初中数学竞赛精品标准教程及练习33：同一法

1、中考数学复习资料，细心整编吐血举荐, 如如有用请打赏支持，感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（33） 同一法一、内容提要1. “同一法”是一种间接的证明方法；它是依据符合“同一法就”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题；2. 同一法就的定义是：假如一个命题的题设和结论都是唯独的事项时，那么它和它的逆命题同时有效；这称为同一法就；互逆两个命题一般是不等价的；例如原命题：福建是中国的一个省（真命题）逆命题：中国的一个省是福建（假命题）但当一命题的题设和结论都是唯独的事项时，就它们是等效的；例如原命题：中国的首都是北京（真命题）逆命题：北京是中国的首都（真命题

2、）由于世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的；又如原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高；（真命题）逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线；（真命题）由于在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯独的，所以互逆的两个命题是等效的；3. 釆用同一法证明的步骤：假如一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法就，就可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立）证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）二、例题例1.求证三角形的三条中线相交于一点已知： abc中， ad，be，cf都是中线求证： ad，be，

3、 cf相交于同一点分析：在证明ad和 be相交于点 g之后，本应再证明cf经过点 g，这要证明三点共线，直接证明不，易，我们釆用同一法：连结并延长cg交 ab于 f ，证明 cf 就是第三条中线（即证明af f b）证明： dab eba180aead和 be相交，设交点为gf,fgbdc，连结并延长cg交 ab于 f，连 结 de 交 cf 于 mde ab me afme bfmd bfmdafcm ，即 bf cfafmg ，即 af gfbf mdme mdmebf af afbf，af bf ，af 是 bc边上的中线，bc边上的中线只有一条，afad，be，cf相交于一点g；和 a

4、d是同一条中线例 2. 已知： abc中， d在 bc上， ab2ac2bd2dc2求证： ad是 abc的高分析：从题设ab2ac2bd2 dc2 证明结论不易，由于bc边上的高是唯独的，所以拟用同一法，先作出 aebc，证明在题设的条件下ae就是 ad；证明：作 aebc交 bc于 ea依据勾股定理222222ab ac（ aebe）（ aeec）22 be ec2222abacbddcbd2 dc2 be2 ec2bedc（bd dc）（bd dc）（ beec）（ beec）bd dcbeecbddc beec： 2bd2be即点 d和点 e 重合，即 ad是 abc的高例 3 如图已

5、知：四边形abcd中， abd adb 15cbd45 ， cdb30b15a15d求证： abc是等边三角形证明：在 bc或延长线上取点e， 使 beab连结 ae，de，就 abe是等边三角形4530ceaeab ad， ead150 6090 ， ade 45 adc45 ，且 de，dc在 da的同一侧， de和 dc重合，它们与bc边的交点e，c也重合 abc是等边三角形例 4. 求证： 3 253 25 1分析：直接证法，一般是把左边写成3 3 253 25 3再化简为 1，但没有胜利；拟用同一法，可认为要证明的原命题是：有两个数3 25 ， 3 25 ，它们积是 1，就它们的和是

6、1那么逆命题是：如u+v=1, 且 uv=1， 就 u=3 25 ,v= 3 25证明：设u+v=1, 且 uv=1，依据韦达定理的逆定理（初三教材）2得 u,v 是方程 x x10的两个根x=15 , 即 u,v 分别等于 125 ， 1522而 u3=（ 15 ）3 25 ，v3=（ 125 ）3252u=3 25 ,v= 3 25即3 253 25 12例 5. 已知： acd是圆的割线，点b 在圆上，且abac× ad1求证： ab是圆的切线aa证明：过点b 作圆的切线，交dc于 a1，就 cba1 d2由已知 ab ac×ad，就 acb abdac ablcad

7、 ， a aacbd cba d，cba1 cbaba和 ba1 重合，它们与dc的交点是同一个点即 ab是圆的切线；例 6. 以 abc的三个顶点为圆心，作三个圆两两外切，切点分别是d，e，f，那么过 d， e，f 的圆是abc的内切圆；分析：用同一法证明，作出abc的内切圆，再证明三个切点和d， e， f 重合，证明：作 abc的内切圆和 ab，bc， ca分别切于 d ，e ， f依据切线长定理，得，ad af cb2a ， be， bd， ac2b ， cf， ce， abc2设 a, b， c 半径长分别为x,y,zx ycy za , 解得， x= c zxbb a ,y= a 2

8、c b ,z= abc 22，ad ad，be be，cf cf，即 d 与 d，e 与 e ， f与 f 重合； abc的内切圆和各边切于d， e， f即过 d， e， f 的圆是 abc的内切圆；三、练习 331. 用同一法证明：三角形的中位线平行于第三边梯形中位线平行于两底adfceb2. 已知 e 是正方形 abcd内的一点， eab eba 15求证 ecd是等边三角形3. 已知 abc中， abac， a 36，在 ac上取点 d，使 adbc求证 bd是 abc的平分线4. 假如梯形的一条腰等于两底和，那么夹这条腰的两个角的平分线的交点，必是另一腰中点5. abc中， c rt，

9、 acbc，点 d在 ac上，且 cd abbc求证 bd平分 abc6. 正方形 abcd中， m，n分别是 cd，bc的中点， de am于 e，求证点 n在 de的延长线上7. 已知：四边形abcd中， e，f 和 gh分别三等分ab和 cd，m和 n分别是 bc， ad中点，nd求证：a mn平分 eh和 fgeh mn被 eh， fg三等分fgbmc8. 已知：矩形abcd中， ab2bc，点 e 在 cd上，且 cbe15求证： aeab9. 已知： ad是四边形abcd外接圆 o的直径， abc120acb45点 p 在 cb的延长线上，且pb 2bc求证： pa是 o的切线10

10、. 已知： h是 abc的垂心（三条高的交点） ，过 h，b，c 三点作 o，延长 abc的中线 am交 o于 d求证： ammdajhbmcaooddcbp练习 33 参考答案：1. 过一边中点作底边的平行线，证它经过另一边中点2. 以 cd为一边向形内作等边e1cd，证 e1ab e1ba 153. 作 abc的平分线，证它与bd重合4. 取另一腰的中点，5. 同 3，作 abc的平分线，证它与bd重合，6. 延长 de交 bc于 n ，证明 n 是 bc的中点7. 取 eh的中点 p，fg的中点 q，就 pfmg和 qhne都是平行四边形，pm过 fg中点，qn过 eh中点，m， q，p，n是同始终线8. 作等腰三角形