D72可分离课件

1、D72可分离PPT课件转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22D72可分离PPT课件分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式 )(yG)(xF当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程

2、的隐式通解, 或通积分.同样,当F(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D72可分离PPT课件例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 D72可分离PPT课件在用分离法解可分离变量的过程中，0)(yg前提下，用

3、它除方程的两边，得到的通解不包含的特解。但是，有时若我们扩大c的范围，则其失去的解仍包含在通解中。( )0g y =D72可分离PPT课件例例2. 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y机动 目录 上页 下页 返回 结束 D72可分离PPT课件练习练习:.dd的通解求方程yxexy解：解：分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 D72可分离PPT课件例例3. 求下述微分方程

4、的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 D72可分离PPT课件例例4.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)(ln1gmkC代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)1 (tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时

5、间的函数关系. kmgv t 足够大时机动 目录 上页 下页 返回 结束 D72可分离PPT课件例5yyxylnsin 可分离变量的微分方程是识别其方程的要点。另外：勿丢解D72可分离PPT课件4,sincossincos0 xyxdxyydyx0)0(, 022yeyyyxD72可分离PPT课件内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D72可分离PPT课件思考与练习思考与练习 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyy