AM ,填空题：已知平面向量 a= (1,2), b=( 2, m),且 a/b,贝U 2a+ 3b =.解析 由 a=(1,2), b=(2, m),且 a/ b,彳3 1Xm=2X(2),即 m= 4.从而 b=( 2, 4),那么 2a+3b = 2(1,2)+3(2, 4)=( 4, 8).已知向量 a=(x,1), b=(2, y),若 a+b=(1, 1),则 x+ y=.x+2=1,x=- 1,解析(x,1)+(2, y) = (1, -1),解得.-x+ y= 3.y+1 =

10、 1,y= 2,已知向量 a=(1,2), b=(0,1), 设u = a+kb, v=2ab,若 u/v,则实数 k 的值为()1 1A. 1B . 2C.2D. 11解析 .u=(1,2)+k(0,1) = (1,2+k), v=(2,4)(0,1)=(2,3),又 u/v , . 1 x 3=2(2+k),得 k=一已知向量 a=(1,2), b=(x,1), u = a+2b, v = 2ab,且 u / v,则实数 x 的值为.解析 . a=(1,2), b=(x,1), u = a+2b, v = 2a b, . u = (1,2)+2(x,1) = (2x+1,4), v= 2(

11、1,2)(x,1)= (2x,3).又uv,13(2x+1)-4(2-x) = 0,即 10x=5,解得 x= &若三点A(1, 5), B(a, 2), C( 2, 1)共线，则实数a的值为解析 AB=(a1,3), AC=(3,4),根据题意 AB/AC, . .4(a1)=3X (3),即 4a= 5, . . a=(在UABCD中，AC为一条对角线，AB=(2,4), AC=(1,3),则向量BD的坐标为.解析v A B+ B c = a C, .B C = A C-A B=(1, 1), . B D = A D-A B= B CA B=( 3, -5).已知UABCD的顶点A

12、(-1, 2), B(3, 1), C(5,6),则顶点D的坐标为4 = 5 -x，x= 1,解析 设 D(x, y),则由 AB=DC,得(4,1)=(5x,6y),即解得1 = 6 y,y= 5.已知梯形ABCD,其中AB/CD,且DC=2AB,三个顶点 A(1,2), B(2,1), C(4,2),则点D的坐标为解析.在梯形 ABCD 中，AB/CD, DC = 2AB, . .DC = 2AB.设点 D 的坐标为(x, y),则 DC = (4,2)(x, y) = (4 x,2y), AB= (2,1)(1,2)= (1, 1), .(4x,2 y) = 2(1, -1),即(4 x

13、,2y) = (2, -2),4 x=2,x= 2,;解得故点D的坐标为(2,4).2-y= -2,y=4,如图，在 ABC中，AN=1NC, P是BN上的一点，若AP=mAB+AC,则实数m的值为.311解析：设 BP= kBN, kC R.->-> ->->1 -> ->-> k ->A P= A B+B P = A B+kB N = A B+k(A N-A B) = A B+k(4A C-A B) = (1 k)A B +4A C,l 一 一 2 一k 283且AP= mAB+ AC,1-k=m, 4=而，解得 k=彳，m=ii在UABCD

14、 中，AB=e，AC=&, NC = 4AC, BM=1MC,则MN =(用 e, e2表示)NB解析如图，而= CN CM = CN+2疝i=CN+i->=-4Ac+1.2,、2 , 5AB) = «e2+ 3® ei)= gei +费皆如图，已知 AB=a, AC = b, Bb = 3DC,用 a, b 表示Ab,则Ab =解析后=*+此=丽+淞=丽+永成丽=4丽+3比=42+和i i,一, 若二点 A(2,2), B(a,0), C(0, b)(ab0)共线,则二十二的值为.a b解析 AB=(a2, 2), AC=( 2, b-2),则(a 2)(b

15、2) 4= 0,即 ab 2a2b=0, .=+1= 4. a b 2设OA= (2,4), Ofe=(-a,2), OC=(b,0), a>0, b>0, O 为坐标原点，若 A, B, C 三点共线，则1+ a1 一:的最小值为b解析由题意得 Afe= (-a + 2, 2), AC=(b + 2, 4),a+2=入b+2 ,又 AB/ AC,.( a+ 2, 2)=2(b+2, 4),即整理得 2a+ b= 2,- 2二 - 4 A,1 1 11 11 2a b 1/2ab 3+2/2厂 出口 、y b= 2(2a+b)(a+b)=2(3 + W+a)>5(3 +石之)

16、=-2-(当且仅当 b=q2a 时，等号成立).已知A(7,1), B(1,4),直线y= ；ax与线段AB交于点C,且AC=2CB,则实数a=解析设 C(x, y),则AC=(x7, y-1), CB=(1 x,4y),一 一x- 7 = 2 1 x ,x=3,- AC=2CB, 解得. .C(3,3).y 1 =2 4 y ,y=3.一 ，一 1,1又C 在直线 y= 2ax 上，.3=22 3,a= 2.已知向量OA= (1, 3), Ofe=(2, 1), OC=(k+ 1, k-2),若A, B, C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是解析若点A, B, C能构成三角形，则向量A

17、B, AC不共线. AB=O-(0a= (2, 1)(1, 3)一>一 一= (1,2), AC=OC-OA= (k+1, k2)(1, 3)=(k, k+ 1), . 1X (k+1) 2kw0,解得 kw 1.设 0< 8<2，向重 a=(sin2 8, cos0), b=(cos8, 1),右 a/b,则 tan 8=.解析 a II b, sin2 0X 1cos2 40,2sin (Cos0 cos2 8= 0,九 一一 _.一 一 一1- 0< (X 2，cos0> 0, 2sin8= cos 8, , tan 0= 2解答题 已知 A(1,1), B

18、(3, 1), C(a, b).(1)若A, B, C三点共线，求a, b的关系式；若AC = 2AB,求点C的坐标.解析 (1)由已知得 AB=(2, 2), AC = (a1, b-1),. A, B, C 三点共线，.AB/AC,.2(b1)+2(a1) = 0,即 a+ b= 2.(2)v AC = 2AB, .(a- 1, b- 1) = 2(2, -2).a 1=4,a = 5,解得点C的坐标为(5, -3).b1 = 4,b= 3.已知点 O 为坐标原点，A(0,2), B(4,6), OM=t1OA+t2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1=1时，不

19、论t2为何实数，A, B, M三点共线.(1)解 OM = t1 OA+12AB= t1(0,2) +12(4,4) = (4t2,2t1 + 4t2).4t2< 0,当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为12<0且卜+ 212*0.2t1 + 4t2W0(2)证明 当 ti=1 时，由(1)知OM = (4t2,4t2+2).V AB= OB- OA= (4,4), AM= OM OA= (4t2,4t2) = t2(4,4) = t2AB,AM与AB共线，又有公共点A, .-.A, B, M三点共线.能力提升题组已知向量 a =(2,3), b=(1,2),若(ma+n

20、b)/(a 2b),则与等于()八 c- c11- 1A. 2B.2C. 2D.2解析 由题意得 ma+nb=(2mn,3m+2n), a2b=(4, 1),，_ m 1:(ma+nb) / (a2b), (2mn) 4(3m+2n) = 0, .= 2已知 |OA|=1, |Ofe| =乖，OA OB=0,点 C 在/ AOB 内，且OC与OA的夹角为 30°,设OC=mOA+ nOB（m, nCR）,则m的值为（）5- 2B.9解析 vQ A O B = 0, ；O AJO B,以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系,Oa= (1,0), Ob=(0, V3), OC=mOA+

21、nOB=(m,也n).0 3n 3口h m. tan 30= m = 3， - m=3n,即1 = 3如图，在AOAB中，P为线段AB上的一点，OP = xOA+ yOB,且bP = 2pA,则（A.x二23,1 v= 3B.x二13,y=八 二 3c. x=4，y= 4c 3D. x=4， y=4解析由题意知2 2 2 -OP=OB + BP,又 BP =2PA ,OP = OB +&BA=OB +g(OAOB)=3OA +1 一 23OB，"= 3,1V= 3-已知点A(1,2), B(2,8),选:疆，DA=1BA,则CD的坐标为 33解析 设点C, D的坐标分别为(xi, yi), (x2, y?).由题意得 AC= (xi + 1, yi-2), Ab =(3,6), DA = (-1-x2,2-y2), BA= ( 3, 6). AC