Gauss公式最新课件

1、Gauss公式PPT课件 (2)1曲线和曲面上的积分Gauss公式Gauss公式PPT课件 (2)2内容提要 Gauss公式：Rn中n-1维双侧闭曲面S的(第二型)曲面积分和S所围区域上的积分之间的关系及其对有界区域的推广Gauss公式PPT课件 (2)3Gauss定理 设WRn中的有界闭区域 其边界W由有限多个分片光滑双侧曲面组成. F是定义在W上的光滑向量场. W的方向指向区域外侧,则下列Gauss公式成立 其中 称作向量场F的散度.dxxFNdFniiiWW1niiixFF1 divGauss公式PPT课件 (2)4Gauss定理示意图DSNGauss公式PPT课件 (2)5Gauss定

2、理的证明 Gauss定理的一般证明与Green定理的证明类似, 将W分成满足下列形式的小区域Wk:的并, 先在每一个Wk上证明定理, 然后将结果加起来. niRxxxxxxxxxxniniiiiiiiiiik, 1),(),()(: 1)(111)()(2)(1WWW其中Gauss公式PPT课件 (2)6Gauss定理的证明(续) 这里仅对上面特殊区域证明定理. 设 由公式右端出发, 对每个 ,niRxxxxxxxxxxniniiiiiiiiii, 1),(),()(: 1)(111)()(2)(1WWW其中ixxiiiiidxxFxddxxFiiiiiWW)()()(2)(1)(ni, 1G

3、auss公式PPT课件 (2)7Green定理证明(续1) 有微积分基本定理和第二型曲面积分的定义WWWWdNFxdxFxFdxxFxddxdyxFiiiiiiiiiixxiiiiiiiiiii)()(2)(1)()()()(1)(2)()(Gauss公式PPT课件 (2)8Gauss定理证明(续2) 对i由1到n求和, 就得到Gauss公式NdFdxxFniiiWW1Gauss公式PPT课件 (2)9Gauss公式例1 设S为Rn中的球面|x|=r, 向量场F(x)=x, 计算F关于S外侧的第二型曲面积分. 解: div F = n, 因此nnrBSrnrBnndxNdF22),0(2),0

4、(Gauss公式PPT课件 (2)10Gauss公式例2 计算： 其中S为四面体: x+y+z1, x0, y0, z0表面的外侧. 解: 向量场F=(x+1,y,1)的散度div F=2, 及四面体为W. 由Gauss公式312WdxdydzNdFSSdxdyydzdxdydzx) 1(Gauss公式PPT课件 (2)11Green公式是Gauss公式 平面上逆时针方向的简单闭曲线的切向量T=(T1,T2)与外法向量N=(N1,N2)的关系: N1=-T2, N2=-T1 (P,Q)T=(Q,-P)NGauss公式PPT课件 (2)12n维分部积分公式 设W是Rn中的有界分片光滑闭区域(即W分片光滑), F是W上的光滑向量场, g是W上的光滑实值函数, 则其中nx是W的单位外法向量场.dxxFxgdxxFxgdxxDgxF)( div)()()()()()(WWWnGauss公式PPT课件 (2)13n维分部积分