平方根与立方根一对一辅导讲义

1、教学目标1 . 了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；2 .会求一个非负数的平方根、算术平方根；3 .掌握立方根的忠义，父求一1、数的立方根；4 .理解开立方与立方的关系。重点、难点重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。 难点：算术平方根与平方根的区别与联系。考点及考试要求以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主教学内容第一课时平方根与立方根知识梳理1、求下列各数的算术平方根：,、，、49，、-7 100一(3)1- 0.0001 06492、求下列各式的值：49cc(1) <4(2) (3) %( 11)2(4) 462,813、算

2、术平方根等于本身的数有。4、求下列各数的算术平方根.21 290.0025, 121,42,（ 一）2, 1 2165、已知"T% Jbl 0,求a 2b的值.1 .平方根：1 .算术平方根的概念及表示方法如果一个正数x的平方等于a,即X2 a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。当a 0时，a的 算术平方根记为五,读作“根号a”，a叫做被开方数。2 .平方根的概念及其性质(1)平方根的定义如果一个数的平方等于a,即x2 a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2 a,那 么x叫做a的平方根。(2) 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根。当a 0

3、时,a的平方根表小为 Va o(3)求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中 a叫做被开方数。3 .用计算器求一个正数的算术平方根用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根(或其近似值)。2 .立方根：1 .立方根的概念及表示方法如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3 a ,那么x叫做a的 立方根，记作37。正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是002 .开立方的概念求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样， 开立方与立方也互 为逆运算。3 .用计算器求立方根很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出

4、它们的近似值。第二课时平方根与立方根典型例题炎早典型例题知识点一：算术平方根例1.下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由(1) 81;(2) 16;(3) 0;(4) 25;(5) ( 2)2；(6) ( 2)3。4思路分析：根据“正数和0都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，(1)、(3)、(4)、(5) 有算术平方根，(2)、(6)没有算术平方根。解答过程：(1)因为81是正数，所以它有算术平方根。又因为 92 81 ,所以81的算术平方根是 9；(2)因为16是负数，所以它没有算术平方根；(3) 0有算术平方根，就是0；(4)因为竺是正数，所以它有算术

5、平方根。又因为亡)2岁,所以吏的算术平方根是B ;42442(5)因为(2)2 4是正数，所以它有算术平方根。又因为22 4,所以(2)2的算术平方根是2;(6) ( 2)38,是负数，所以(2)3没有算术平方根。解题后的思考：要判断一个数有没有算术平方根，要根据算术平方根的概念确定这个数是不是非 负数，只有非负数才有算术平方根。以上结论不要死记硬背，同学们要理解为什么负数没有算术平方根？例2.已知(x 2)2 |y 3|五一4 0,求x,y,z的值。思路分析：考虑(x 2)2、|y 3|、丁4都是非负数，根据非负数的性质，不难解决此题。解答过程：Q (x 2)2 |y 3| 7Z-4 0又Q

6、 (x 2)2 0,| y 3| 0, Z4 0(x 2)2 0,| y 3| 0, . Z-4 0x 2 0,y 3 0,z 4 0解得 x 2, y 3,z 4 o解题后的思考：一个数的平方、绝对值、非负数的算术平方根都是非负数，如果几个非负数的和 为零，那么这几个非负数都为零。这是解决这类问题的出发点。小结：1 .只有非负数才有算术平方根，并且只有一个；2 . 一个非负数的算术平方根是一个非负数。知识点二：平方根的概念及其性质例3.求下列各数的平方根和算术平方根：(1) 3600;(2) 111;(3) 0.0001;(4) ( 7)2。25思路分析：因为求一个非负数的平方根的运算与平方

7、运算是互逆运算，所以可借助平方运算来求这些数的平方根和算术平方根。_解答过程：(1)因为(60)2 3600,所以3600的平方根是60,即 石6而60。3600的算术平方根是60,即屈0 60。(2)因为111 36,( 6)2汽所以111的平方根是。，即 户 -o25 25525_255 2551u的算术平方根是6,即庐6。255, 25 5(3)因为(0.01)2 0.0001 ,所以 0.0001 的平方根为 0.01,即 0.00010.01。0.0001的算术平方根为0.01 ,即“狂0001 0.01 0(4)因为(7)2 49, ( 7:49,所以(7)2的平方根为7,即7 &

8、#176;(7)2的算术平方根为7,即7。解题后的思考：运用平方运算求一个非负数的平方根和算术平方根是常用的方法。如果被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可以先将小数化为分数，再求它的平方根和算术平方根；如果被 开方数是带分数，要先将带分数化成假分数，再求它的平方根和算术平方根。例4.求下列各式中的x。(1) x2 196;(2) (x 1)2 9;(3) x2 169 0;(4) (4x)2 16。思路分析：把上面各式化成x2 m的形式，求出m的平方根，就可以求出x的值。解答过程：(1)因为x2 196,所以x 14;(2)因为(x 1)2 9 ,所以x 13,所以x 2或x 4 ;(3)

9、因为 x2 169 0 ,所以 x2 169 ,所以 x 13 ;(4)因为(4x)2 16 ,所以4x 4 ,所以x 1。解题后的思考：虽然目前我们并没有学习过一元二次方程的解法，但是我们可以利用平方根的定义求解一些简单的一元二次方程。例5.若一个正数a的两个平方根分别为x 1和x 3,求a2008的值。思路分析：由平方根的性质知：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，因而可构造方程，求出x的值，而a (x 1)2或a (x 3)2,据此可求出a的值。解答过程：因为一个正数的两个平方根互为相反数所以(x 1) (x 3) 0 ,解得 x 2o从而 a (x 1)2 ( 2 1)2 1 (或

10、 a (x 3)2( 2 3)21)所以 a2008 1。解题后的思考：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出a 这里用到了方程思想，它是初中阶段一种重要的数学思想。例 6. 若 x,y,m适合关系式，3x 5y 3m 72x一可m Jx2005y 2005xy , 试求 m 的值。思路分析：从已知关系式看似乎无从下手，但关系式要成立先要有意义，此题从被开方数必须非 负入手就能迎刃而解。3x 5y 3 m 0(1)2x 3y m 0(2)解答过程由已知，得由(3) (4)式可知，x y 2005所以，原式即为 3x5y 3 m 2x 3y m因为3x 5y 3 m

11、0'2x 3y m 03x 5y 3 m 所以，02x 3y m 0x 2005 y 0(3)2005 x y 0(4)0又因为，x y 2005所以，解得m 2008。解题后的思考：户的非负性包括两层含义：一是被开方数a必须非负，即a 0;二是a的算术平 方根必须非负，即卢0。小结：负数没有平方根；一个正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0知识点三：平方根的估算例7.已知x为/7 2的整数部分，y 1是9的平方根，且|x y| y X,求x y的值。思路分析：此题涉及"的估值问题，由16 17 25,即4 JT7 5可解。还涉及y的取值的取舍 问题，求出的y值要满足题

12、目中的所有条件，既不能漏解，也不能多解。解答过程：因为4 / 5 ,所以2 JT7 2 3 ,即x 2因为y 1是9的平方根，所以y 13,即y4或y 2又因为| x y | y x ,所以y x所以 x 2, y 4,故 x y 6。解题后的思考：若而的整数部分为a,则其小数部分为而a。小结：若一个非负数a介于另外两个非负数 5且（5 a?）之间，即05a a2时，它的算术平方 根也介于 亚,口7之间，即0 阿的 声7。利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根 的大致范围。对一个数和式子进行估算是以后我们会经常遇到的问题。比如解不等式组、求函数定义域和值 域、求集合的交集和并集等。知

13、识点四：立方根的概念及其性质例8.已知x 1是8的立方根，求x o思路分析：此题主要考查立方根的概念，但是用字母表示具体的数，涉及到代数。解答过程：Q x 1是8的立方根 3 （x 1）3 8x 1 2, x 3解题后的思考：利用立方根的概念解决抽象的代数问题。小结：立方根与平方根的区别：只有非负数才有平方根，0的平方根为0,正数的平方根有两个且互为相反数；任何数均有立方根，并且有唯一的与其符号相同的立方根。知识点五：平方根与立方根的综合运用例 9. （1）已知 3.001045 0.03230 ,则寸1045 ;（2）已知（0.498 0.7926 ,则广 一 ,7.926。思路分析：一个正

14、数扩大（或缩小）100倍，则它的算术平方根扩大（或缩小）10倍。从小数点 的位置看，一个数的小数点向右（或向左）移动 2位，则它的算术平方根的小数点向右（或向左） 移动1位。一个正数扩大（或缩小）1000倍，则它的立方根扩大（或缩小）10倍。从小数点的位置看，一个数的小数点向右（或向左）移动 3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动 1位。解答过程：（1）因为 10.45 0.001045 10000所以 10.45 3.23（2）因为 7.926 0.7926 10所以 7.926 30.498 1000 3 498解题后的思考：同学们可以将以前所学知识和这个知识点结合起来理解和记忆：一

15、个正数扩大10倍，则它的平方扩大100倍，立方扩大1000倍；反之，一个正数缩小100倍，它的算术平方根缩小10倍；一个正数缩小1000倍，它的立方根 缩小10倍。例10.已知M mn7mF是m 3的算术平方根，N 2m43是n 2的立方根，试求M N的值 思路分析：由mn7m是m 3的算术平方根可知m n 1 2,由2m4n"”是n 2的立方根可知 2m 4n 3 3,由此可得方程组，解得m,n的值，从而求得M,N的值，最后求出M N的值。解答过程由题意可知m n 1 22m 4n 3 3解方程组得所以，M 4一3 3 , N 32 1所以，M N 3 1 2。解题后的思考：明确算

16、术平方根和立方根的意义及表示方法。例11.若 V7与3/3口 互为相反数，求代数式 也的值。，y思路分析：由立方根的定义和性质可知，若 kW与西工互为相反数，则有被开方数互为相 反数。由此求出x,y的关系式，然后代入求值。解答过程：由题意得1 2x 3y 2 0所以，y 2X 13则结3。 y解题后的思考：熟悉掌握立方根的性质是解决这类问题的关键。师生小结名称正数0负数11算术平力根1个（正数）0无1无平方根2个（一正一 负）0无1无立方根1个（正数）01个（负11数）第三课时课堂检测平方根与立方根课堂检测、选择题：1 . B的绝对值是（）A. 3B. 3 C. -D. 12 .下列说法中正确

17、的是（）A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数B.负数没有立方根C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D. 一个非零数的立方根与这个数同号3 .与了最接近的数是（）D. 5A. 0B. 2C. 44 .若某数的立方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是（）A. 1B. 1C. 0 或 1D. 1 或5 .计算厅 （）A. aB. aC. 1D. 0、填空题:7 .南的平方根是;8 .后屈的小数部分为9 .下列说法中正确的是（2）驾 125 ;（4）3T8 V25 ；?（将序号填写在横线上）4的平方根是2;2是4的平方根;4的算术平方根是2;16的平方根是4;0.3是0.09的平方根;0

18、.4的算术平方根是0.210 .如果 3/2x 1#5x 8 ,那么 x2 。三、解答题:11 .求下列各数的平方根和算术平方根121(1)语(2) 0.0081(3) (-5)2(4) 1412 .求下列各数的立方根.(1) 0.001(2) 2163(3) 38(4) -313 .求下列各式中的x.(1) 9x2-256= 0(2) 4(2x1)2=2514 .已知：(1 - 2a) 2+= 0，求 ab 的化15 .若3x+16的立方根是4,求2x + 4的算术平方根.16 .已知V 1 a2,求a的值。17 .已知：(x 1)2+y 3 qx y z=0,求 x+y2z 的立方根.18 .已知：x 2的平方根是±2, 2x+y +7的立