第三章参数估计第四章假设检验回归

1、第三章 参数估计2.区间估计：一般可用在食品及药品某些主要指标的含量、产品的使用寿命（均值）以及离散程度等数字特征，用抽样的样本去推断总体的特性。设总体为X,含未知参数， 是样本，都是样本的函数（不含任何未知参数），对0<<<1,使得，即未知参数以大概率100（）%落在区间内，称（）为置信度（可相信的程度），为的置信区间，分别为置信上下限。以上过程称为对的区间估计，可分为双侧与单侧区间估计。由中心极限定理，大容量的样本一般都假设总体，对单个正态总体的未知参数，作区间估计，其估计量用及表示。例1:某厂生产一批清漆，为考虑该批清漆的平均干燥时间及离散程度，任取n=9个样本。测得干

2、燥时间分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0小时；设总体的干燥时间服从一般正态分布，即 。 （1）若=0.36，求总体平均干燥时间的95%的置信区间；解：1、 总体的方差已知， 对作区间估计，取统计量及分布： ， 2 、对，查表取， 双侧区间估计，如图使，3、 将 代入并解不等式，有： ， 则：，4、 由样本值： ， 5、可以认为该批产品的平均干燥时间以95%的可能性落在区间内。（2）1、未知，用代替，取统计量及分布：2、对，双侧区间估计，取，如图示，使： 3、将统计量代入，4、代样本值， 5、可以认为该批产品当方差未知时，平均干燥时间以95%的可能性落在

3、区间内。（3）求的95%的置信区间。1、取统计量及其分布， ，2、对，双侧区间估计， 取，使，如图：3、代有：4、由样本值：，5、可以认为该批产品平均干燥时间的方差以95%的可能性落在区间内。例2、单侧区间估计。科学上重大发现往往是年轻人作出的，美国科学院统计了15世纪到20世纪12名科学伟人。（1）哥白尼 1543年 日心学说 40岁（2）伽利略 1600年 天文学，望远镜 34岁 （3）牛顿 1665年 三大定律，微积分 23岁 （4）富兰克林 1746年 电的本质 40岁（5）拉瓦锡 1774年 氧气及燃烧本质 31岁 （6）莱尔 1830年 地球的演化过程 33岁 （7）达尔文 185

4、8年 生物进化论 49岁（8）麦克斯维尔 1864年 光 磁 电场 33岁 （9）居里 1896年 放射性 34岁 （10）普朗克 1911年 量子论 43岁 （11）爱因斯坦 1905年 广义狭义相对论 26岁 （12）薛定谔 1926年 量子论数学基础 39岁求：重大发现伟人年龄的上限。解： 由未知，取统计量及分布：（求年龄的上限用单侧区间估计） ， 基于该统计，数学最高奖菲尔兹奖（四年颁发一次），只奖励给40岁以下的年轻人。第四章 假设检验 统计推断一般分为两大类：一类是对未知参数作点估计及区间估计，另一类是对总体的分布和未知参数的某些特性作假设检验。假设检验首先是提出假设，然后根据假设

5、选取适合的统计量及分布，再用随机抽样的样本去推断假设的合理性，是拒绝或是接受假设，假设检验是概率论中的反证法。1、对参数的假设检验： 其步骤是先对参数提出原假设，如，检验总体的均值。为额定的标准，称其为原假设，及，称为备择或对立假设。由检验均值选择统计量，若方差未知时，选取统计量及其分布：，（称为检验法）对， 取，使为显著性水平，取等式时为双侧检验，取不等式时为单侧检验。统计推断的基本原理是：小概率事件在一次随机试验中几乎不会发生，若小概率事件发生，则说明假设不真，则有拒绝域或接受域。如：，在为真的条件下，由样本值去推断是否在拒绝域内，作出对总体的某些特性是拒绝或是接受的推断。例1 某盐业公司

6、用一台包装机包装精碘盐，额定标准每袋净重,随机抽取,其净重分别为497、506、518、524、488、511、510、515、512.对，检验包装机工作是否正常。假设每袋的净重，由经验得标准差。解： （1），（2）由总体标准差已知，选取统计量及其分布。，（称为检验法）（3）对显著性水平，查表取，使，拒绝域为 双侧检验，（4）由样本值 当 成立时， ，（5）小概率事件没有发生，样本值不在拒绝域内，接受，即认为包装机工作正常。说明：在假设检验中提出假设时有可能发生假设错误，一般可用区间估计作验证。在本例中，。例2：某厂生产某种固体燃料，其燃烧率,额定标准。现给出一种新的生产方法，任取新方法生产的

7、根产品，测得，样本标准差,对，检验新方法较原方法生产的固体燃料其燃烧率是否有显著提高。解：（1），（给出反假设，一般否定比肯定更具说服力） ， （2）总体方差未知，检验总体，取，（3）对显著性水平，取 ，单侧检验（检验不等式时为单侧检验），使,其拒绝域 ， 当成立时，, 则拒绝域 (4)由样本值 ，=40，, ，(5) 样本值在拒域内的小概率事件发生，拒绝，接受，即认为新方法生产的产品燃烧率有显著性提高。例3：两个正态总体的假设检验：假设两个公司生产同类型电子产品，其使用寿命分别为，为检验两个公司的产品质量是否一致。任取=9个样本，测得，=18个样本，测得，对显著性水平，检验两个公司生产的同类

8、电子产品的质量是否有显著性差异。解：（1） 首先检验正态总体的均值差，1、 ， 或者 ， ， 2、 在条件下，取统计量及其分布： ，（称为检验法）其中，3、 对显著性水平，查表， 使得 ， 在成立下，拒绝域， 4、由样本值， ， ， ， ， 5、样本值不在拒绝域内，小概率事件没有发生，即可认为两家公司产品的寿命没有显著性差异。 （2）检验产品使用寿命的方差比 1、 ， ，2、 选取统计量及其分布，（称为检验法） 3、 对显著性水平查表 ， ，使：，拒绝域 ：，或者 ，双侧检验， 4、 当 成立时，代样本值，5、由 ，样本值不在拒绝域内，接受，即可认为产品使用寿命方差没有显著性差异。综合（1）（

9、2）可以认为两家公司生产同类产品质量没有显著性差异。例4、 据推测：工作和经历相类似的人群中，矮个子人的寿命较高个子人寿命长，美国科学院统计了31位自然死亡的总统，其中5位个子矮<58, 5英尺8寸， 1英尺=0.304785米, 581.77m; 26位高个子>58， 5位矮个子总统身高从1.651.76m，寿命从6590岁；26位高个子总统从1.771.97m,寿命从5390。 矮、高个子的寿命分别是随机变量，记为 ， 且 。 解答：，反假设否定更有说服力，在方差相等的条件下，选取：，不等式检验，为单侧检验，对显著性水平：，拒绝域；当成立时，由样本值小概率事件发生，拒绝，接受推

10、测成立。2、两类错误，假设检验作统计推断是基于小概率事件在一次随机试验几乎不会发生的原理。但并不说明小概率事件不会发生。由此假设检验作统计推断时可能发生两类错误：（1）弃真错误 （第一类）P（拒绝|为真时）=，（2）取伪错误 （第二类）P（接受|不真时）=，一般控制犯第一类错误的概率为，越小有利于假设的成立，但否定，又更有说服力。犯第二类错误的概率，越大，有利于假设，如在对犯罪嫌疑人做无罪推断时。嫌疑人无罪， 嫌疑人有罪（拒绝|为真时）=，（接受|不真时）=，那种情况对社会危害大？经分析：应是第一种。若要使两类错误发生都较小，可增加样本的容量n(寻找新证据以形成证据链)。在生产实际中由0-C准则，以作为样本容量n选取的参考标准。例5、 工业产品的抽样方案：某公司生产了一大批产品、产品质量的主要指