平行四边形的存在性问题解题策略

1、04平行四边形的存在性问题解题策略1. (2010陕西西安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A (- 1 , 0), B (3, 0) , C (0, 1)三点。(1)求该抛物线的表达式;(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点 Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P的坐标。【答案】解：(1)设该抛物线的表达式为2y ax bx c。根据题息，得、1.a b c 0, 9a 3b c 0,解之，得 c 1._1 2 2所求抛物线的表达式为 y ,x2 -x 1.33(2)当AB为边时，只要 PQ/AB ,且PQ=AB=4 即可,又知点Q在y轴上，点P的横坐标为

2、4或-4 ,这时，将合条件的点P有两个，分别记为 P1, P2。5而当x=4时，y ，当x4寸，y 7.3此时 P1(4,5),P2( 4,7). 3当AB为对角线时，只要线段 PQ与线段AB互相平分即可,又知点Q在y轴上，且线段 AB中点的横坐标为1 , .点P的横坐标为2,这时，符合条件的点 P只有一个，记为 P3, 而当 x=2 时，y=-1 ,此时 P3 (2, -1 )5综上，满足条件的点 P为P(4,), P2( 4,7),P3(2, 1)321. (2011山东威海，25, 12分)如图，抛物线 y ax bx c交x轴于点A( 3,0)，点B(1,0)，交y轴于点E(0, 3)

3、 .点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直 线l过点F且与y轴平行.直线y x m过点C,交y轴于点D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点K为线段AB上一动点，过点 K作x轴的垂线与直线 CD交于点H,与抛物线交于 点G,求线段HG长度的最大值；(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点 N,使以点 A, C, M, N为顶点的四边是平行 四边形，求点N的坐标.图备用图【答案】解：(1)设抛物线的函数表达式y a(x 1)(x 3).抛物线与y轴交于点E(0, 3),将该点坐标代入上式，得 a 1 .所求函数表达式y (x 1)(x 3),即y x2 2x 3.(2) 点C是点A关

4、于点B的对称点，点 A( 3,0)，点B(1,0).点C的坐标是C(5,0).将点C的坐标是C(5,0)代入y x m,得m 5 .直线CD的函数表达式为y x 5 .2 一 一一 设K点的坐标为(t,0),则H点的坐标为(t, t 5), G点的坐标为(t,t 2t 3).点K为线段AB上一动点， . .3 t 1.-223 241. HG( t 5) (t22t 3) t23t 8 (t -)2.3- 3- 1,2当t3时，线段HG长度有最大值41 .2 43 3) .点F是线段BC的中点，点B(1,0),点C(5,0),.点F的坐标为F(3,0). 直线l过点F且与y轴平行， 直线l的函

5、数表达式为x 3. 点M在直线l上，点N在抛物线上，2_ 一设点M的坐标为M (3, m),点N的坐标为N(n, n 2n 3).点 A( 3,0)，点 C(5,0) , . AC 8.分情况讨论： 若线段AC是以点A, C, M , N为顶点的四边是平行四边形的边，则须 MN /AC,且MN =AC = 8.当点N在点M的左侧时，MN 3n.3 n 8,解得 n 5.N点的坐标为 N( 5,12).当点N在点M的右侧时，MN n 3.1 .n 3 8,解得 n 11.2 .N点的坐标为 N(11,40).若线段AC是以点A, C, M , N为顶点的平行四边形的对角线，由“点 C与点A关于点

6、B中心对称”知：点 M与点N关于点B中心对称.取点 F关于点B对称点P,则点P的坐标为P( 1,0).过点P作NPx轴，交抛物线于点 N .2一将x 1代入y x 2x 3,得y 4 .过点N , B作直线NB交直线l于点M .在ABPN和ABFM中，NPB MBF. BF BPBPN BFM 90.ZBPNzBFM . NB = MB .四边形点ANCM为平行四边形.坐标为(1, 4)的点N符合条件.当点N的坐标为(5,12),40), ( 1, 4)时，以点A, C, M, N为顶点的四边是平 行四边形.2、(2009重庆某江)如图，已知抛物线 y a(x 1)2 33(a 0)经过点A(

7、 2, 0),抛 物线的顶点为 D ,过O作射线OM / AD .过顶点D平行于x轴的直线交射线 OM于点C, B在x轴正半轴上，连结 BC.(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线 OM运动，设点P运动的时间为t(s) .问当t为何值时，四边形 DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形?(3)若OC OB ,动点P和动点Q分别从点。和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿 OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t (s)，连接PQ ,当t为何值时,并求出最小值及此时 PQ的长.*26

8、 .解：(1) Q抛物线ya(x 1)2 3>/3(a 0)经过点 A( 2,0),1分二次函数的解析式为：y.3 2 2.38.3x x 333(2) Q D为抛物线的顶点D(1,333)过 D 作 DNOB 于 N ,则 DN 373 ,AN 3, AD .32 (3-3)2 6DAO 60Q OM / AD当ADOP时，四边形DAOP是平行四边形OP 6t 6(s)当DPOM时，四边形DAOP是直角梯形过。作OHAD于HAO 2,则 AH 14分(如果没求出DAO 60° 可由 RtzXOHAs Rt/XDNA 求 AH 1)OP DH5 t 5(s)6 分0 9a 3、

9、3 a 3当PD OA时，四边形DAOP是等腰梯形OP AD2AH 62 4 t 4(s)综上所述：当t 6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.(3)由(2)及已知,COB 60°, OC OB,AOCB是等边三角形则 OB OCAD 6,OP t, BQ 2t, OQ 6 2t(0 t 3)过P作PEOQ 于 E ,则 PE t2SBCPQ3.313 X-(6 2t) t22此时OQ63 3一63Sbcpq 的面积最小值为/3810分333, OP = -, OE QE2493.3 PE 44PQ . PE2 QE23.3211分3. (2009年内蒙古包头

10、)已知二次函数2ax bx c (a 0)的图象经过点 A(1,0),B(2,0) , C(0, 2),直线 x m ( m2)(1)求二次函数的解析式;(2)在直线x m ( m 2)上有一点E (点E在第四象限)，使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求 E点坐标(用含 m的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ,使得四边形 ABEF为平行四边形?若存在，请求出 m的值及四边形 ABEF的面积；若不存在，请说明理由.26 . （12 分）a b c 0,解：（1）根据题意，得 4a 2b c 0, c 2.解得 a 1, b 3, c

11、2.2y x 3x 2. （2 分）（2）当 /XEDBs/X aoc 时,AOEDCO AO CO或BD BD EDAO 1, CO 2, BDw AO CO12当时，得 ED BD ED m 2. ED点E在第四象限，E m,2（4分）r AO当一BDCO时，得ED,. ED 2m 4, ED（6分）点E在第四象限，E2(m,4 2m).(3)假设抛物线上存在一点 F ,使得四边形 ABEF为平行四边形，则EF AB 1 ,点F的横坐标为m 1 ,当点E1的坐标为 m,-m 时，点Fi的坐标为 m 1,-m , 22点Fi在抛物线的图象上,22m(m 1)2 3(m 1) 2,2. 2m

12、11m.(2m 7)( m2) 0,(舍去)，(9分) .F1 5, 2SYabef当点E2的坐标为(mi,4 2m)时,点F2的坐标为(m 1,4 2m),点F2在抛物线的图象上,，4 2m (m1)23(m 1)2.m 7m 100,.(m 2)( m 5)(舍去)，m 5,Ed, 6),- - SYABEF1 66.(12 分)注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分.24、(2009柳州)如图11,已知抛物线y ax 2ax b (a 0)与x轴的一个交点为B( 1,0),与y轴的负半轴交于点 C,顶点为D.(1)直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与X轴的另一个交点 A的坐标;(2)

13、以AD为直径的圆经过点 C.求抛物线的解析式;点E在抛物线的对称轴上，点 F在抛物线上,且以B, A, F, E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标.解：（1）对称轴是直线：x 1,2分点A的坐标是（3,0）.（说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分）（2）如图11 ,连接AC、AD,过D作DM y轴于点M,解法一：利用AOCs/XCMD点A、D、C的坐标分别是A （30), D (1 , a b)、C(0, b),. AO = 3MD=1 .事ao由CMOC 3一得一MD a.3 ab又0 a(1)22a (1) b3由3aab 0函数解析式为:2x 3解法二：利用以 AD为

14、直径的圆经过点点a、D的坐标分别是A （3,0）、D(1, a b)、C (0, b),.AC ,9 b2 , CD v1 a2 ,AD 4 (a b)2_ 22_ 2AC CD AD3 ab 0_2又0a ( 1) 2a ( 1) b由、得a 1, b 32，函数解析式为：y x 2x 3 6分（3）如图所示，当 BAFE为平行四边形时F,使得四边形 BAEF是平行四边形，此时点 F坐标为（3, 12）.9分当四边形BEAF是平行四边形时，点 F即为点D,此时点F的坐标为（1 ,4）.10分 综上所述，点F的坐标为（5, 12）,（ 3, 12）或（1,4）.（其它解法参照给分）25、（20

15、09烟台币）如图，抛物线y ax bx 3与x轴交于A, B两点，与y轴交于C点, 且经过点（2, 3a）,对称轴是直线 x 1 ,顶点是M .（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过C,M两点作直线与x轴交于点N ,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P, A C, N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 设直线y x 3与y轴的交点是D,在线段BD上任取一点E （不与B, D重合），经过A, B, E三点的圆交直线 BC于点F，试判断 AAEF的形状，并说 明理由;(4)当E是直线y x 3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出26.(本题懵分M分)T ：，一3a=碗十26 一 3, Pci I解：根据题套w &G 2分w VfTM/；抛物线对应的函数表达式为y_/_2x_3. 3分(第2；题图)(2)存在,在=/一27一3中令工=。得)=一工令了=0裾-2工一30/=-1,马=3A(T,0),B(3QC0,-3).又yCx-1y -4,；项点 M(l.4) 5 分容与求得直线cm的表达式是y=-i-4在一工一3中令y=0得X*1:NL3Q>：AN=2.在y=/一"一3中,令=-3,得八=0.工,=2二CP=2 ；.AN=CP儿、CP".?q边形ANCP为平行四边形此时