高二数学选择性必修第二册2020(B版)_【学案】二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用

1、1 第 2 课时二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用学 习 目 标核 心 素 养1掌握二项式系数 的性质及其应用(重点) 2了解杨辉三角， 并结合二项式系数的性质加以说明 (难点) 3掌握二项式定理的应用(难点) 1通过学习二项式系数的性质， 培养逻辑推理的素养 . 2借助杨辉三角的学习， 提升数学抽象的素养 . 我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉(约 13世纪)所著的详解九章算术一书中，用如图所示的三角形解释(ab)n的展开式的各项系数(ab)0 1 (ab)1 11 (ab)2 121 (ab)3 1331 (ab)4 14641 (ab)5 151010

2、51 问题：观察上表，你能借助二项式系数的性质分析上表中的数吗？1二项式系数的性质(1)c0nc1nc2n cnn2n；(2)c1nc3nc5n c0nc2nckn 2n1. 2 2杨辉三角具有的性质(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1；(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和(3)利用二项式系数的对称性可知，二项式系数c0n，c1n，c2n，cn1n，cnn，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大1思考辨析 (正确的打“”，错误的打“”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一

3、个等差数列() (2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的() (3)二项展开式的二项式系数和为c1nc2n cnn. () 答案(1)(2)(3)2(12x)15的展开式中的各项系数和是() a1b1 c215d315b令 x1 即得各项系数和， 各项系数和为 1. 3在(ab)10二项展开式中与第3 项二项式系数相同的项是 () a第 8 项b第 7 项c第 9 项d第 10 项c由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等 4(教材 p32尝试与发现改编 )观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是_1 121 1331 14a41 15101051 6由题图知，

4、下一行的数是其肩上两数的和，所以4a10，得 a6. 3 求展开式的系数和【例 1】设(12x)2 021a0a1xa2x2 a2 021 x2 021(xr)(1)求 a0a1a2 a2 021的值；(2)求 a1a3a5 a2 021的值；(3)求|a0|a1|a2| |a2 021|的值思路点拨 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解解(1)令 x1，得a0a1a2a2 021(1)2 0211.(2)令 x1，得 a0a1a2a2 02132 021.得2(a1a3a2 021)132 021，a1a3a5a2 021132 0212.(3)tr1cr2 021(2x)r(1

5、)r cr2 021 (2x)r，a2k10(kn)，a2k0(kn)|a0|a1|a2|a3|a2 021|a0a1a2a3a2 02132 021. 1解决二项式系数和问题思维流程2“赋值法 ”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0 可得常数项，令 x1 可得所有项系数之和，令x1 可得偶次项系数之和与4 奇次项系数之和的差跟进训练 1若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2 a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6. 解(1)令 x0，则 a01；令 x1，得 a7a6a1a

6、027128，所以 a1a2a7129.(2)令 x1，得a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得 2(a1a3a5a7)128(4)7，a1a3a5a78 256.(3)由得 2(a0a2a4a6)128(4)7，a0a2a4a68 128. 二项式系数的性质及应用【例 2】已知 f(x)(3x23x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项思路点拨 求二项式系数最大的项， 利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y 的系数均考虑进去，包括 “”“”号

7、解令 x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知， 4n2n992. (2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，5 2n31(舍去)或 2n32，n5. (1)由于 n5 为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是t3c25(x23)3(3x2)290 x6，t4c35(x23)2(3x2)3270 x223. (2)展开式的通项公式为tr1cr53r x23(52r)假设 tr1项系数最大，则有cr53rcr15 3r1，cr53rcr15 3r1，5！5r ！r！35！6r ！ r1 ！，5！5r ！r！5

8、！4r ！ r1 ！3，3r16r，15r3r1.72r92，rn，r4.展开式中系数最大的项为t5c45x23(3x2)4405x263. 1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得6 跟进训练 2(1)(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是() an，n1bn1，ncn1，n2 dn2，n3 (2)已知(ab)n展开式中只有第5 项的二项式系数最大， 则 n 等于_(1

9、)c(2)8(1)该展开式共 2n2 项，中间两项为第n1 项与第 n2 项，所以第 n1项与第 n2 项为二项式系数最大的项(2)因为只有第 5 项的二项式系数最大，所以n215，所以 n8. 与“杨辉三角 ”有关的问题7 8 【例 3】 如图所示，在“杨辉三角”中斜线ab 的上方，从1 开 始 箭 头 所 示 的 数 组 成 一 个 锯 齿 形 数 列 ：1,2,3,3,6,4,10,5 ，.记其前 n 项和为 sn，求 s19的值思路点拨 由图知，数列中的首项是 c22，第 2 项是 c12，第 3 项是 c23，第 4 项是 c13，第 17 项是 c210，第 18项是 c110，第

10、 19 项是 c211.解s19(c22c12)(c23c13)(c24c14)(c210c110)c211(c12c13 c14 c110) (c22c23 c210 c211) (23 4 10)c312210 92220274. “杨辉三角 ”问题解决的一般方法跟进训练 3如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左至右的第 14 个数与第 15 个数的比为 23. 34由题意设第 n 行的第 14 个数与第 15 个数的比为 23，它等于二项展开式的第 14项和第 15项的二项式系数的比， 所以 c13nc14n23， 即14n1323，9 解得 n34，所以在第 34 行中，

11、从左至右第14 个数与第 15 个数的比是 23. 二项式定理的应用探究问题 1不用计算器，你能用二项式定理求0.9986的近似值，使误差小于0.001吗？提示把 0.998 变成 10.002，然后应用二项式定理展开因为 0.9986(10.002)61c160.002c260.0022c360.0023c660.0026.第三项 t3150.00220.000060.001，以后各项更小，所以0.998610.0120.988.2你能用二项式定理证明11nn2，(nn*，且 n2)吗？提示 11nn1c1n1nc2n1n2cnn1nn2c2nn21nn，又 n2且 nn*，c2nn2c3n

12、n31nn0. 11nn2(nn*，且 n2)【例 4】(教材 p33例 5 改编)(1)用二项式定理证明： 11101 能被 100整除；(2)求 9192被 100除所得的余数思路点拨 (1)11101(110)101，展开求证便可；(2)9192(190)92，展开求解便可解(1)证明：11101(101)101(1010c110 109c210 108c910 101)11010c110 109c210 108102100(108c110 107c210 1061)，10 11101 能被 100整除(2)9192(1009)92c092 10092c192 10091 9c292 1

13、0090 92c9292992，展开式中前 92项均能被 100整除，只需求最后一项除以100 的余数992(101)92c092 1092c192 1091c9092 102c9192 101，前 91 项能被 100整除，后两项和为 919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为 100091981，故 9192被 100 除可得余数为 81.利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系., 整除性问题或求余数问题的处理方法：1 解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.2 用二项式定理处理这类问题，通常把被

14、除数的底数写成除数或与除数密切关联的数 与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面或者是前面 的几项就可以了 . 跟进训练 4(1)求证 32n28n9(nn*)能被 64 整除；(2)求 2303 除以 7 的余数解(1)证明 ：32n28n9(81)n18n9c0n18n1c1n18ncn1n18n9c0n18n1c1n18ncn1n182cnn1 818n9c0n18n1c1n18ncn1n182.该式每一项都含因式82，故能被 64 整除(2)2303(23)1038103(71)103c010710c11079c9107c101037(c01079c11078c910)2.

15、11 又余数不能为负数 (需转化为正数 )，2303 除以 7 的余数为 5.1二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出2求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为0,1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握3对于二项式定理的应用主要体现在估算、证明及整除上，注意近似计算可用(1x)n1nx，具体情况视精确度而定1二项式 (x1)n的奇数项二项式系数和是64，则 n 等于() a5b6 c7d8 c二项式 (ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，2n164，n7.故选 c. 2已知x33xn展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64，则 n 等于() a4b5 c6d7 c令 x1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n64，所以 n6. 3若 x31x2n(nn*)的展开式中只有第6 项系数最大，则该展开式中的常数项为 () 12 a210b252 c462d10 a由于展开式中只有第6 项的系数最大， 且其系数等于其二项式系数， 所以展开式项数为11，从而 n10，于是得其常数项为c610210. 4设 (32x)4a0a1xa